1、数学转化思想转化思想 转化思想是解决数学问题的一种最基本的数学思想，在研究数学问题时，我们通常是将未知问题转化为已知的问题，将复杂的问题转化为简单的问题，将抽象的问题转化为具体的问题，将实际问题转化为数学问题，我们也常常在不同的数学问题之间互相转化，可以说在解决数学问题时转化思想几乎是无处不在的。例题分析 例1 解方程组 分析：从表面上看此题属于二元三次方程组的求解问题，超过我们所掌握的知识范围，但仔细分析可将方程组变形为 ，再利用换元法，问题就迎刃而解了。 解：设 原方程组可化为 解之，得 即 解之，得 例2 若m、n、p同时满足下面二式：，求的取值范围。 分析：直接利用已知条件中的两个等式
2、得到的取值范围不好下手，如果换个角度考虑可变形为，令，则已知条件可转化为方程组，进而找到a、b与c的关系，可以确定所求式子的取值范围。 解：设，则 由(1)、(2)可得 (3) (4) 此时， (5) 由(3)得 ，由(4)得 由(5)得 例3 如图，中，BC4，P为BC上一点，过点P作PD/AB，交AC于D。连结AP，问点P在BC上何处时，面积最大？ 分析：本题从已知条件上看是一个几何问题，而求最大值又是一个代数问题，因此把几何问题转化为代数中的函数问题是解题的关键，为了完成这种转化，需要把位置关系转化为数量关系，得出函数解析式。 解：设BPx，的面积为y 作于H 则 化简得 配方得 即P为
3、BC中点时，的面积最大 这时的面积最大值为 例4 已知二次函数过点O(0，0)，A()，B()和C()四点。 (1)确定这个函数的解析式及m的值； (2)判断的形状； (3)若有一动圆M，点M在x轴上，与AC相切于T点，M和OA、OC分别交于点R、S，求证弧长为定值。 分析：(1)由于二次函数过三个定点，因此可以利用待定系数法确定函数的解析式，进而求出m的值。 (2)分别计算出OA、OC、AC的长即可判定的形状。 (3)这一问综合性较强，需要根据条件列出点的坐标，再利用方程和距离公式求解。 解：(1)的图象过点O(0，0)、A()、B() 解得 二次函数解析式为 的图象过点 (2) 是等边三角
4、形 (3)设点M的坐标为(P，0) M与AC相切于T点 M的半径为 若M与OA、OC分别交于则 由(1)、(2)知，是方程的两个根 即的两根为 是等边三角形， 的弧长为（定值） 说明：本例是一个综合问题，尤其是第(3)小题体现了代数与几何的综合，需将几何中的点用坐标表示出来，再通过代数方法列出方程通过距离公式确定的形状，从而确定的度数，最后计算出的弧长。 例5 如图，两圆同心，大圆的弦AD交小圆于B、C两点，AE切小圆于点E，连结CE，直线BE交大圆于P、Q两点，已知BEAEb，ABa。 求证：(1)CD、CE的长是方程的两个根； (2)求PB的长。 分析：此例不仅把线段CD、CE的长作为关于
5、x的一元二次方程的根，还将含线段长a、b的代数式作为方程的系数，所以解此例的关键是用几何知识寻找线段CD、CE与实数a、b的等量关系，用含a、b的代数式表示CD、CE的长。 略解：(1)依题意，可证 得CEAC 由切割线定理，得，即 又CDABa 的长是方程的两个根 (2)由相交弦定理，得 即 解得 （不合题意，舍去） 易错题分析 例1. 四边形ABCD中，AC平分，求BC和AB的长。 分析：本题是四边形问题，通常要转化为直角三角形来解决。由已知，AC平分，所以想到由C点作于E，作于F。由已知可求出CF，由，可知CE的长，通过解可求出BC的长。BE也可求，再通过解由勾股定理求出AE的长，这样，
6、AB的长就求出来了。 解：作于E，于F 在中， 在中， 由勾股定理， 综上所述：。 点评：本题有的同学没有思路，但如果想到由已知，想到作AD边上的高线，再由AC平分想到从C点作角的两边的垂线段，总之，把四边形转化为直角三角形解决问题。 例2. 四边形ABCD中，求AB。 分析：本题是四边形问题，可以通过分割或补全直角三角形进行转化，从而解决问题。 解：过D点作的延长线于E，若为钝角，作延长线于F，（若为锐角，作于F，同理） 在中， ， 四边形EBFD是矩形 在中， 点评：本题通过分割或补全直角三角形来求解四边形，注意对的讨论。有可能是锐角、直角或钝角，但无论是什么角，都不影响解题的结果。 例3
7、. 在四边形ABCD中，求CD的长。 分析：本题也是四边形问题，需要转化为直角三角形解决。 解：若是锐角，（是钝角或直角同理）过C点作于F，过C点作的延长线于E。 四边形AECF是矩形 在中， 在中， 点评：以上三个题组成一个题组，都是解四边形的问题。在四边形中，常常通过分割或补全直角三角形来求解四边形。其实质就是把四边形的问题转化为直角三角形的问题，所运用的数学思想就是转化的思想。以上三题容易错的地方是如何把四边形通过分割或补全直角三角形，另外要注意计算不要出错。练习一. 选择题：1. 若x、y都是实数，且，则的值是（ ） A. 12 B. 12 C. D. 92. 设关于的二次方程的两根为
8、，若，则的值是（ ） A. 3 B. 1 C. 3或1 D. 33. 如图，梯形ABCD中，AB/DC，ABa，BDb，CDc，且a、b、c使方程 有两个相等实数根，则和的关系是（ ） A. B. C. D. 4. 在关于x的一元二次方程中，a、b、c是的三条边，那么这个方程根的情况是（ ）A. 没有实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 有实数根 D. 有两个不相等的实数根5. 已知a、b、c是三边的长，bac，且方程两根的差的绝对值等于，则中最大角的度数是（ ） A. B. C. D. 6. 已知a、b、c是三条边长，关于x的方程有两个相等的实数根，且，则的值是（ ） A. 1 B. C.
9、 D. 7. 若是直角三角形两锐角，那么关于x的一元二次方程根的情况是（ ）A. 有两个相等的正根 B. 有两个不等的负根 C. 有一正根和一个负根 D. 没有实数根二. 填空题：1. 在长方形内有1989个点，以这1993个点（包括长方形四个顶点）为顶点画三角形，使每个三角形内部都不包含其它已知点，则这个长方形被分成_个三角形。2. 方程在区间(4，0)中有两个不相等实根，则m的取值范围是_。3. 在中，D是BC中点，于E，AE7，则DE的长为_。三. 解答题：1. 解分式方程：.2. 已知为实数，证明：。3. 如图，AB是半圆O的直径，O是圆心，若，求四边形ABCD的周长和面积。4. 已知
10、：如图，在中，E是BC的中点，D在AC边上，若AC长是1，且，求。5. 已知边长为1的正方形ABCD内接于O，延长BC到点E，使CEBC，连接AE交O于F，求证：EF、FA的长是方程的两根。疑难解答 A. 教师自己设计问题：1. 怎样运用转化思想证明模拟试题中的解答题的第2小题？2. 模拟试题中解答题的第4小题怎样把一般三角形转化为特殊三角形？B. 对问题的解答：1. 模拟试题中解答题的第2小题是证明不等式的问题，可以转化为一元二次方程根的判别式来证明，这就需要构造出合适的一元二次方程，可以设，则，即，为实数，将上面方程看成的一元二次方程时，。2. 答：和都是一般斜三角形，直接根据已知条件不易
11、求得结果，但是由于中AC已知，且，若以AC为一边和以为一内角构成直角三角形或一个等边三角形，则这两种三角形面积都能求。 (1)如图：过C作AB的垂线交AB的延长线于G 可证 这是构成直角三角形的解法(2)如图：以AC为一边，为一内角，构成正三角形ACG 作的平分线交GA于F 则 可证 试题答案一. 1. B 2. C 3. A 4. D 5. B 6. D 7. A二. 1. 3980个 2. 3. 三. 1. 提示：原方程转化为 即，令 解方程后检验 知是原方程的解 2. 提示：可转化为一元二次方程根的判别式来证明 3. 提示：连结OD、OC，作于E，可得，四边形周长 4. 提示：可以构造直角三角形或等边三角形来解， 5. 提示：由勾股定理，得，由割线定理，得，将代入方程左边，右边0，是方程的根，同理也是方程的根， EF、FA是方程的两根。
