1、分类计数原理与分步计数原理问题一 从甲地到乙地，可以乘火车，也可以乘汽车一天中，火车有3班，汽车有2班那么一天中，乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有多少种不同的走法？分类加法计数原理分类加法计数原理 完成一件事有两类不同方案，在第完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有类方案中有m种不种不同的方法，在第同的方法，在第2类方案中有类方案中有n种不同的方法。那么完种不同的方法。那么完成这件事共有成这件事共有N=m+n 种不同的方法种不同的方法分类计数原理完成一件事，有类办法，在第完成一件事，有类办法，在第1类办法中有种不类办法中有种不同的方法，在第同的方法，在第2类办法中有种不同的方法类办法中有种
2、不同的方法在第类办法中有种不同的方法那么完成这件在第类办法中有种不同的方法那么完成这件事共有事共有N种不同的方法种不同的方法（加法原理）关于分类计数原理的几点注意：各类办法之间各类办法之间相互独立相互独立，都能完成这件事，且办法，都能完成这件事，且办法总数是各类办法相加，所以这个原理又叫做加法原总数是各类办法相加，所以这个原理又叫做加法原理；理；分类时，首先要在问题的条件之下确定一个分类标分类时，首先要在问题的条件之下确定一个分类标准，然后在确定的分类标准下进行分类；准，然后在确定的分类标准下进行分类；完成这件事的任何一种方法必属于某一类，且分别完成这件事的任何一种方法必属于某一类，且分别属于
3、不同两类的两种方法都是不同的属于不同两类的两种方法都是不同的不重不漏不重不漏 例例1 在填写高考志愿表时，一名高中毕业生了解到，在填写高考志愿表时，一名高中毕业生了解到，A,B两所大学各自有一些自己感兴趣的强项专业，具体如下：两所大学各自有一些自己感兴趣的强项专业，具体如下：A A大学大学生物学生物学化学化学医学医学物理学物理学工程学工程学B B大学大学数学数学会计学会计学信息技术学信息技术学法学法学那么，这名同学可能的专业选择共有多少种？那么，这名同学可能的专业选择共有多少种？解：在解：在A大学中有大学中有5种专业选择，在种专业选择，在B大学中有大学中有4种专业选种专业选择方法。由于没有一个
4、专业是两所大学共有，因此根据分择方法。由于没有一个专业是两所大学共有，因此根据分类加法计数原理，这名同学可能选择的专业共有类加法计数原理，这名同学可能选择的专业共有5+4=9(种种)问题2从甲地到乙地，要从甲地先乘火车到丙地，再从甲地到乙地，要从甲地先乘火车到丙地，再于次日从丙地乘汽车到乙地一天中，火车有于次日从丙地乘汽车到乙地一天中，火车有3班，汽车有班，汽车有2班，那么两天中，从甲地到乙地班，那么两天中，从甲地到乙地共有多少种不同的走法？共有多少种不同的走法？所有走法火车1汽车1火车1汽车2火车2汽车1火车2汽车2火车3汽车1火车3汽车2分步乘法计数原理分步乘法计数原理完成一件事需要两个步
5、骤，做第完成一件事需要两个步骤，做第1步有步有m种不同的方种不同的方法，做第法，做第2步有步有n种不同的方法，那么完成这件事共有种不同的方法，那么完成这件事共有N=mn种不同的方法种不同的方法分步计数原理完成一件事，需要分成个步骤，做第完成一件事，需要分成个步骤，做第1步有种步有种不同的方法，做第不同的方法，做第2步有种不同的方法步有种不同的方法做第做第步有种不同的方法那么完成这件事共有步有种不同的方法那么完成这件事共有N种不同的方法种不同的方法（乘法原理）关于分步计数原理的几点注意：各个步骤之间各个步骤之间相互依存相互依存，且方法总数是各个步骤，且方法总数是各个步骤的方法数相乘，所以这个原理
6、又叫做乘法原理的方法数相乘，所以这个原理又叫做乘法原理；分步时首先要在问题的条件之下确定一个分步标分步时首先要在问题的条件之下确定一个分步标准，然后在确定的分步标准下分步；准，然后在确定的分步标准下分步；完成这件事的任何一种方法必须并且只需连续完完成这件事的任何一种方法必须并且只需连续完成每一个步骤成每一个步骤 例例2 设某班有男生设某班有男生30名，女生名，女生24名，现要从中选出男、名，现要从中选出男、女生各一名代表班级参加比赛，共有多少种不同的选女生各一名代表班级参加比赛，共有多少种不同的选法？法？分析：选出一组参赛代表，可以分两个步骤。第一分析：选出一组参赛代表，可以分两个步骤。第一步
7、选男生，第二步选女生。步选男生，第二步选女生。解：第一步，从解：第一步，从30名男生中选出名男生中选出1人，有人，有30种不同种不同选择；选择；第二步，从第二步，从24名女生中选出名女生中选出1人，有人，有24种不同选择种不同选择根据分步乘法计数原理，共有根据分步乘法计数原理，共有 3024720种不同的选法。种不同的选法。答：共有答：共有720种选法。种选法。分类计数原理与分步计数原理的区别区别在于：1.分类计数原理针对的是“分类”问题，其中各种方法相互独立，用中任何一种方法都可以做完这件事；2.分步计数原理针对的是“分步”问题，各个步骤中的方法相互依存，只有各个步骤都完成才算做完这件事例例
8、3书架的第一层放有书架的第一层放有4本不同的计算机书，第二层放有本不同的计算机书，第二层放有3本本不同的文艺书，第不同的文艺书，第3层放有层放有2本不同的体育书本不同的体育书（1）从书架上任取）从书架上任取1本书，有多少种不同的取法？本书，有多少种不同的取法？（2）从书架的第）从书架的第1、2、3层各取一本书，有几种不同的取法？层各取一本书，有几种不同的取法？解：解：从书架上任取一本书，有从书架上任取一本书，有3类办法：类办法：第第1类办法是从第类办法是从第1层取层取1本计算机书，有本计算机书，有4种方法；种方法；第第2类办法是从第类办法是从第2层取层取1本文艺书，有本文艺书，有3种方法；种方
9、法；第第3类办法是从第类办法是从第3层取一本体育书，有层取一本体育书，有2种方法种方法根据分类计数原理，不同取法的种数是根据分类计数原理，不同取法的种数是N=4+3+2=9答：从书架上任取答：从书架上任取1本书，有本书，有9种不同的取法种不同的取法.例例3书架的第一层放有书架的第一层放有4本不同的计算机书，第二层放有本不同的计算机书，第二层放有3本本不同的文艺书，第不同的文艺书，第3层放有层放有2本不同的体育书本不同的体育书（1）从书架上任取）从书架上任取1本书，有多少种不同的取法？本书，有多少种不同的取法？（2）从书架的第）从书架的第1、2、3层各取一本书，有几种不同的取法？层各取一本书，有
10、几种不同的取法？解解:(2)从书架的第从书架的第1，2，3层各取层各取1本书，可以分成本书，可以分成3个步骤完成：个步骤完成：根据分步乘法计数原理，不同取法的种数是根据分步乘法计数原理，不同取法的种数是N=432=24答：从书架的第答：从书架的第1，2，3层各取层各取1本书，有本书，有24种不同种不同的取法的取法.第第3个步骤是从第个步骤是从第3层取一本体育书，有层取一本体育书，有2种方法种方法第第2个步骤是从第个步骤是从第2层取层取1本文艺书，有本文艺书，有3种方法；种方法；第第1个步骤是从第个步骤是从第1层取层取1本计算机书，有本计算机书，有4种方法；种方法；例例4 要从甲、乙、丙要从甲、
11、乙、丙3幅不同的画中选出幅不同的画中选出2幅，分别挂在幅，分别挂在左右两边墙上的指定位置，问共有多少种不同的挂法？左右两边墙上的指定位置，问共有多少种不同的挂法？解：从解：从3幅画中选出幅画中选出2幅分别挂在左、右两边墙上，可幅分别挂在左、右两边墙上，可以分两个步骤完成：以分两个步骤完成：第二步，从剩下的第二步，从剩下的2幅画中选幅画中选1幅挂在右边墙上，有幅挂在右边墙上，有2种选法。种选法。根据分布乘法计数原理，不同挂法的种数是根据分布乘法计数原理，不同挂法的种数是N=32=6第一步，从第一步，从3幅画中选出幅画中选出1幅挂在左边墙上，有幅挂在左边墙上，有3种种选法；选法；答：共有答：共有6
12、种不同的挂法。种不同的挂法。要从甲、乙、丙要从甲、乙、丙3名工人中选出名工人中选出2名分别上日班和晚名分别上日班和晚班，有多少种不同的选法？班，有多少种不同的选法？6种选法可以表示如下：种选法可以表示如下：日班日班晚班晚班甲乙甲乙甲丙甲丙乙甲乙甲乙丙乙丙丙甲丙甲丙乙丙乙变式：变式：已知直线已知直线Ax+By+1=0,若若A,B从从-5,-3,-1,0,2,4,7这这7个数中选取不同的两个数个数中选取不同的两个数,求斜率小于求斜率小于0的直线有的直线有_条条.从从0，1，2，3，5，7，11中任取中任取3个元素分别作为直个元素分别作为直线方程线方程Ax+By+C=0中的系数中的系数A,B,C,所
13、得经过坐标原所得经过坐标原点的直线有点的直线有_条。条。一种号码锁有一种号码锁有4个拨号盘，每个拨号盘上有从个拨号盘，每个拨号盘上有从0到到9共共10个数字，这个数字，这4个拨号盘可以组成多个拨号盘可以组成多少个四位数字号码？少个四位数字号码？解：由于号码锁的每个拨号盘有从0到9这10个数字，每个拨号盘上的数字有10种取法根据分步计数原理，4个拨号盘上各取1个数字组成四位数字号码的个数是N=10101010=10000答：可以组成10000个四位数字号码 4张卡片的正、反面分别张卡片的正、反面分别0与与1，2与与3，4与与5，6与与7，将其中，将其中3张卡张卡片排放在一起，可以组成多少个不片排
14、放在一起，可以组成多少个不同的三位数？同的三位数？1（1）4名同学选报跑步、跳高、跳远三个项名同学选报跑步、跳高、跳远三个项目，每人报一项，共有多少种报名方法？目，每人报一项，共有多少种报名方法？（2）4名同学争夺跑步、跳高、跳远三项冠军名同学争夺跑步、跳高、跳远三项冠军(假设冠军只有一人假设冠军只有一人)，共有多少种可能的结果，共有多少种可能的结果2有有4部车床，需加工部车床，需加工3个不同的零件，其不同个不同的零件，其不同的安排方法有多少种？的安排方法有多少种？3设集合设集合A1，2，3，4，B5，6，7，则从则从A到到B的所有不同映射的个数是：的所有不同映射的个数是：A.81B.64C.12D.274集合集合M1，2，3，4的子集个数是：的子集个数是：A.6B.8C12D.16
