1、2.3.2离散型随机变离散型随机变量的方差量的方差高二数学高二数学 选修选修2-3一、复习回顾一、复习回顾1、离散型随机变量的数学期望、离散型随机变量的数学期望2、数学期望的性质、数学期望的性质数学期望是反映离散型随机变量的平均水平数学期望是反映离散型随机变量的平均水平3 3、如果随机变量、如果随机变量X X服从两点分布为服从两点分布为X10Pp1p则则4、如果随机变量、如果随机变量X服从二项分布，即服从二项分布，即X B（n,p），则），则5、如果随机变量如果随机变量X服从超几何分布，服从超几何分布，即即X H（n,M,N）则）则二、探究引入二、探究引入要从两名同学中挑选出一名，代表班级参加
2、射击比赛要从两名同学中挑选出一名，代表班级参加射击比赛.根据以往的成绩记录，第一名同学击中目标靶的环数根据以往的成绩记录，第一名同学击中目标靶的环数 的分布列为的分布列为P56789100.030.090.200.310.270.10第二名同学击中目标靶的环数第二名同学击中目标靶的环数 的分布列为的分布列为P567890.010.050.200.410.33请问应该派哪名同学参赛？请问应该派哪名同学参赛？发现两个均值相等发现两个均值相等因此只根据均值不能区分这两名同学的射击水平因此只根据均值不能区分这两名同学的射击水平.三、新课分析三、新课分析（一）、随机变量的方差（一）、随机变量的方差（1）
3、分别画出分别画出 的分布列图的分布列图.O5 6 71098P0.10.20.30.40.5O5 6 798P0.10.20.30.40.5（2）比较两个分布列图形，哪一名同学的成绩更稳定？比较两个分布列图形，哪一名同学的成绩更稳定？除平均中靶环数以外，还有其他刻画两名同学各自除平均中靶环数以外，还有其他刻画两名同学各自射击特点的指标吗？射击特点的指标吗？第二名同学的成绩更稳定第二名同学的成绩更稳定.1、定性分析、定性分析某人射击某人射击10次，所得环数分别是：次，所得环数分别是：1，1，1，1，2，2，2，3，3，4；则所得的；则所得的平均环数平均环数是多少？是多少？(二二)、互动探索、互动
4、探索X1234P某人射击某人射击10次，所得环数分别是：次，所得环数分别是：1，1，1，1，2，2，2，3，3，4；则这组数据的；则这组数据的方差方差是多是多少？少？反映这组数据相对于平均值的集中程度的量反映这组数据相对于平均值的集中程度的量离散型随机变量取值的方差离散型随机变量取值的方差一般地，若离散型随机变量一般地，若离散型随机变量X的概率分布为：的概率分布为：则称则称为随机变量为随机变量X的的方差方差。称称为随机变量为随机变量X的的标准差标准差。它们都是反映离散型随机变量取值它们都是反映离散型随机变量取值相对于期望相对于期望的平均波动大小（或说离散程度）的平均波动大小（或说离散程度），它
5、们的值，它们的值越小，则随机变量偏离于均值的平均程度越小，越小，则随机变量偏离于均值的平均程度越小，即越集中于均值。即越集中于均值。3、对方差的几点说明、对方差的几点说明（1）随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值 偏离于均值的平均程度偏离于均值的平均程度.方差或标准差越小，则随方差或标准差越小，则随 机变量偏离于均值的平均程度越小机变量偏离于均值的平均程度越小.说明说明:随机变量随机变量集中的位置集中的位置是随机变量的是随机变量的均值均值；方差或标；方差或标 准差这种度量指标是一种准差这种度量指标是一种加权平均加权平均的度量指标的度量指标.（2）
6、随机变量的方差与样本的方差有何联系与区别？随机变量的方差与样本的方差有何联系与区别？随机变量的方差是常数随机变量的方差是常数，而，而样本的方差样本的方差是随着样本的不同是随着样本的不同而而变化变化的，因此样本的方差是随机变量的，因此样本的方差是随机变量.对于简单随机样本，随着样本容量的增加，样本方差越来对于简单随机样本，随着样本容量的增加，样本方差越来越接近总体方差，因此常用样本方差来估计总体方差越接近总体方差，因此常用样本方差来估计总体方差.三、基础训练三、基础训练1、已知随机变量、已知随机变量X的分布列的分布列X01234P0.10.20.40.20.1求求D(X)和和(X)。解：解：2、
7、若随机变量、若随机变量X满足满足P（Xc）1，其中，其中c为为常数，求常数，求E（X）和）和D（X）。）。解：解：XcP1离散型随机变量离散型随机变量X X的分布列为：的分布列为：E（X）c1cD（X）（）（cc）210例例1.篮球运动员在比赛中每次罚球命中得篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分，分，罚不中得罚不中得0分已知某运动员罚球命中的概率为分已知某运动员罚球命中的概率为0.7，则他罚球，则他罚球1次的得分次的得分X的方差是多少？的方差是多少？X=1或或X=0X X1 10 0P P0.70.70.30.3四、例题讲解四、例题讲解一般地，如果随机变一般地，如果随机变量量X服从两点分布，服
8、从两点分布，那么那么D(X)=？一般地，如果随机变量一般地，如果随机变量X X服从两点分布，服从两点分布，X10Ppq则则小结：小结：如果如果XB（n，p），那么），那么D（X）=？一般地一般地,如果随机变量如果随机变量X服从二项分布，服从二项分布，即即XB（n,p），则），则小结：小结：练一练练一练:一个袋子里装有大小相同的一个袋子里装有大小相同的3 个红球和个红球和2个黄球个黄球,从中有放回地取从中有放回地取5次次,则取到红球次则取到红球次数的方差是数的方差是 .1.2例例2.篮球运动员在比赛中每次罚球命中得篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分，分，罚不中得罚不中得0分已知某运动员罚球命中
9、的概率为分已知某运动员罚球命中的概率为0.7，他连续罚球，他连续罚球3次；次；（1）求他得到的分数）求他得到的分数X的分布列；的分布列；（2）求）求X的期望和方差。的期望和方差。X0123P解解：(1)XB（3，0.7）(2)2.10.63 例例3 3、设在、设在1515个同类型的零件中有个同类型的零件中有2 2个次品，每次任取个次品，每次任取1 1个，共取个，共取3 3次，并且每次取出后不再放回次，并且每次取出后不再放回.若用若用X X表示取表示取出次品的个数出次品的个数.（1 1）求）求X X的分布列；（的分布列；（2 2）求）求X X的均值的均值E(X)E(X)和方差和方差D(X).D(
10、X).解析：解析：(1)P(X=0)=,P(X=1)=,(1)P(X=0)=,P(X=1)=,P(X=2)=.P(X=2)=.故故X X的分布列为的分布列为 (2)X(2)X的均值的均值E(X)E(X)和方差和方差D(X)D(X)分别为分别为E(X)=;E(X)=;D(X)=D(X)=X012P则则D(XD(X)四、方差的实际应用四、方差的实际应用例例1：甲、乙两名射手在同一条件下射击，所得环数：甲、乙两名射手在同一条件下射击，所得环数X1，X2分布列如下：分布列如下：用击中环数的期望与方差分析比较两名射手的射击水平。用击中环数的期望与方差分析比较两名射手的射击水平。X18910P0.20.6
11、0.2X28910P0.40.20.4解：解：表明甲、乙射击的平均水平没有差别，在多次射击中表明甲、乙射击的平均水平没有差别，在多次射击中平均得分差别不会很大，但甲通常发挥比较稳定，多平均得分差别不会很大，但甲通常发挥比较稳定，多数得分在数得分在9环，而乙得分比较分散，近似平均分布在环，而乙得分比较分散，近似平均分布在810环。环。问题问题1：如果你是教练，你会派谁参加比赛呢？：如果你是教练，你会派谁参加比赛呢？问题问题2：如果其他对手的射击成绩都在：如果其他对手的射击成绩都在8环左右，环左右，应派哪一名选手参赛？应派哪一名选手参赛？问题问题3：如果其他对手的射击成绩都在：如果其他对手的射击成
12、绩都在9环左右，环左右，应派哪一名选手参赛？应派哪一名选手参赛？X18910P0.20.60.2X28910P0.40.20.4甲甲乙乙例例2：有甲乙两个单位都愿意聘用你，而你能：有甲乙两个单位都愿意聘用你，而你能获得如下信息：获得如下信息：甲单位不同职位月工甲单位不同职位月工资资X1/元元1200140016001800获得相应职位的概获得相应职位的概率率P10.40.30.20.1乙单位不同职位月工乙单位不同职位月工资资X2/元元1000140018002200获得相应职位的概获得相应职位的概率率P20.40.30.20.1根据工资待遇的差异情况，你愿意选择哪家单位根据工资待遇的差异情况，
13、你愿意选择哪家单位？解：解：在两个单位工资的数学期望相等的情况下，在两个单位工资的数学期望相等的情况下，如果认为自己能力很强，应选择工资方差大如果认为自己能力很强，应选择工资方差大的单位，即乙单位；如果认为自己能力不强，的单位，即乙单位；如果认为自己能力不强，就应选择工资方差小的单位，即甲单位。就应选择工资方差小的单位，即甲单位。设设Y YaXaXb b,其中其中a,ba,b为常数为常数,则则Y Y也是随机变量也是随机变量(1)Y Y的分布列是什么？的分布列是什么？(2)E(Y)Y)(3)D(Y)=?(3)D(Y)=?思考一：思考一：五、性质探究五、性质探究2、方差的性质、方差的性质思考二：思
14、考二：能否改成能否改成期望期望的表达式？若能改成的表达式？若能改成,形式是什么？形式是什么？X012P相关练习：相关练习：3、有一批数量很大的商品，其中次品占、有一批数量很大的商品，其中次品占1，现从中任意地连续取出，现从中任意地连续取出200件商品，件商品，设其次品数为设其次品数为X，求，求E(X)和和D(X)。117100.82，1.98六、课堂小结六、课堂小结1、离散型随机变量取值的方差、标准差及意义、离散型随机变量取值的方差、标准差及意义2、记住几个常见公式、记住几个常见公式若若XH(n,M,N)则则D(XD(X)编号编号1 1，2 2，3 3的三位学生随意入座编号的三位学生随意入座编
15、号1 1，2 2，3 3的三个座的三个座位，每位学生坐一个座位，设与座位编号相同的学生人位，每位学生坐一个座位，设与座位编号相同的学生人数是数是X.X.（1 1）求随机变量）求随机变量X X的概率分布列；的概率分布列；（2 2）求随机变量）求随机变量X X的期望与方差的期望与方差.分析分析 （1 1）随机变量）随机变量X X的意义是对号入座的学生个数，所有取的意义是对号入座的学生个数，所有取值为值为0,1,3.0,1,3.若有两人对号入座，则第三人必对号入座若有两人对号入座，则第三人必对号入座.由排列与由排列与等可能事件概率易求分布列等可能事件概率易求分布列;（2 2）直接利用数学期望与方差公
16、式求解）直接利用数学期望与方差公式求解.X X0 01 13 3P P解解 （1 1）P P（X=0X=0）=,P=,P（X=1X=1）=,=,P P（X=3X=3）=,=,故故X X的概率分布列为的概率分布列为 (2)E(X)=(2)E(X)=D(X)=D(X)=(14(14分分)（20082008广东）随机抽取某厂的某种产品广东）随机抽取某厂的某种产品200200件，件，经质检，其中有一等品经质检，其中有一等品126126件，二等品件，二等品5050件，三等品件，三等品2020件件，次品，次品4 4件件.已知生产已知生产1 1件一、二、三等品获得的利润分别件一、二、三等品获得的利润分别为为6 6万元、万元、2 2万元、万元、1 1万元，而生产万元，而生产1 1件次品亏损件次品亏损2 2万元，设万元，设1 1件产品的利润（单位：万元）为件产品的利润（单位：万元）为.(1)(1)求求的分布列；的分布列；（2 2）求）求1 1件产品的平均利润（即件产品的平均利润（即的数学期望）；的数学期望）；（3 3）经技术革新后，仍有四个等级的产品，但次品率降）经技术革新后，仍有四个等级的产品，但次品
