1、实验五解线性方程组的迭代法报告实验五 解线性方程组的迭代法一、问题提出 对实验四所列目的和意义的线性方程组，试分别选用Jacobi 迭代法，Gauss-Seidel迭代法和SOR方法计算其解。 二、要求 1、体会迭代法求解线性方程组，并能与消去法做以比较； 2、分别对不同精度要求，如由迭代次数体会该迭代法的收敛快慢；3、对方程组2，3使用SOR方法时，选取松弛因子=0.8，0.9，1，1.1，1.2等，试看对算法收敛性的影响，并能找出你所选用的松弛因子的最佳者； 4、给出各种算法的设计程序和计算结果。 三、目的和意义 1、通过上机计算体会迭代法求解线性方程组的特点，并能和消去法比较； 2、运用
2、所学的迭代法算法，解决各类线性方程组，编出算法程序； 3、体会上机计算时，终止步骤或k （给予的迭代次数），对迭代法敛散性的意义； 4、 体会初始解，松弛因子的选取，对计算结果的影响。四、实验学时：2学时五、实验步骤： 1进入C或matlab开发环境；2根据实验内容和要求编写程序；3调试程序；4运行程序；5撰写报告,讨论分析实验结果解：J迭代算法：程序设计流程图：源程序代码：#include#include #include void main() float a5051,x150,x250,temp=0,fnum=0; int i,j,m,n,e,bk=0; printf(使用Jacobi迭
3、代法求解方程组:n); printf(输入方程组的元：nn=); scanf(%d,&n); for(i=1;in+1;i+) x1i=0; printf(输入方程组的系数矩阵:n); for(i=1;in+1;i+) j=1; while(jn+1) scanf(%f,&aij); j+; printf(输入方程组的常数项:n); for(i=1;in+1;i+) scanf(%f,&ain+1); printf(n); printf(请输入迭代次数:n); scanf(%d,&m); printf(请输入迭代精度:n); scanf(%d,&e); while(m!=0) for(i=1;
4、in+1;i+) for(j=1;jn+1;j+) if (j!=i) temp=aij*x1j+temp; x2i=(ain+1-temp)/aii; temp=0; for(i=1;itemp) temp=fnum; if(temp=pow(10,-4) bk=1; for(i=1;in+1;i+) x1i=x2i; m-; printf(原方程组的解为:n); for(i=1;in+1;i+) if(x1i-x2i)=e|(x2i-x1i)=e) printf(x%d=%7.4f ,i,x1i); 运行结果：GS迭代算法：#include#include#includeconst int
5、 m=11;void main() int choice=1; while(choice=1) double amm,bm,e,xm,ym,w,se,max; int n,i,j,N,k; coutGauss-Seidol迭代法endl; coutn; for(i=1;i=n;i+) cout请输入第i个方程的各项系数：; for(j=1;jaij; cout请输入各个方程等号右边的常数项:n; for(i=1;ibi; coutN; coute; for(i=1;i=n;i+) xi=0; yi=xi; k=0; while(k!=N) k+; for(i=1;i=n;i+) w=0; fo
6、r(j=1;j=n;j+) if(j!=i) w=w+aij*yj; yi=(bi-w)/double(aii); max=fabs(x1-y1); for(i=1;imax) max=se; if(maxe) coutendl; for(i=1;i=n;i+) coutxi=yiendl; break; for(i=1;i=n;i+) xi=yi; if(k=N) cout迭代失败！endl; choice=0;SOR方法：# include # include #include/*定义全局变量*/float *a; /*存放A矩阵*/float *b; /*存放b矩阵*/float *x;
7、 /*存放x矩阵*/float p; /*精确度*/float w; /*松弛因子*/int n; /*未知数个数*/int c; /*最大迭代次数*/int k=1; /*实际迭代次数*/*SOR迭代法*/void SOR(float xk) int i,j; float t=0.0; float tt=0.0; float *xl; xl=(float *)malloc(sizeof(float)*(n+1); for(i=1;in+1;i+) t=0.0; tt=0.0; for(j=1;ji;j+) t=t+aij*xlj; for(j=i;jn+1;j+) tt=tt+aij*xkj
8、; xli=xki+w*(bi-t-tt)/aii; t=0.0; for(i=1;in+1;i+) tt=fabs(xli-xki); tt=tt*tt; t+=tt; t=sqrt(t); for(i=1;ic) if(tp) k+; SOR(xk); else printf(nReach the given precision!n); printf(nCount number is %dn,k); /*程序*开始*/void main() int i,j;printf(SOR方法n);printf(请输入方程个数:n);scanf(%d,&n);a=(float *)malloc(siz
9、eof(float)*(n+1); for(i=0;in+1;i+) ai=(float*)malloc(sizeof(float)*(n+1);printf(请输入三对角矩阵:n);for(i=1;in+1;i+) for(j=1;jn+1;j+) scanf(%f,&aij);for(i=1;in+1;i+) for(j=1;jn;j+)b=(float *)malloc(sizeof(float)*(n+1);printf(请输入等号右边的值:n);for(i=1;in+1;i+) scanf(%f,&bi);x=(float *)malloc(sizeof(float)*(n+1);p
10、rintf(请输入初始的x:);for(i=1;in+1;i+) scanf(%f,&xi);printf(请输入精确度:);scanf(%f,&p);printf(请输入迭代次数:);scanf(%d,&c);printf(请输入w(0w2):n);scanf(%f,&w);SOR(x);printf(方程的结果为:n);for(i=1;in+1;i+) printf(x%d=%fn,i,xi);程序运行结果讨论和分析：迭代法具有需要计算机的存贮单元较少,程序设计简单,原始系数矩阵在计算过程中始终不变等优点.迭代法在收敛性及收敛速度等方面存在问题.注:A必须满足一定的条件下才能运用以下三种迭
11、代法之一.在Jacobi中不用产生的新数据信息,每次都要计算一次矩阵与向量的乘法,而在Gauss利用新产生的信息数据来计算矩阵与向量的乘法.在SOR中必须选择一个最佳的松弛因子,才能使收敛加速.经过计算可知Gauss-Seidel方法比Jacobi方法剩点计算量,也是Jacobi方法的改进.可是精确度底,计算量高,费时间,需要改进.SOR是进一步改进Gauss-Seidel而得到的比Jacobi,Gauss-Seidel方法收敛速度快,综合性强.改变松弛因子的取值范围来可以得到Jacobi,Gauss-Seidel方法. 选择一个适当的松弛因子是关键.结论：线性方程组1和2对于Jacobi 迭代法，Gauss-Seidol迭代法和SOR方法均不收敛，线性方程组3收敛。
