1、第十四章第三节因式分解因式分解因式分解：把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也可称分解因式。（把加减变相乘）因式分解与整式乘法互为逆变形：因式分解的一般步骤：如果多项式的各项有公因式，应先提公因式；如果各项没有公因式，再看能否直接运用公式法、十字相乘法分解；如还不能，就试用分组分解法或其他方法。注意事项：1.若无特别说明，分解因式的结果必须是每个因式在有理数范围内不能再分解为止；如： 2.结果一定是乘积的形式；3.每一个因式都是整式；如： 4.相同因式的积要写成幂的形式。在分解因式时，结果的形式有一定要求1.没有大括号和中括号（只有小括号）如： 2.每一个因式中不能
2、含有同类项，如果有需要合并的同类项，合并后要注意能否再分解；3.单项式因式写在多项式因式的前面；4.每一个因式第一项系数一般不为负数；如: 【例】判断下列各式从左到右的变形是否是因式分解，并说明理由（1） （2） （3） （4） 因式分解的常用方法一、提公因式法. ma+mb+mc=m(a+b+c)提取公因式：如果多项式的各项有公因式，一般要将公因式提到括号外面。确定公因式的方法:系数取多项式各项系数的最大公约数；字母（或多项式因式）取各项都含有的字母（或多项式因式）的最低次幂。【例1】【例2】*若a、b、c为ABC的三边长，且 ，则ABC按边分类，应是什么三角形？【例3】求代数式的值： ，其
3、中 。【练习】（1）（2）（3）二、运用公式法.在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如：平方差公式： 完全平方公式： 立方和（差）公式： 【例4】分解因式：（1） （2） （3） （4） （5） 【例5】（1）分解因式： = *（2）分解因式： *【例6】若a，b，c为正整数，且满足 ，那么a，b，c之间有什么关系？【例7】分解因式： 【练习】1.用平方差公式分解因式：（1）（2）（3）（4）2.用完全平方公式分解因式：（1）（2）（3）（4）三、分组分解法.（一）分组后能直接提公因式【例】分解因式：分析：从“整体”看，这个多项式的各项既没有公
4、因式可提，也不能运用公式分解，但从“局部”看，这个多项式前两项都含有a，后两项都含有b，因此可以考虑将前两项分为一组，后两项分为一组先分解，然后再考虑两组之间的联系。解：原式= = 每组之间还有公因式！ = 【例8】分解因式：解法一：第一、二项为一组； 解法二：第一、四项为一组；第三、四项为一组。 第二、三项为一组。【练习】分解因式1、 2、（二）分组后能直接运用公式【例9】分解因式：分析：若将第一、三项分为一组，第二、四项分为一组，虽然可以提公因式，但提完后就能继续分解，所以只能另外分组。【例10】分解因式： 【练习】分解因式3、 4、综合练习：（1） （2）（3）（4）（5） （6）（7）
5、 （8）（9） （10）（11）（12）四、十字相乘法.（一）二次项系数为1的二次三项式直接利用公式进行分解。特点：（1）二次项系数是1； （2）常数项是两个数的乘积；（3）一次项系数是常数项的两因数的和。思考：十字相乘有什么基本规律？例.已知05，且为整数，若能用十字相乘法分解因式，求符合条件的.解析：凡是能十字相乘的二次三项 式ax2+bx+c，都要求 0而且是一个完全平方数。于是为完全平方数，【例11】分解因式： 【例12】分解因式： 【练习】分解因式 (1) (2) (3) 【练习】分解因式 (1) (2) (3) （二）二次项系数不为1的二次三项式条件：（1） （2） （3） 分解结
6、果： =【例13】分解因式： 【练习】分解因式：（1） （2） （3） （4）（三）二次项系数为1的齐次多项式【例14】分解因式： 分析：将看成常数，把原多项式看成关于的二次三项式，利用十字相乘法进行分解。 1 8b 1 -16b 8b+(-16b)= -8b 解： = =【练习】分解因式(1) (2) (3) （四）二次项系数不为1的齐次多项式【例15】 【例16】 【练习】分解因式：（1） （2）【综合练习】（1） （2）（3） （4）（5） （6）（7）（8）（9）（10）思考：分解因式： 五、换元法.【例17】分解因式（1） （2）【练习】分解因式（1）（2） （3）六、添项、拆项、配
7、方法.【例18】分解因式（1） 解法1拆项。 解法2添项。（2）【练习】分解因式（1） （2）（3） （4）（5） （6）七、待定系数法.【例19】分解因式【例20】（1）当为何值时，多项式能分解因式，并分解此多项式。 （2）如果有两个因式为和，求的值。 【练习】（1）分解因式（2）分解因式（3） 已知：能分解成两个一次因式之积，求常数并且分解因式。（4）为何值时，能分解成两个一次因式的乘积，并分解此多项式。课后作业一、填空1、若是完全平方式，则的值等于_。2、则=_=_3、与的公因式是4、若=，则m=_，n=_。5、在多项式中，可以用平方差公式分解因式的有_ ，其结果是 _。6、若是完全平方
8、式，则m=_。7、，8、若的值为0，则的值是_。9、若则=_。10、若则_。二、选择题1、多项式的公因式是（ ）A、a、 B、 C、 D、2、若，则m，k的值分别是（ ）A、m=2，k=6，B、m=2，k=12，C、m=4，k=12、D m=4，k=12、3、下列名式：中能用平方差公式分解因式的有（ ）A、1个，B、2个，C、3个，D、4个三、解答题1、把下列各式因式分解。(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8)(9) (10)(11) (12) （14） （16）2、用简便方法计算。（1） 0.75 （2）（3） (4) 3、已知：,.求的值。四、探究创新乐园1、 已知，求的值。2、 若x、y互为相反数，且，求x、y的值3、 已知，求的值
