1、第1章 信号处理第1章 信号处理基础理论 1.1信号信号是信息的物理表现形式是传递信息的函数，而信息则是信号的具体体现内容。同一种信号可以从不同的角度度量，按信号载体的物理特性：电、光、声、磁、机械、热信号。按自变量的数目：一维信号、多维信号（二维信号、三维信号等）。按信号中自变量和幅度的取值特点：连续时间（continuous time, CT）信号：自变量时间在定义域内是连续的。模拟信号（analog signal）：如果连续时间信号的幅度在一定的动态范围内也连续取值，信号就是。自然界中的信号大多数是模拟信号。离散时间（discrete time, DT）信号：自变量时间在定义域内是离散的
2、。离散时间信号可以通过对连续时间信号的采样来获得，或信号本身就是离散时间信号。数字信号（digital signal）：时间离散，幅度量化为有限字长二进制数的信号。1.2信号处理从信号中提取尽可能多的有用信息；增强信号的有用分量；估计信号的特征参数；识别信号的特性；抑制或消除不需要的甚至是有害的信号分量。为达到上述目的，需要对信号进行分析和变换、扩展和压缩、滤波、参数估计、特性识别等加工，统称为信号处理。1.3系统1.3.1 线性系统线性系统：满足叠加原理的系统具有线性特性。即若对两个激励和，有，式中a、b为任意常数。不满足上述关系的为非线性系统。1.3.2 时不变系统时不变系统：就是系统的参
3、数不随时间而变化，即不管输入信号作用的时间先后，输出信号响应的形状均相同，仅是从出现的时间不同。用数学表示为Tx(n)=yn则 Tx(n-n0)=yn-n0，这说明序列x(n)先移位后进行变换与它先进行变换后再移位是等效的。1.3.3 线性时不变系统线性时不变系统：既满足叠加原理又具有时不变特性，它可以用单位脉冲响应来表示。单位脉冲响应是输入端为单位脉冲序列时的系统输出，一般表示为h(n)，即h(n)=T(n)。 任一输入序列x(n)的相应y(n)=Tx(n)=T (n-k)； 由于系统是线性的，所以上式可以写成y(n)=T(n-k)； 又由于系统是时不变的，即有T(n-k)h(n-k)； 从
4、而得y(n)=h(n-k)=x(n)*h(n)； 这个公式称为离散卷积，用“*”表示。1.3.4 线性时不变系统的性质齐次性 若激励f(t)产生的响应为y(t)，则激励Af(t)产生的响应即为Ay(t)，此性质即为齐次性。其中A为任意常数。 f(t)系统y(t)，Af(t)系统Ay(t) 叠加性 若激励f1(t)与f2(t)产生的响应分别为y1(t)， y2(t)，则激励f1(t)+f2(t)产生的 应即为y1(t)+y2(t)，此性质称为叠加性。 线性 若激励f1(t)与f2(t)产生的响应分别为y1(t)， y2(t)，则激励A1f1(t)+A2f2(t)产 的响应即为A1y1(t)+A2
5、y2(t)，此性质称为线性。 时不变性 若激励f(t)产生的响应为y(t)，则激励f(t-t0)产生的响应即为y(t-t0)，此性质称为 不变性，也称定常性或延迟性。它说明，当激励f(t)延迟时间t0时，其响应y(t)也延 迟时间t0，且波形不变。 微分性 若激励f(t)产生的响应为y(t)，则激励产生的响应即为此性质即为微分性。 积分性 若激励f(t)产生的响应为y(t)，则激励产生的响应即为。此性质称为积分性。 线性时不变系统具有因果性的充分必要条件是系统的单位取样响应满足h(n)=0， n0 系统稳定的充分必要条件是系统的单位脉冲响应绝对可和1.4抽样定理、重建1.4.1抽样 抽样是利用
6、周期性抽样脉冲序列从连续信号中抽取一系类的离散值得到抽样信号，抽样信号在经过度量化编码后即得到数字信号。一个连续时间信号经过理想抽样后，其频谱将以为间隔而重复，这就是频谱产生周期延拓。理想抽样：如果信号的频带宽度是有限的，要想抽样后的信号,能不失真的还原原始信号，则抽样频率必须大于或等于两倍信号谱的最高频率。实际抽样：实际情况中，抽样脉冲不是冲击函数，而是一定宽度的矩形周期脉冲。与理想抽样不同的是这里频谱分量的幅度是有变化的，其包络随频率的增加而逐渐下降。1.4.2重建信号的重建：如果满足奈奎斯特采样定理，即信号谱的最高频率小于折叠频率，则抽样后不会产生频谱混叠，即可以重建信号。 将 通过以下
7、理想低通滤波器 就可以得到原信号频谱，输出端即可输出原始信号。1.5变换域分析方法 在连续时间信号与系统中，其变换域方法是拉普拉斯变换与傅立叶变换。在离散时间信号与系统中，其方法就是Z变换和离散时间傅立叶变换。1.5.1 傅里叶变换 FT1.5.2 傅里叶级数1.5.3 离散傅里叶变换1.5.4 离散时间傅里叶变换1.5.5 快速傅里叶变换1.5.6 Z变换1.5.7 拉普拉斯变换 傅里叶级数（FS）:主要用于分析连续的周期信号，由于时域上连续周期信号可以分解为无限多个正弦信号之和，在频域上就表示为离散非周期的信号，即时域连续周期对应频域离散非周期的特点。 傅里叶变换（FT）:主要用于分析连续
8、非周期信号，由于信号是非周期的，它必包含了各种频率的信号，所以具有时域连续非周期对应频域连续非周期的特点。 DTFT是离散时间傅立叶变换 离散非周期序列分析，根据连续傅立叶变换要求连续信号在时间上必须可积这一充分必要条件，那么对于离散时间傅立叶变换，用于它之上的离散序列也必 须满足在时间轴上级数求和收敛的条件；由于信号是非周期序列，它必包含了各种频率的信号，所以DTFT对离散非周期信号变换后的频谱为连续的，即时域离散非周期对应频域连续周期的特点。离散周期序列分析，严格的讲，傅立叶变换是不存在的，因为它不满足信号序列绝对级数和收敛（绝对可和）这一傅立叶变换的充要条件，但是采用DFS（离散傅立叶级
9、数）这一分析工具仍然可以对其进行傅立叶分析。我们知道周期离散信号是由无穷多相同的周期序列在时间轴上组成的，假设周期为N，即每个周期序列都有N个元素，而这样的周期序列有无穷多个，由于无穷多个 周期序列都相同，所以可以只取其中一个周期就足以表示整个序列了，这个被抽出来表示整个序列特性的周期称为主值周期，这个序列称为主值序列。然后以N对应 的频率作为基频构成傅立叶级数展开所需要的复指数序列ek(n)=exp(j*2pi*k*n/N),用主值序列与复指数序列取相关（乘加运算），得出每 个主值在各频率上的频谱分量，这样就表示出了周期序列的频谱特性。 根据DTFT，对于有限长序列作Z变换或序列傅立叶变换都
10、是可行的，或者说，有限长序列的频域和复频域分析在理论上都已经解决；但对于数字系统，无论是Z 变换还是序列傅立叶变换的适用方面都存在一些问题，重要是因为频率变量的连续性性质（DTFT变换出连续频谱），不便于数字运算和储存。参考DFS，可以采用类似DFS的分析方法对解决以上问题。可以把有限长非周期序列假设为一无限长周期序列的一个主直周期，即对有限长非周期序列进行周期 延拓，延拓后的序列完全可以采用DFS进行处理，即采用复指数基频序列和此有限长时间序列取相关，得出每个主值在各频率上的频谱分量以表示出这个“主值周 期”的频谱信息。由于DFT借用了DFS，这样就假设了序列的周期无限性，但在处理时又对区间
11、作出限定（主值区间），以符合有限长的特点，这就使DFT带有了周期性。另 外，DFT只是对一周期内的有限个离散频率的表示，所以它在频率上是离散的，就相当于DTFT变换成连续频谱后再对其采样，此时采样频率等于序列延拓后的 周期N，即主值序列的个数。FS和FT 都是用于连续信号频谱的分析工具，它们都以傅立叶级数理论问基础推导出的。时域上连续的信号在频域上都有非周期的特点，时域上离散的信号在频域上都有周期的特点，周期信号在频域离散，非周期信号在频域上连续。这些变换的实质都一样,都是将一个复杂信号在一正交系中进行分解,不同在于选择的基不同.傅里叶变换选择的是复指数与三角基，小波变换选择了其它 的基 信号
12、在时域与频域具有对偶性.一个域的周期性与连续性对应于另一个域的与非周期，比如对于周期性信号连续信号，具绝对可积条件时，在可以进行级数展 开，得到了离散的非周期频谱 DFT，DTFT，DFS，FFT的联系与区别DFT与FFT是一个本质，FFT是DFT的一种算法DFS是discrete fourier seriers,对离散周期信号进行级数展开.DFT是将DFS取主值,DFS是DFT的周期延拓.DTFT是对Discrete time fourier transformation,是对序列的FT,得到连续的周期谱,而DFT,FFT得到是有限长的非周期离散谱,不是一个.1.6离散时间信号与系统 离散时
13、间信号：序列 序列的运算：移位、翻褶、和、积、累加、差分、时间尺度变换、卷积和、序列的时间抽取和零值插入。 几种常见序列：单位抽样序列、单位阶跃序列、矩形序列等。 序列的周期性： 用单位抽样序列表示任意序列：任意序列都可以表示为单位抽样序列的移位加权和，即 显然，这是因为只有m=n时，因而 1.7数字滤波器1.7.1巴特沃兹滤波器(Butterworth 滤波器)特点：具有通带内最大平坦的振幅特性，且随f，幅频特性单调。其幅度平方函数： (3-1)N为滤波器阶数，如图3-1图3-1、 巴特沃斯滤波器振幅平方特性通带： 使信号通过的频带阻带：抑制噪声通过的频带过渡带：通带到阻带间过渡的频率范围
14、c ：截止频率。 过渡带为零理想滤波器 阻带|H(j )|=0 通带内幅度|H(j)|=cons. H(j)的相位是线性的图2-1中，N增加，通带和阻带的近似性越好，过渡带越陡。通带内，分母/c1, ( /c)2N1， ( /c)2N1, 增加， A(2)快速减小。=c, , ,幅度衰减，相当于3db衰减点。振幅平方函数的极点 (3-2) 可见，Butter worth滤波器 的振幅平方函数有2N个极点，它们均匀对称地分布在|S|=c的圆周上。考虑到系统的稳定性，知DF的系统函数是由S平面左半部分的极点(SP3，SP4，SP5)组成的，它们分别为： (3-3)系统函数为： (3-4)令 ，得归
15、一化的三阶BF： (3-5)如果要还原的话，则有 (3-6)1.7.2切比雪夫滤波器巴特奥兹低通滤波器的幅频特性随的增加而单调下降，当N较小时，阻带幅频特性下降较慢，要想使其幅频特性接近理想低通滤波器，就必须增加滤波器的阶数，这就将导致模拟滤波器使用的原件增多，线路趋于复杂。切比雪夫滤波器10的阻带衰减特性则有所改善。特点：误差值在规定的频段上等幅变化。巴特沃兹滤波器在通带内幅度特性是单调下降的，如果阶次一定，则在靠近截止频率 c处，幅度下降很多，或者说，为了使通常内的衰减足够小，需要的阶次(N) 很高，为了克服这一缺点，采用切比雪夫多项式逼近所希望的。 切比雪夫滤波器的 在通带范围内是等幅起
16、伏的，所以同样的通带衰减，其阶数较巴特沃兹滤波器要小。可根据需要对通带内允许的衰减量(波动范围)提出要求，如要求波动范围小于1db。 振幅平方函数为 式中 有效通带截止频率与通带波纹有关的参量,大,波纹大,0 1。Vn(x)N阶切比雪夫多项式，定义为 如图3-1,通带内,，变化范围1- c ，随/c ，0(迅速趋于零)当 =0时， N为偶数，, (min) ， N为奇数，, (max)， 图2-2、切比雪夫滤波器的振幅平方特性有关参数的确定：a. 通带截止频率 ，预先给定b. 由通带波纹表为 给定通带波纹值分贝数 后，可求。 c. 阶数N由阻带的边界条件确定。(,A事先给定) 得 1.7.3椭
17、圆滤波器 特点：幅值响应在通带和阻带内都是等波纹的，对于给定的阶数和给定的波纹要求，椭圆滤波器能获得较其它滤波器为窄的过渡带宽，就这点而言，椭圆滤波器11是最优的，其振幅平方函数为 式中，RN(，L)为雅可比椭圆函数，L是一个表示波纹性质的参量。 图2-3、 N=5时 的特性曲线 由图可见，在归一化通带内(-11)，在(0,1)间振荡，而超过L后，在L2， 间振荡。L越大，L也变大。这一特点使滤波器同时在通带和阻带具有任意衰减量。 下图为典型的椭园滤波器振幅平方函数： 图2-4、 椭圆滤波器的振幅平方函数 图中和A的定义与切比雪夫滤波器相同。 当c、s、和A确定后，阶次N的确定方法为 ： 确定参数确定参量N=式中K(k)= 为第一类完全椭圆积分。
