1、拉格朗日拉格朗日数学上崇高的金字塔 18世纪有一位数学家曾被拿破仑以“数学上崇高的金字塔”这句话来形容和称赞。你知道他是谁呢？他就是我想介绍的约瑟路易拉格朗日。你如果有机会翻看大学的物理力学书，你就会看到许多拉格朗日有关的方法、定理和发现。可是你知不知道他并不是很早就显现对数学有兴趣，而是在看到一本“奇书”后，数学的兴趣火花才被点燃。后来在短短的一年时间独自研究数学，创立了一门新的数学。在16岁时成为大学数学教授。你会问：“你是不是在贩卖神童天才论？哪有这样聪明的人呢？我是否也能像他那样？”我的回答是：这世界是这么大，各种人有各种各样的才能。有些人在适当的条件和机会，把自己的才华发挥，作出对人
2、类幸福有贡献的事业，他就算是一个有用的人。有些人就像高尔基所说的不能燃烧的木材，在泥沼里逐渐腐烂。一个人早晚什么时候有成就不是重要的事，最重要的是在他生命结束之前，他已作出了对人类有益的事。拉格朗日就是这样的一个人，或许这点我们可以学习他。拉格朗日是在1736年1月25日诞生于意大利的都灵市，在1813年4月10日去世于法国的巴黎。他的父亲是负责萨地拿区的军事官员，在当地算是有相当地位及财富，他共有11个孩子，拉格朗日是长子，其他大部分都夭折，只有少数生存到成年。拉格朗日在都灵学校念书时，要学一些古典文学、希腊文，读一点欧几里得的几何原本和阿基米德的一些几何工作。可是他对这些数学并不感到兴趣。
3、有一天，他读到英国数学家Halley在哲学会报发表的近世代数在一些光学问题上的优点，引起了他对数学的兴趣， 他开始研究和探索数学。他少年时，他的父亲因搞投机买卖，把家产用尽。拉格朗日后来回顾这本来可以继承一大笔财产，转眼之间变成穷光蛋的日子，这样评述：“这是好事，如果我继承了财产，可能我就不会搞数学了。”这是很可能的事，意大利多了一个纨袴子弟，而人类就少了一个杰出的数学家。由于他掌握了当时的“现代数学分析”，都灵市的皇家炮兵学校请他当教授，他要教比他大许多的学生的数学。19岁时，他写信给欧拉。当时欧洲最著名的数学家，讲他解决了“等周问题”，这是50多年来 众人讨论的问题，他为了解决这问题创立了
4、一些变分学。欧拉发现拉格朗日的方法比他以前找到的还要好，为了使这年青人能完成这工作，他把自己的工作收起来不发表，并鼓励拉格朗日继续这方面的工作，于是就有了后来数学的一个新分支变分学。变分学是研究力学一个重要的工具。他在19岁时写的关于变分学的基础工作，他已经决定以后用来处理固体和流体的力学问题。他在23岁时已经梦想写一本叫做解析力学的书，他想他的变分学可以用来处理一般力学问题，就像牛顿所发现的重力原理可以用来处理天体力学一样。10年之后他写信给法国数学家达朗贝尔，表示他19岁时发现的变分学是一个重要的工作，由于这个发现他能够统一处理力学问题。他的看法今天还证明是正确的。 二十二岁创立一学会 在
5、1758年他建立一个学会，讨论物理、天文及数学的问题，并连续出版5巨册科学上的论著，这些包含他9年来不停的研究，书完成之后，他的健康也受损坏，以后他常常感到忧郁。他的第一册是关于声波的传播。他在里面指出牛顿对声波看法的一个错误，而且得到声波运动的微分方程。在这册里还有一篇是关于弦振动问题的解说。在这之前，泰勒、达朗贝尔及欧拉曾考虑同样的问题，可是没有得到全部的解答。现在拉格朗日得到运动的曲线在任何时间t是形如y=a SinSin 然后他讨论回声、节拍及混声，用到了概率论和变分学。第二册是利用变分学来解决一些力学问题。第三册是专讲解析力学，也用到变分学。他也考虑一些积分学的问题。并解决了法国数学
6、家费马提出的一个数论问题：“如果n是一个不平方的整数，找所有的x使得x2n+1是平方数。” 他也讨论了三个物体在互相吸引之下运动的一般微分方程。人很早用望远镜发现月球总是有一面对地球，月球绕地球转动，也会自转，为什么有以上奇怪的现象：另外一个面为何羞答答的不让人们看到？在1764年拉格朗日对以上的问题用力学来考虑，他用“虚功”解决了以上的问题。1766年欧拉离开了普鲁士，他推荐拉格朗日继承他的职位。腓德烈大帝亲自写聘书，里面说：“欧洲最伟大的国王希望欧洲最伟大的数学家能在他的宫庭里工作。”拉格朗日就动身到普鲁士，一呆就呆了20年，在这期间写下了他的名著：解析力学。 他在这20年工作惊人，写了1
7、00到200多的论文给柏林科学院，都灵学会及巴黎科学院，有一些还是厚厚的巨册。他工作的方式是这样：当他决定写东西，就拿起笔一直写下去，一气呵成，很少有改动的地方。而且行文严谨文笔优美，很少错误。他的解析力学，后来爱尔兰的数学家和天文学家哈密尔顿称赞为“科学上的诗歌”。 五十一岁定居法国 拉格朗日的父亲最初希望他能成为一个律师，因为这个职业，生活较有保障。他也顺从的去念。在大学他接触到物理和数学之后，就觉得自己应该是往科学方面发展，于是不顾父亲的反对，从事数学的研究工作。我想如果他不依照自己的兴趣和意念，而是照父亲所希望的道路走去，最后他也可能成为一个律师，不过是一个碌碌无为的律师，不可能在科学
8、上有这样大的贡献。他还很幸运遇见了欧拉这个大师，欧拉对年青人的工作赏识而且奖掖后进。欧拉不只在变分学上对拉格朗日的工作给很高的评价，而且在他23岁时把他推选进柏林的科学院，这个国外的赏识给予他很大的鼓励。欧拉还设法和法国大数学家达朗贝尔联名向德皇推荐，使他能来德国成为“宫廷数学家”。至到1786年8月17日，德国腓德烈大帝去世，继承帝位的新皇并不对科学太重视，而且不太喜欢“外国科学家”，拉格朗日就决定离开德国。这时法国路易十六邀他来法国巴黎工作，并且成为法国科学院的一个成员。他并且住在罗浮宫一直到法国大革命发生为止。小他19岁的皇后玛丽安来涅了解他，并且希望他从他的失望孤独的心情排解出来。法国
9、大革命发生，他并没有离开巴黎，他想看这个革命实验是什么样子。革命把皇帝皇后贵族送上断头台，也把他的好朋友拉瓦西法国有名的化学家送上断头台。拉格朗日对一些过分狂热、不分青红皂白、把人头像韭菜般切下的愚蠢作法感到失望：“对于他们决定把像拉瓦西这样有贡献的科学家的头砍下，所需要的时间只不过是几秒钟，可是要产生这样的头脑，几百年可能还不足够。”革命政府对他是很照顾，并没有使他受苦。法国后来占领意大利的军事领袖还亲自向他父亲祝贺：“有一个以他的天才为人类文化贡献的儿子。”1795年成立师范学院，他被聘请为教授。1797年拿破仑建立工艺学院，他被聘请向数学根底不好的官兵讲解数学。拿破仑时常和他讨论哲学问题
10、，并征求他关于数学在建设国家上的意见，拿破仑对他非常敬重。 拉格朗日在解析几何上的贡献 17世纪法国出了一位著名的哲学家，他的名字叫笛卡儿。他不但从事哲学问题的探讨，也在数学及自然科学上有很大的发现。他在数学上最大的贡献就是创立了“解析几何”这门新数学。在他之前千多年来，众人研究几何问题，从来没有想到可以和代数方法结合在一起。而笛卡儿却是“异想天开”第一个提出：把平面上划两条互相垂直的直线，这直线的交点叫原点，然后从点开始在两条直线上取单位长度，以后就可以在水平方向及垂直方向的直线定义所有的点与原点的距离。在原点右边的点和原点的距离是“正数”，而左边的却是“负数”，在上边的点与原点的距离是“正
11、数”，而底下那些点却是“负数”。由这里出发，平面上的任何点P，可以用一对数偶表示，a代表从这点到X轴作的垂直线的交点与原点的距离，而b却代表从这点到Y轴作的垂直线的交点与原点的距离。这样几何上研究的直线，圆等曲线就可以用代数方程如：ax+by=c或2+2=r2来表示了。 于是几何问题就可以借助代数工具来解决了。笛卡儿的发现可以说是数学上的一场革命性的创见，对数学的推进有很重要的意义。拉格朗日在他的关于数学的基础课程一书里相当正确的评价“解 析几何”的重要性：“如果代数及几何继续照它们不同的道路前进，它们的进展将是缓慢，而且它们的应用受到限制。可是当这些科学结合在一起，它们各从对方吸收新鲜的活力
12、，由此以更迅速的步伐朝向完美的地步前进。”拉格朗日在解析几何上有一些很美丽的发现。在他的解析力学一书里他曾提出力学可以看成是四维空间的几何问题：其中三维是用来表示物体位置，另外一维是作为时间座标。而这种观点是在1915年爱因斯坦应用在他的广义相对论后才普遍被人接受。拉格朗日在数论上的一些成果 距今2000多年前埃及阿历山大城的一位名叫丢番图的数学家，曾经研究怎么样的整数能表示两个平方数的和。据说真正的答案是由两位欧洲的数学家，在1300多年后才得到：一位是荷兰的吉拉，这是1625年；另外一位是稍迟时候发现的法国数学家费马。我们现在知道第一个公开的证法是欧拉在1749年给出。并不是所有的正整数都
13、能表示为两个平方数的和，最简单的几个例子是：3，6，7，11等等。 欧拉发现：整数n=Pa11Pa22Pakk是可以表示成两个平方数的 和，当且仅当 设有一个素数Pi是属于4k+=3的类型，或如果Pi是形如4k+3，那么ai，必须是偶数。吉拉和费马同样认为：任何自然数都可以表示为最少四个平方数的和。但是人看不到他们的证法，而欧拉曾经试几次证明这结果，但不成功。拉格朗日在1770年，在学习欧拉以前这方面的工作之后给出了第一个证明。他的证明在数论上算是相当的美丽。 1=122=12+123=12+12+12 4=225=22+126=22+12+12 7=22+12+12+12 8=22+229=
14、33 10=32+12 11=32+12+12 12=32+12+12+12 13=32+22 14=32+22+12 15=32+22+12+12 读者从以上的几个例子，可以相信这个结果是对吧！拉格朗日发现下面定理：“任何整数如果不是平方，可以表示成两个、 三个或四个的平方和”的证明。另外他也发现一个很漂亮的关于素数的结果。对于任何整数n，我们用n！来表示这样的乘积n 321。即 n！=n321 例如1！=1，2！=21=2，3！=32！=6 4！=43！=24，5！=54！=120， 6！=65！=720 拉格朗日发现如果n是素数那么！+1一定是n的倍数。我们看n=2，3，5，7这几个例子
15、 n=2我们有1！+1=2当然是2的倍数。当n=3我们有2！ +1=3也是3的倍数。取 n=5，我们有4！+1=25是5的倍数。取 n=7，6！+1=721=1037明显是7的倍数。同样在1770年英国数学家威尔森也发现这结果并给予证明。近代数论的书籍，许多人称这结果为威尔森定理，事实上应该是把拉格朗日和威尔森并提才对。 在代数上的工作 他在方程式论上有一些工作。他在代数上最有名的一个定理就是关于群论子群的定理。我们先讲一下“群”的定义。群是一个数学系统G有一个 二元运算“*”，满足下面性质：结合律 *c=a*有一个单位元e，即对于任何在G里的元素X，我们有x*e=e*x=x 对于任何x，我们
16、一定能找到一个y，使得x*y=y*x=e 比方说对所有的整数，它对加法运算组成一个群，这里单位元就是0。如果G的子集H对于该运算“*”是封闭，而且本身也组成一个群，那么这子集就叫子群。好像前面的整数群的例子，所有的偶数集合组成一个子群。我们的群例子是有无限元素。拉格朗日发现在有限群里，子群的之数个数一定是整个大群的约数。 拉格朗日的晚年 拉格朗日在柏林的时候，他的妻子患病，他专心的照顾她。不幸她却沉疴不治，最后去世，这令他非常难过。后来在巴黎时，他娶了法国天文学家李蒙涅的女儿。原来拉格朗日很爱他的前妻，她的去世令他整个人消沉。他来到法国后，李蒙涅作为拉格朗日的好朋友邀请他来家里吃饭聊天，拉格朗
17、日那时已是56岁的人了，对于科学方面已有所贡献，他也不想再做什么重要的工作。小他差不多40岁的李蒙涅小姐却喜欢拉格朗日，她希望他能振作起来，能继续从事科研的工作。她希望他能把忧伤忘记，她愿意嫁给他，照顾他的生活。她那种坚决以身相许的决心，使得拉格朗日不得不娶她。还好这位小姐是相当贤慧而且很有才干，拉格朗日结婚后有人照顾也变得振奋起来。他们的家庭生活是很幸福，日子过的很简单与节约，这样一直到76岁拉格朗日才去世。他没有留下后代。拉格朗日很喜欢音乐。他对朋友解释他喜欢音乐的理由：音乐使他孤立，他不再需要听一些闲聊，能帮助他进行思考的工作。他说：“在听到音乐的第三个音节之后，我就听不到什么东西了，我
18、把我的思想集中在考虑问题，往往这样我解决了许多难题。”已经70岁的拉格朗日，想为“解析力学”这书的第二版作重改及扩充的工作。他不停的工作，就像年青时那样。可是由于衰老，他的身体不容易受头脑指挥。有一天他的妻子发现他昏迷在地上，由于跌倒头部撞到桌角而受伤。他必须躺在床上，他知道自己是病重，但是他仍旧坚持工作，他就像一个哲学家那样的沉着。在去世前二天他叫蒙日及其他的朋友来到床前和他们谈：“我的朋友们，昨天我就觉得病很重，我感到我快要死了，身体逐渐的衰弱。我感到我的力气的逐渐消失，我没悲伤、没有遗憾到达死亡。啊！死亡并不是可怕的，当它来时没有任何痛苦，这是最后的作用，没有什么不愉快。”“在过一个时候再没有什么活动了，死充塞各处；死亡是身体的绝对休息。我希望死去；是的，我希望死，可是我的妻子却不愿意。我已经完成我的事业，我在数学上有一些名声。我从来没有憎恨谁，我也没有做过什么坏事，这样死是最好的。可是我的妻子却不愿意我死去”然后他就昏迷了，他终于在1813年4月10日去世，他活到76岁，这个朴素无华的数学家为人类留下许多丰硕的成果，他可以说是死而无憾！拉格朗日死后埋葬在巴黎的圣贤祠里。
