1、薛定谔方程薛定谔方程第第 二十二十 七七 章章薛定谔方程是量子力学的基本动力学方程薛定谔方程是量子力学的基本动力学方程概述概述1.一维定态薛定谔方程一维定态薛定谔方程2.定态波函数定态波函数3.粒子在无限深方势阱中的波函数及能量、动量及波长粒子在无限深方势阱中的波函数及能量、动量及波长4.势垒穿透势垒穿透 隧道效应隧道效应27.1薛定谔方程薛定谔方程一一 波函数及其统计解释波函数及其统计解释 微微观观粒粒子子具具有有波波粒粒二二象象性性，其其位位置置与与动动量量不不能能同同时时确确定定，无无法法用用经经典典物物理理方方法法描描述述其其运运动动状状态态；量量子子力力学学用用波函数来描述微观粒子的
2、运动波函数来描述微观粒子的运动1.波函数波函数经典波的波函数经典波的波函数:电磁波电磁波机械波机械波经典波为实函数经典波为实函数微观粒子的微观粒子的波函数（复函数）波函数（复函数）自由粒子平面波函数自由粒子平面波函数:E 和和 p 分别为自由粒子的能量和动量分别为自由粒子的能量和动量(E=p2/2m)；自由粒自由粒子的能量和动量是确定的，频率和波长不变（子的能量和动量是确定的，频率和波长不变（=E/h，=h/p），可认为是一平面单色波），可认为是一平面单色波自由粒子：自由粒子：不受外力场的作用，其动量和能量都不变的不受外力场的作用，其动量和能量都不变的粒子粒子波函数的复指数形式：波函数的复指数
3、形式：根据德布罗意公式根据德布罗意公式有有自由粒子波函数自由粒子波函数2.波函数的统计意义波函数的统计意义正实数正实数粒子某一时刻出现在某点体积元粒子某一时刻出现在某点体积元dV中的概率中的概率:概率密度概率密度:某处单位体积内粒子出现的概率某处单位体积内粒子出现的概率 波函数波函数是粒子在各处被发现的概率是粒子在各处被发现的概率，量子力学用波，量子力学用波函数描述微观粒子的运动函数描述微观粒子的运动3.波函数的归一化条件波函数的归一化条件 即某一时刻整个空间内发现粒子的总概率为即某一时刻整个空间内发现粒子的总概率为14.波函数的标准条件波函数的标准条件波函数必须是单值、连续、有限的函数波函数
4、必须是单值、连续、有限的函数二二 薛定谔方程薛定谔方程自由粒子（质量为自由粒子（质量为m）在势场）在势场U(x,t)中的一维薛定谔方程中的一维薛定谔方程称为含时一维薛定谔方程称为含时一维薛定谔方程1.一维运动自由粒子的含时薛定谔方程一维运动自由粒子的含时薛定谔方程（对自由粒子的波函数（对自由粒子的波函数 取取x的二阶偏导数和的二阶偏导数和t的的一阶一阶偏导偏导数可得）数可得）一维（设沿一维（设沿x向运动）自由粒子的薛定谔方程：向运动）自由粒子的薛定谔方程：当粒子在当粒子在势场U(x,t)中运动，则有中运动，则有自由粒子在势场中的能量为自由粒子在势场中的能量为2.一一维定定态薛定薛定谔方程方程
5、若势场只是坐标的函数，与时间无关，若势场只是坐标的函数，与时间无关，即即U=U(x)，为恒定势场，则波函数为为恒定势场，则波函数为 将将 代入代入含时一维薛定谔方程，可得含时一维薛定谔方程，可得 的空间部分的空间部分 =(x)满足方程满足方程定定态薛定薛定谔方程方程 1）=(x)称为粒子的称为粒子的定态波函数定态波函数，所描述的粒子的，所描述的粒子的状态称状态称定态定态粒子的粒子的能量能量E不随时间变化的状态不随时间变化的状态（粒子粒子具有确定的能量值具有确定的能量值），粒子在空间的概率分布不随时间），粒子在空间的概率分布不随时间改变；改变；定态波函数的性质定态波函数的性质：粒子：粒子能量能量
6、E不随时间变化，不随时间变化，概率密度概率密度|2 不随时间变化不随时间变化注意：注意：3）做为上式的解）做为上式的解 与与 均满足叠加原理，即均满足叠加原理，即或或它们的线性组合态也是一种可能的状态；它们的线性组合态也是一种可能的状态；4）对于任何能量值）对于任何能量值E定态薛定谔方程定态薛定谔方程都有解，需满足波都有解，需满足波函数的标准条件：单值、有限、连续函数的标准条件：单值、有限、连续3.三三维定定态薛定薛定谔方程方程 直角坐直角坐标系系球坐球坐标系系 势能曲线呈无限深的井，称为（一维）势能曲线呈无限深的井，称为（一维）无限深方势阱无限深方势阱简单的理论模型简单的理论模型(固体物固体
7、物理金属中自由电子的简化模型理金属中自由电子的简化模型)；势阱内，势能为常量，粒子不受力做势阱内，势能为常量，粒子不受力做自由运动；在自由运动；在x=0和和x=a的边界处，势能为无限大，粒子的边界处，势能为无限大，粒子会受到无限大的指向阱内的力作用；所以粒子的位置限会受到无限大的指向阱内的力作用；所以粒子的位置限定在势定在势阱内，粒子的这种状态称为阱内，粒子的这种状态称为束缚态束缚态27.2 无限深方势阱中的粒子无限深方势阱中的粒子一一 无限深方无限深方势阱阱 粒子在简单外力场中做一维运动，势能函数为粒子在简单外力场中做一维运动，势能函数为势能曲线势能曲线1.无限深方无限深方势阱阱 2.无限深
8、方无限深方势阱中粒子的波函数阱中粒子的波函数 一维定态薛定谔方程一维定态薛定谔方程势阱外：势阱外：xa区域区域(边界条件边界条件)，U=，不会有粒子不会有粒子存在，则存在，则势阱内：势阱内：0 xa区域，区域，U=0，则有方程则有方程 令令与简谐运动方程与简谐运动方程 比较，解为比较，解为 波函数的标准条件：单值、有限和连续，则波函数在波函数的标准条件：单值、有限和连续，则波函数在x=0，x=a处连续，即处连续，即归一化条件确定振幅归一化条件确定振幅A：可得可得粒子在无限深方粒子在无限深方势阱中的波函数阱中的波函数为 n表示表示对应整数整数n，粒子的相粒子的相应定定态波函数波函数二二 粒子在无
9、限深方粒子在无限深方势阱中的能量阱中的能量 可得可得粒子的能量粒子的能量为 上式表明，上式表明，粒子在无限深方粒子在无限深方势阱中的能量是量子化的阱中的能量是量子化的,只能取分立只能取分立值；每一能量每一能量值对应一个一个能能级，称，称为能量本征能量本征值，n称称为量子数量子数粒子的全部波函数粒子的全部波函数为称称为能量本征波函数能量本征波函数，每个本征波函数所描述的粒子的，每个本征波函数所描述的粒子的状状态称称为粒子的能量本征粒子的能量本征态基态能量基态能量 激发态能量激发态能量三三 波函数与坐波函数与坐标的关系的关系概率密度概率密度16E19E14E1E1基态基态2.粒粒子在势阱中各处出现
10、的概率子在势阱中各处出现的概率不同不同（nx-蓝色实线）蓝色实线）1.粒粒子在势阱中各处出现的概率子在势阱中各处出现的概率密度不同密度不同(|n|2x-红色虚线红色虚线)n=1时，时，粒子在粒子在 x=a/2处出现的概率最大处出现的概率最大结论：当结论：当n很大时，能量趋于连续，很大时，能量趋于连续，即经典物理的图像即经典物理的图像 3.粒子在势阱中运动的动量粒子在势阱中运动的动量16E19E14E1E1基态基态 根据典理论，粒子在势阱内来回的周期性自由运动，根据典理论，粒子在势阱内来回的周期性自由运动，在各处概率密度应完全相同，且与粒子的能量无关在各处概率密度应完全相同，且与粒子的能量无关粒
11、子的德布罗意波长粒子的德布罗意波长波长也是量子化的，为势阱宽度波长也是量子化的，为势阱宽度2倍的整数分之一倍的整数分之一 n与两端固定弦的与两端固定弦的驻波波驻波波长形式相同长形式相同（见（见P158式式 n=2L/n）16E19E14E1E1基态基态弦线振动的简正模式弦线振动的简正模式 无限深方阱壁粒子的无限深方阱壁粒子的每一个能量本征态对应德每一个能量本征态对应德布罗意波的一个特定波长布罗意波的一个特定波长的驻波的驻波；波函数为驻波形式，波函数为驻波形式，阱壁阱壁处为波节处为波节，波腹的波腹的个数与量子数个数与量子数 n 相等相等16E19E14E1E1基态基态例例27.2核内的核内的质子
12、和中子可子和中子可认为处于无限深于无限深势阱中不能逸阱中不能逸出，在核中是自由运出，在核中是自由运动；估算；估算质子从第一激子从第一激发态（n=2）到基到基态（n=1）转变时放出多少放出多少MeV的能量。核的的能量。核的线度度为1.010-14m。解：势阱宽度解：势阱宽度a即核的线度，则质子基态能量即核的线度，则质子基态能量第一激发态能量第一激发态能量作业：作业：4,8 27.3 势垒穿透势垒穿透 隧道效应隧道效应一一 半无限深方半无限深方势阱阱 势能函数为势能函数为在在x 0区域，区域，U=，粒子的波函数，粒子的波函数 =0在在0 0 xa区域的区域的势阱内，阱内，粒子的能量粒子的能量Ea的
13、区域的区域，薛定谔方程为薛定谔方程为方程的解方程的解为波函数有限，即波函数有限，即应满足足x时有限，则有时有限，则有D=0波函数波函数应满足在足在 x=a 处连续，则有，则有还有，有，d/dt在在x=a处也也应连续，又有，又有波函数的连续性条件波函数的连续性条件在边界连续在边界连续 上两式结果表明：束缚在势阱内的粒子（上两式结果表明：束缚在势阱内的粒子（EU0）的）的能量仍是量子化的（能量本征值与前面不同，计算复杂能量仍是量子化的（能量本征值与前面不同，计算复杂略）略）根据经典理论，当粒子能量根据经典理论，当粒子能量 E a区域，区域，因因为粒子在这粒子在这一区域的动能会出现负值（一区域的动能
14、会出现负值（Ek=E-U0 E）的区域内，粒子仍有一定的概率密度，即粒子可以的区域内，粒子仍有一定的概率密度，即粒子可以进入入这一区域，只不一区域，只不过概率密度随着概率密度随着进入的深度很快减小入的深度很快减小在在xa的势能有限的区域，粒子的势能有限的区域，粒子出现的概率不为零，即粒子的运动出现的概率不为零，即粒子的运动可能进入这一区域，但概率随可能进入这一区域，但概率随x增增大按指数规律衰减（大按指数规律衰减（）E2E1E3 量子力学量子力学对粒子粒子动能出能出现负值的解的解释不确定关系：不确定关系：粒子在粒子在E a）的概率密度）的概率密度为 当当x=1/2k时，此，此处粒子的概率已降粒
15、子的概率已降为1/e，可，可视为粒粒子子进入入该区域的深度，区域的深度，则认为在在该区域内区域内发现粒子的位粒子的位置不确定度置不确定度 x为粒子在粒子在 x距离内的距离内的动量不确定度量不确定度为粒子粒子进入入该区域的速度区域的速度为则粒子粒子进入的入的时间不确定度不确定度为根据能量根据能量-时间的不确定关系，粒子能量的不确定度的不确定关系，粒子能量的不确定度为粒子粒子总能量能量为E+E，则粒子粒子动能的不确定度能的不确定度为 粒子粒子动能的不确定度大于名能的不确定度大于名义上的上的负动能的能的值负负动能被不确定关系掩盖，负动能只是观察不到的动能被不确定关系掩盖，负动能只是观察不到的“虚虚”
16、动能动能二二 势垒穿透势垒穿透 隧道效应隧道效应 粒子能粒子能进入入U0 E的区域，若这一高势能区域是有的区域，若这一高势能区域是有限的，即粒子在运动时被一势垒阻碍，粒子有可能穿过限的，即粒子在运动时被一势垒阻碍，粒子有可能穿过势垒到达势垒的另一侧，这一量子力学现象称为势垒到达势垒的另一侧，这一量子力学现象称为势垒穿势垒穿透或隧道效应透或隧道效应区：区：各区域波函数：各区域波函数：区：区：区：区：粒子在粒子在势垒右右侧出出现的概率密度：的概率密度：粒子在粒子在势垒左左侧出出现的概率密度：的概率密度：结论：粒子在：粒子在势垒内部和外部都有出内部和外部都有出现的可能的可能 当粒子能量当粒子能量 E a的区域的区域；量子力学分析，粒子有一定；量子力学分析，粒子有一定概率穿透势垒，事实表明，量子力学正确概率穿透势垒，事实表明，量子力学正确 粒子的能量虽不足以超越势垒粒子的能量虽不足以超越势垒，但在势垒，但在势垒中似乎有中似乎有一个隧道一个隧道,能使少量粒子穿过而进入能使少量粒子穿过而进入xa 的区域，形象的区域，形象的的称为隧道效应称为隧道效应应用：用：扫描隧穿（道）描隧穿（道）显微微镜（ST
