1、1第第9章章 拉普拉斯变换拉普拉斯变换Signals and SystemsA.V.OPPENHEIM,et al.The Laplace Transform21.双边拉普拉斯变换；双边拉普拉斯变换；2.双边拉普拉斯变换的收敛域；双边拉普拉斯变换的收敛域；3.零极点图；零极点图；4.双边拉普拉斯变换的性质；双边拉普拉斯变换的性质；5.系统函数；系统函数；6.单边拉普拉斯变换；单边拉普拉斯变换；本章基本内容：本章基本内容：39.0 引言引言 Introduction 傅里叶分析方法之所以在信号与傅里叶分析方法之所以在信号与LTI系统分析中系统分析中如此有用，很大程度上是因为相当广泛的信号都可如此
2、有用，很大程度上是因为相当广泛的信号都可以表示成复指数信号的线性组合，而以表示成复指数信号的线性组合，而复指数函数是复指数函数是一切一切 LTI 系统的特征函数。系统的特征函数。傅里叶变换是以复指数函数中的特例，即以傅里叶变换是以复指数函数中的特例，即以 和和 为基底分解信号的。对于更一般的复指数函数为基底分解信号的。对于更一般的复指数函数 和和 ，也理应能以此为基底对信号进行分解。，也理应能以此为基底对信号进行分解。4 通过本章及下一章，会看到拉氏变换和通过本章及下一章，会看到拉氏变换和变换不变换不仅具有很多与傅里叶变换相同的重要性质，不仅能仅具有很多与傅里叶变换相同的重要性质，不仅能适用于
3、用傅里叶变换的方法可以解决的信号与系统适用于用傅里叶变换的方法可以解决的信号与系统分析问题，而且还能解决傅里叶分析方法不适用的分析问题，而且还能解决傅里叶分析方法不适用的许多方面。许多方面。拉氏变换与拉氏变换与变换的分析方法是傅里叶变换的分析方法是傅里叶分析法的推广，傅里叶分析是它们的特例。分析法的推广，傅里叶分析是它们的特例。将傅里叶变换推广到更一般的情况就是本章及下将傅里叶变换推广到更一般的情况就是本章及下一章要讨论的中心问题。一章要讨论的中心问题。59.1 拉普拉斯变换拉普拉斯变换 复指数信号复指数信号 是一切是一切LTI系统的特征函数。系统的特征函数。如果如果LTI系统的单位冲激响应为
4、系统的单位冲激响应为 ，则系统对，则系统对 产生的响应是产生的响应是:，其中，其中显然当显然当 时，就是傅里叶变换。时，就是傅里叶变换。The Laplace Transform6一一.双边拉氏变换的定义：双边拉氏变换的定义：称为称为 的的双边拉氏变换双边拉氏变换，其中，其中 。若若 ，则有则有:这就是这就是 的傅里叶变换。的傅里叶变换。表明：表明：连续时间傅里叶变换是双边拉普拉斯变换连续时间傅里叶变换是双边拉普拉斯变换在在 或是在或是在 轴上的特例。轴上的特例。7由于由于 所以所以拉氏变换是对傅里叶变换的推广拉氏变换是对傅里叶变换的推广，的的拉氏变换就是拉氏变换就是 的傅里叶变换。只要有合的
5、傅里叶变换。只要有合适的适的 存在，就可以使某些本来不满足狄里赫利存在，就可以使某些本来不满足狄里赫利条件的信号在引入条件的信号在引入 后满足该条件。即有些信后满足该条件。即有些信号的傅氏变换不收敛而它的拉氏变换存在。号的傅氏变换不收敛而它的拉氏变换存在。拉氏变换比傅里叶变换有更广泛的适用性。拉氏变换比傅里叶变换有更广泛的适用性。8例例1.在在 时收敛时收敛当当 时，时，的傅里叶变换存在的傅里叶变换存在显然，在显然，在 时，拉氏变换收敛的区域时，拉氏变换收敛的区域 ，包括了，包括了 （即（即 轴）。轴）。9比较比较 和和 ，显然有，显然有 当当 时，时，可知可知例例2.与例与例1.比较，区别仅
6、在于收敛域不同。比较，区别仅在于收敛域不同。10由以上例子，可以看出由以上例子，可以看出:1.拉氏变换与傅里叶变换一样存在收敛问题。拉氏变换与傅里叶变换一样存在收敛问题。并并非任何信号的拉氏变换都存在，也不是非任何信号的拉氏变换都存在，也不是 S 平面上平面上的任何复数都能使拉氏变换收敛。的任何复数都能使拉氏变换收敛。2.使拉氏变换积分收敛的那些复数使拉氏变换积分收敛的那些复数 S的集合，称的集合，称为拉氏变换的收敛域为拉氏变换的收敛域 ROC，拉氏变换的拉氏变换的 ROC（Region of Convergence）是非常重要的概念。是非常重要的概念。113.不同的信号可能会有完全相同的拉氏
7、变换表达不同的信号可能会有完全相同的拉氏变换表达式，只是它们的收敛域不同。式，只是它们的收敛域不同。4.只有拉氏变换表达式连同相应的收敛域，才能只有拉氏变换表达式连同相应的收敛域，才能和信号建立一一对应的关系和信号建立一一对应的关系。5.如果拉氏变换的如果拉氏变换的ROC包含包含 轴轴，则有，则有12二二.拉氏变换的拉氏变换的ROC及零极点图：及零极点图：例例3.13可见：可见：拉氏变换的收敛域是各个收敛域的公共部拉氏变换的收敛域是各个收敛域的公共部分。分。ROC总是以平行于总是以平行于 轴的直线作为边界的，轴的直线作为边界的，ROC的边界总是与的边界总是与 的分母的根对应的。的分母的根对应的
8、。若若 是有理函数是有理函数14 分子多项式的根称为分子多项式的根称为零点零点，分母多项式的根，分母多项式的根称为称为极点极点。将将 的全部零点和极点表示在的全部零点和极点表示在 S 平面上就平面上就构成了构成了零极点图零极点图。零极点图及其收敛域可以表。零极点图及其收敛域可以表示一个示一个 ，最多与真实的，最多与真实的 相差一个常数相差一个常数因子因子 。因此，因此，零极点图是拉氏变换的图示方法零极点图是拉氏变换的图示方法。159.2 拉氏变换的收敛域拉氏变换的收敛域可以归纳出可以归纳出ROC的以下性质：的以下性质：1.ROC是是 S 平面上平行于平面上平行于 轴的带状区域。轴的带状区域。2
9、.在在ROC内无任何极点。内无任何极点。3.时限信号的时限信号的ROC是整个是整个 S 平面。平面。4.右边信号的右边信号的ROC是是 S 平面内某一条平行于平面内某一条平行于 轴轴的直线的右边。的直线的右边。The Region of Convergence for Laplace Transforms16若若 ，则，则表明表明 也在收敛域内。也在收敛域内。若若 是右边信号是右边信号,在在ROC内内，则有则有 绝对可积，即：绝对可积，即：175.左边信号的左边信号的ROC是是S平面内的一条平行于平面内的一条平行于 轴轴的直线的左边。的直线的左边。若若 是左边信号，定义于是左边信号，定义于 ,
10、在在 ROC 内，内，则，则表明表明 也在收敛域内。也在收敛域内。186.双边信号的双边信号的ROC如果存在，一定是如果存在，一定是 S 平面内平面内平行于平行于 轴的带形区域。轴的带形区域。例例1.其它其它19有极点有极点考查零点，令考查零点，令得得例例2.显然显然 在在 也有一阶零点，由于零极也有一阶零点，由于零极点相抵消，致使在整个点相抵消，致使在整个S平面上无极点。平面上无极点。20当当 时，上述时，上述ROC有公共部分，有公共部分，当当 时，上述时，上述 ROC 无公共部分，表明无公共部分，表明 不不存在。存在。21 当当 是有理函数时，其是有理函数时，其ROC总是由总是由 的极的极
11、点分割的。点分割的。ROC必然满足下列规律：必然满足下列规律：1.右边信号的右边信号的ROC一定位于一定位于 最右边极点的最右边极点的右边。右边。2.左边信号的左边信号的ROC一定位于一定位于 最左边极点的最左边极点的左边。左边。3.双边信号的双边信号的ROC可以是任意两相邻极点之可以是任意两相邻极点之间的间的带状区域带状区域。22例例3.可以形成三种可以形成三种 ROC：1)ROC：此时此时 是右边信号。是右边信号。2)ROC：此时此时 是左边信号。是左边信号。3)ROC：此时此时 是双边信号。是双边信号。23The Inverse Laplace Transform 一一.定义：定义：由由
12、若若 在在ROC内，则有内，则有:9.3 拉普拉斯反变换拉普拉斯反变换24 当当 从从 时时,从从由由得得 拉氏反变换表明拉氏反变换表明:可以被分解成复振幅为可以被分解成复振幅为 的复指数信号的复指数信号 的线性组合。的线性组合。的反变换的反变换25二二.拉氏反变换的求法拉氏反变换的求法:对有理函数形式的对有理函数形式的 求反变换一般有两种方求反变换一般有两种方法法,即即部分分式展开法部分分式展开法和和留数法留数法。1.将将 展开为部分分式。展开为部分分式。2.根据根据 的的ROC，确定每一项的，确定每一项的ROC。3.利用常用信号的变换对与拉氏变换的性质利用常用信号的变换对与拉氏变换的性质,
13、对每一项进行反变换。对每一项进行反变换。v 部分分式展开法：部分分式展开法：26极点：极点：确定其可能的收敛域及所对应信号的属性。确定其可能的收敛域及所对应信号的属性。例例1.右边信号右边信号左边信号左边信号双边信号双边信号27例例2.281.求出求出 的全部极点。的全部极点。2.求出求出 在在 ROC 左边的所有极点处的留数之左边的所有极点处的留数之和，它们构成了和，它们构成了 的因果部分。的因果部分。3.求出求出 在在 ROC 右边的所有极点处的留数之右边的所有极点处的留数之和，并加负号，它们构成了和，并加负号，它们构成了 的反因果部分。的反因果部分。v 留数法（当留数法（当 是有理函数时
14、）：是有理函数时）：29例例3.的极点的极点 均位于均位于ROC右边右边30Geometric Evaluation of the Fourier Transform from the Pole-Zero Plot可以用零极点图表示可以用零极点图表示 的特征的特征。当。当ROC包包括轴时，以括轴时，以 代入代入 ，就可以得到，就可以得到 。以此为基础可以用几何求值的方法从零极。以此为基础可以用几何求值的方法从零极点图求得点图求得 的特性。这在定性分析系统频的特性。这在定性分析系统频率特性时有很大用处。率特性时有很大用处。9.4 由零极点图对傅里叶变换几何求值由零极点图对傅里叶变换几何求值31
15、零点零点 ,要求出要求出 时的时的 ，可以作，可以作两个矢量两个矢量 和和 ，则，则 。1.单零点情况：单零点情况：矢量矢量 称为称为零点矢量零点矢量，它的长度，它的长度 表示表示 ,其幅角即为其幅角即为 。032极点极点 直接由极点向直接由极点向 点作矢量（称为点作矢量（称为极点矢量极点矢量），），其长度的倒量为其长度的倒量为 ,幅角的负值为幅角的负值为 。2.单极点情况：单极点情况：033 因此有因此有:对有理函数形式的对有理函数形式的3.一般情况：一般情况：34 即：从所有零点向即：从所有零点向 点作点作零点矢量零点矢量，从所有极，从所有极点向点向 点作点作极点矢量极点矢量。所有零点矢量
16、的长度之积。所有零点矢量的长度之积除以所有极点矢量的长度之积即为除以所有极点矢量的长度之积即为 。所有。所有零点矢量的幅角之和减去所有极点矢量的幅角之零点矢量的幅角之和减去所有极点矢量的幅角之和即为和即为 。当当 取为取为 轴上的点时，即为傅里叶变换的轴上的点时，即为傅里叶变换的几何求值。几何求值。考查考查 在在 轴上移动时所有零、极轴上移动时所有零、极点矢量的长度和幅角的变化点矢量的长度和幅角的变化，即可得出，即可得出 的的特性。特性。35例例1.一阶系统：一阶系统：随着随着 ，单调下降，单调下降，时时,下降到最大值的下降到最大值的最大值在最大值在 时取得。时取得。36相位特性，当相位特性，当 时时 随着随着 ，趋向趋向 。则则 趋向趋向 。37例例2.二阶系统：二阶系统：3839 1.当当 时，时，有两个实数极点，此时系有两个实数极点，此时系统统过阻尼过阻尼。起主要作用。随着起主要作用。随着 ，两极点，两极点相向移动，向相向移动，向 处靠拢。处靠拢。2.当当 时，两极点重合于时，两极点重合于 处，成为二阶处，成为二阶极点。系统处于极点。系统处于临界阻尼状态临界阻尼状态。40 3.进
