1、复数复数 百科名片复数是指能写成如下形式的数a+bi,这里a和b是实数，i是虚数单位（即-1开根）。 由意大利米兰学者卡当在十六世纪首次引入，经过达朗贝尔、棣莫弗、欧拉、高斯等人的工作，此概念逐渐为数学家所接受。 复数有多种表示法，诸如向量表示、三角表示，指数表示等。它满足四则运算等性质。它是复变函数论、解析数论、傅里叶分析、分形、流体力学、相对论、量子力学等学科中最基础的对象和工具。 目录隐藏数学术语 复数的概念 1. 复数的定义 2. 复数（代数式）的四则运算： 3. 复数的其他表达 4. 复数三角形式的运算：复数集的分类 复数的起源 复数的应用 1. 系统分析 2. 信号分析 3. 反常
2、积分 4. 量子力学 5. 相对论 6. 应用数学 7. 流体力学 8. 碎形数系理论的历史发展 复变初等函数 1. 实变初等函数的推广 2. 复变指数函数 3. 复数的三角函数 4. 复数的双曲函数数学术语 复数的概念 1. 复数的定义 2. 复数（代数式）的四则运算： 3. 复数的其他表达 4. 复数三角形式的运算：复数集的分类 复数的起源 复数的应用 1. 系统分析 2. 信号分析 3. 反常积分 4. 量子力学 5. 相对论 6. 应用数学 7. 流体力学 8. 碎形数系理论的历史发展 复变初等函数 1. 实变初等函数的推广 2. 复变指数函数 3. 复数的三角函数 4. 复数的双曲函
3、数 图1编辑本段数学术语编辑本段复数的概念复数的定义数集拓展到实数范围内，仍有些运算无法进行。比如判别式小于0的一元二次方程仍无解。因此将数集再次扩充，达到复数范围。 我们定义，形如z=a+bi的数称为复数，其中规定i为虚数单位，且i2=i*i=-1（a与b是任意实数） 我们将复数z=a+bi中的实数a称为虚数z的实部（real part)记作Rez=a 实数b称为虚数z的虚部（imaginary part)记作 Imz=b. 易知：当b=0时，z=a+ib=a+0，这时复数成为实数； 当a=0且b0时z=a+bi=0+bi我们就将其称为纯虚数。 设z=a+bi是一个复数，则称复数z=a-bi
4、为z的共轭复数。 定义：复数的模（绝对值）=(a2+b2)（定义原因见下述内容） 复数的集合用C表示，显然，RC=R（即R是C的真子集） 复数是无序的，因为在复平面上可以很容易看出来复数不光有长度还有方向（可类比矢量） 复数（代数式）的四则运算：（abi）（cdi）（ac）（bd）i， （abi）（cdi）（ac）（bd）i， （abi）（cdi）（acbd）（bcad）i， （c与d不同时为零） （abi）（cdi）(ac+bd) / (c2+d2)(bcad) / (c2+d2) i， （c+di）不等于0 复数的其他表达复数有多种表示形式，常用形式z=a+bi 叫做代数形式。 下面介绍另
5、外几种复数的表达形式。 几何形式。 在直角坐标系中，以x为实轴，y为虚轴，O为原点形成的坐标系叫做复平面（见本词条附图） 这样所有复数都可以复平面上的点表示被唯一确定 复数z=a+bi 用复平面上的点 z（a，b ）表示。这种形式使复数的问题可以借助图形来研究。也可反过来用复数的理论解决一些几何问题。 向量形式。复数zabi用一个以原点O为起点，点Z（a，b）为终点的向量OZ表示。这种形式使复数的加、减法运算得到恰当的几何解释。 三角形式。复数zabi化为三角形式 zr（cossini） 式中r= sqrt(a2+b2)，叫做复数的模（即绝对值）； 是以x轴为始边；向量OZ为终边的角，叫做复数
6、的辐角。这种形式便于作复数的乘、除、乘方、开方运算。 指数形式。将复数的三角形式zr( cosisin）中的cosisin换为 exp(i)，复数就表为指数形式zrexp(i) 复数三角形式的运算：设复数z1、z2的三角形式分别为r1(cos1+isin1)和r2(cos2+isin2)，那么z1z2r1r2cos(1+2)+isin(1+2) z1z2r1r2cos(12)+isin(12)，若复数z的三角形式为r(cos+isin)，那么znrn(cosn+isinn)，nznrcos(2k+)/n+isin(2k+)/n（k1，2，3）必须记住：z的n次方根是n个复数。 复数的乘、除、乘
7、方、开方可以按照幂的运算法则进行。复数集不同于实数集的几个特点是：开方运算永远可行；一元n次复系数方程总有n个根（重根按重数计）；复数不能建立大小顺序。 复数中的重要定理：迪莫佛定理（De Mories Theorem) 若有一复数z=r(cos+isin),则 zn=(rn)*cos(n)+isin(n) 若zn=k(cos+isin), 则z=(nk)cos(+2k)/n+isin(+2k)/n ,nN ,n=1,2,3.(n-1) 编辑本段复数集的分类数的分类拓展到复数范围后，我们对复数范围的数集做以下分类 复数(a+bi)集合符号C 实数(b=0)集合符号R 有理数集合符号Q （一）正
8、有理数集合符号Q+ 正整数集合符号Z+或N* 1 质数 合数 正分数 负有理数集合符号Q- 负整数集合符号Z- 负分数 （二）整数集合符号Z （自然数）集合符号N 奇数 偶数 分数 无理数 正无理数 负无理数 虚数(b0) 纯虚数(a=0) 混虚数(a0) 编辑本段复数的起源16世纪意大利米兰学者卡当（Jerome Cardan15011576）在1545年发表的重要的艺术一书中，公布了三次方程的一般解法，被后人称之为“卡当公式”。他是第一个把负数的平方根写到公式中的数学家，并且在讨论是否可能把10分成两部分，使它们的乘积等于40时，他把答案写成=40，尽管他认为和这两个表示式是没有意义的、想
9、象的、虚无飘渺的，但他还是把10分成了两部分，并使它们的乘积等于40。给出“虚数”这一名称的是法国数学家笛卡尔（15961650），他在几何学（1637年发表）中使“虚的数”与“实的数”相对应，从此，虚数才流传开来。 数系中发现一颗新星虚数，于是引起了数学界的一片困惑，很多大数学家都不承认虚数。德国数学家莱布尼茨（16461716）在1702年说：“虚数是神灵遁迹的精微而奇异的隐避所，它大概是存在和虚妄两界中的两栖物”。瑞士数学大师欧拉（17071783）说；“一切形如，-1，-2的数学式子都是不可能有的，想象的数，因为它们所表示的是负数的平方根。对于这类数，我们只能断言，它们既不是什么都不是
10、，也不比什么都不是多些什么，更不比什么都不是少些什么，它们纯属虚幻。”然而，真理性的东西一定可以经得住时间和空间的考验，最终占有自己的一席之地。法国数学家达朗贝尔（17171783）在1747年指出，如果按照多项式的四则运算规则对虚数进行运算，那么它的结果总是的形式（a、b都是实数）（说明：现行教科书中没有使用记号=-i，而使用=-1）。法国数学家棣莫佛（16671754）在1730年发现公式了，这就是著名的棣莫佛定理。欧拉在1748年发现了有名的关系式，并且是他在微分公式（1777年）一文中第一次用i来表示一1的平方根，首创了用符号i作为虚数的单位。“虚数”实际上不是想象出来的，而它是确实存
11、在的。挪威的测量学家成塞尔（17451818）在1779年试图给于这种虚数以直观的几何解释，并首先发表其作法，然而没有得到学术界的重视。 德国数学家阿甘得（17771855）在1806年公布了虚数的图象表示法，即所有实数能用一条数轴表示，同样，虚数也能用一个平面上的点来表示。在直角坐标系中，横轴上取对应实数a的点A，纵轴上取对应实数b的点B，并过这两点引平行于坐标轴的直线，它们的交点C就表示复数a+bi。象这样，由各点都对应复数的平面叫做“复平面”，后来又称“阿甘得平面”。高斯在1831年，用实数组（a，b）代表复数a+bi，并建立了复数的某些运算，使得复数的某些运算也象实数一样地“代数化”。
12、他又在1832年第一次提出了“复数”这个名词，还将表示平面上同一点的两种不同方法直角坐标法和极坐标法加以综合。统一于表示同一复数的代数式和三角式两种形式中，并把数轴上的点与实数一对应，扩展为平面上的点与复数一对应。高斯不仅把复数看作平面上的点，而且还看作是一种向量，并利用复数与向量之间一对应的关系，阐述了复数的几何加法与乘法。至此，复数理论才比较完整和系统地建立起来了。 经过许多数学家长期不懈的努力，深刻探讨并发展了复数理论，才使得在数学领域游荡了200年的幽灵虚数揭去了神秘的面纱，显现出它的本来面目，原来虚数不虚呵。虚数成为了数系大家庭中一员，从而实数集才扩充到了复数集。 随着科学和技术的进
13、步，复数理论已越来越显出它的重要性，它不但对于数学本身的发展有着极其重要的意义，而且为证明机翼上升力的基本定理起到了重要作用，并在解决堤坝渗水的问题中显示了它的威力，也为建立巨大水电站提供了重要的理论依据。 编辑本段复数的应用系统分析在系统分析中，系统常常通过拉普拉斯变换从时域变换到频域。因此可在复平面上分析系统的极点和零点。分析系统稳定性的根轨迹法、奈奎斯特图法（Nyquist plot）和尼科尔斯图法（Nichols plot）都是在复平面上进行的。 无论系统极点和零点在左半平面还是右半平面，根轨迹法都很重要。如果系统极点 位於右半平面，则因果系统不稳定； 都位于左半平面，则因果系统稳定；
14、 位於虚轴上，则系统为临界稳定的。 如果系统的全部零点都位於右半平面，则这是个最小相位系统。如果系统的极点和零点关於虚轴对称，则这是全通系统。 信号分析信号分析和其他领域使用复数可以方便的表示周期信号。模值|z|表示信号的幅度，辐角arg(z)表示给定频率的正弦波的相位。 利用傅立叶变换可将实信号表示成一系列周期函数的和。这些周期函数通常用形式如下的复函数的实部表示： 其中对应角频率，复数z 包含了幅度和相位的信息。 电路分析中，引入电容、电感与频率有关的虚部可以方便的将电压、电流的关系用简单的线性方程表示并求解。（有时用字母j 作为虚数单位，以免与电流符号i 混淆。） 反常积分在应用层面，复分析常用以计算某些实值的反常函数，藉由复值函数得出。方法有多种，见围道积
