1、第五章第五章1 本章讨论把一个本章讨论把一个n元二次齐次多项式元二次齐次多项式化为仅含有完全平方项的和的形式，并化为仅含有完全平方项的和的形式，并研究有关的性质。研究有关的性质。2第一节第一节 基本概念基本概念定义定义一、二次型及其矩阵一、二次型及其矩阵称称为一个一个(n元元)二次型二次型.本书本书只只讨论实二次型实二次型，即系数全是，即系数全是实数的二次型。数的二次型。3于是于是上述二次型上述二次型可以写成可以写成如下求和如下求和形式形式 45记记则上述上述二次型可以用矩二次型可以用矩阵形式表示形式表示为 A称称为二次型二次型 的矩的矩阵。6A的秩称的秩称为该二次型的秩该二次型的秩。A称称为
2、二次型二次型 的矩的矩阵。A是一个是一个实实对称矩称矩阵。事事实上，由一个上，由一个实对称矩称矩阵也可构造唯一的也可构造唯一的实二次型，也就是二次型，也就是说，实二次型与二次型与实对称矩称矩阵是互相是互相唯一确定的，所以，研究二次型的性唯一确定的，所以，研究二次型的性质可以可以转化化为研究研究A所具有的性所具有的性质。7例例1 1设二次型二次型 求求二次型的矩阵二次型的矩阵A和二次型的秩。和二次型的秩。解解所以所以r(A)=3，即二次型的秩等于即二次型的秩等于3。8例例2 2求求二次型二次型 的矩阵的矩阵A和二次型的秩，和二次型的秩，解解所以二次型所以二次型 f 的矩阵为的矩阵为9二、线性变换
3、二、线性变换在平面解析几何中，在平面解析几何中，为了确定二次方程了确定二次方程 所表示的曲所表示的曲线的性的性态，通常利用，通常利用转轴公式：公式：10定义定义关系式关系式 记则则上述线性变换可以写成矩阵形式：上述线性变换可以写成矩阵形式：11C 称称为该该线性性变换的的矩阵矩阵。如果如果C 为正交矩阵，为正交矩阵，则此线性变换此线性变换称称为正交变换正交变换。容易验证，转轴公式容易验证，转轴公式是是一个正交变换。一个正交变换。12三、矩阵的合同关系三、矩阵的合同关系 由于由于C是可逆矩是可逆矩阵，所以，所以A和和B秩相等秩相等,从而两个从而两个二次型的秩相等。二次型的秩相等。13定义定义 与矩与矩阵的相似关系的相似关系类似，矩似，矩阵之之间的合同关系的合同关系也也具有以下性质具有以下性质。(1)(1)反身性：反身性：(2)(2)对称性：对称性：(3)(3)传递性：传递性：A AA BB AA BB CA C证明证明 只只证证(3)(3)，其余留作练习。，其余留作练习。14练习：练习：P222 习题五习题五15END16
