1、第七章线性变换习题答案docx第七章线性变换3.在 Px中,A f(x) = f(x), B f(x) = xf(x),证明：AB BA=E .解题提示直接根据变换的定义验证即可.证明 任取/(x) e Px,则有-BA)f(x)=AB fx)-BA =A (VW)-B (/Xx)=(#(x)f -矿(x) = /(%) = E f(x),于是A3 BA=E .4.设A,B是线性变换，如果A3 BA=E ,证明：A kB -BAk =kAk,kl.解题提示利用数学归纳法进行证明.证明 当k = 2时，由于AB BA=E ,可得A -B BA 2 =A (AB -BA ) + (AB -BA )
2、A =2A ,因此结论成立.假设当k = s时结论成立，即A SB -BA s =sA s.那么，当k = s +1时，有A S+1B -BA S+1 =A (A SB -BA S) + (AB -BA )A，=sA +A =(s + l)A , 即对ks + 1结论也成立.从而，根据数学归纳法原理，对一切上1结论都成立.特别提醒由A=E可知，结论对上=1也成立.5.证明：可逆映射是双射.解题提示只需要说明可逆映射既是单射又是满射即可.证明 设A是线性空间V上的一个可逆变换.对于任意的，如果Aa=A J3,那么，用作用左右两边，得到a=A XAa)=A x(A/3=/3,因此A是单射；另外，对
3、于任意的心，存在 a=A eV,使得Aa=A(Aj3)=3，即A是满射.于是A是双射.特别提醒由此结论可知线性空间V上的可逆映射A是V到自身的同构.6.设% 是线性空间v的一组基，A是V上的线性变换，证明A可逆当且仅当A ,A c2, ,A En 线性无关.证法1若A是可逆的线性变换，设*0曷+似4%+ +&句=0，即A (&+ k2e2 + + knn ) = 0.而根据上一题结论可知A是单射，故必有化与+ + knn = 0 ,又由于,&, 是线性无关的,因此kx=k2= =kn=0 .从而A evA c2, ,A en线性无关.反之，若Aq 是线性无关的，那么AevAe2, ,Asn也是
4、V的一组基.于是，根据教材中的定理1,存在唯一的线性变换3，使得B(Ae,) =与，z = 1, 2, ,n.显然BA ) = AB (A ;) =A i, z = 1, 2, , n .再根据教材中的定理1知，AB =BA =E .所以A是可逆的.证法2设A在基,% 下的矩阵为A，即A01/2， ,) = (A,A2, ,A ii) =(1,2, , en)A.由教材中的定理2可知，A可逆的充要条件是矩阵4可逆.因此，如果A是可逆的，那么矩阵A可逆，从而A,As2, ,Aen也是V的一组基，即是线性无 关的.反之，如果AvAe2, ,Aen是线性无关，从而是V的一组基，且A是从基号，&到 的
5、过渡矩阵，因此4是可逆的.所以A是可逆的线性变换.方法技巧|方法1利用了上一题的结论及教材中的定理1构造A的逆变换；方法2借助教材中的 定理2,将线性变换A可逆转化成了矩阵0可逆.9.设三维线性空间V上的线性变换A在基i，&2，&3下的矩阵为1)求A在基易,&2，1下的矩阵;2)求A在基屈2,饥下的矩阵，其中上尸且上力0;3）求A在基与+2，&，与下的矩阵.解题提示可以利用定义直接写出线性变换的矩阵，也可以借助同一个线性变换在两组不同基下的 矩阵是相似的进行求解.解1）由于A &2 = .2*1 +。22&2 + %2*3 = %0号 +。22曷 + 四，A +%2 +%号=%号 +%i晶 +
6、%&.故A在基易,2，弓下的矩阵为2）由于A q =%两 +。2而+%3 =。11旦 +-ak, +%弓，kA ke2 =饥2&1 + 炕2与 + 炕2&3 =饥2与 + a222 + 炕23 ,A么=知旦+ a* +角3与=知与+ - ag + a好3 .k故A在基%屈2,诳下的矩阵为11kan%3尻=11后。22。23(“31如32“33 J3）由于从到1+2，2，易的过渡矩阵为1 0 0、X= 1 1 00 0 b故A在基q+2，2，名下的矩阵为10()、-1/。11%2。131 0()、/“11 + 12“12。133 =110a21。22。23110=%。+ 缶2 “12322 12
7、% 。1330b%a33j0时，设格 + xA + + x/zA = 0,用A i作用于上式，得X0卜黑=0,但4卜言。0,因此X=0.于是XyA + +x（!A = 0,再用A*-2作用上式，同样得到*=0.依此下去，可得而=改= =易=0从而&A& ,4卜言线 性无关.16.证明：九2与Q,.h12如k2,.ln /相似，其中/,z2,/是1,2,，的一个排列.解题提示利用同一个线性变换在不同基下的矩阵是相似的或直接相似的定义.证法1设V是一个维线性空间，且,% ，与是V的一组基.另外，记2Q,.hA =1如,B =kl2妃于是，在基,2,，司下,矩阵A对应V的一个线性变换A ,即A （&
8、, ） = 0，&2, ,）从而A ej = Aisi, i = 1, 2, ,n.又因为气，与,，气A （气,气,气）=（气,气，气,）V故0与8相似.证法2 设A= 她 与=(弓，?，句)A 如也是V的一组基，且、A=(气，气，气)B.2. 72.1 7对A交换i, j两行，再交换i, j两列，相当于对A左乘和右乘初等矩阵P(i,沪=P(i, j)和P(i, j),而P(i,j)TAP0j)即为将a中的4.和交换位置得到的对角矩阵.于是，总可以通过这样的一系列的对调变换，将0的主对角线上的元素4，为，片变成4,知 ,2.,这也相当于存在一系列初等矩阵0,0, ，2,使得Q；1 /0/00
9、Q、=B，令以，则有QAQ = B，即A与8相似.方法技巧证法1利用同一个线性变换在不同基下的矩阵是相似的这一性质；证法2利用了矩阵的 相似变换，直接进行了证明.17.如果4可逆，证明A8与相似.证明由于A可逆，故4 t存在.于是A (AB)A = (A-lA)BA = BA,因此，根据相似的定义可知A8与BA相似.19.求复数域上线性变换空间V的线性变换A的特征值与特征向量.已知A在一组基下的矩阵为:(5 6-3、0 0 1、4、1) A =；4) A =-1 0 1；5) A =0 1 05 2)L 2-1)U 0 oj解1)设A在给定基也，下的矩阵为A.由于A的特征多项式为2-3 -4|
10、2E-A|= =22-52-14 = (2-7)(2 + 2),5 A 2故A的特征值为4 =7, =2.当0=7时，方程组(.E A)X = O,即为4、i - 4%2 = 0, - 5万 +5x2 = 0.解得它的基础解系为从而A的属于特征值&=7的全部特征向量为& = ke + kc2,其中人为任意非零常数.当为=2时，方程组(八E 4)X = 0,即为一5X 一 = 0, 一一5X _ 4-Xj = 0.f 4 )解得它的基础解系为从而A的属于特征值兀=-2的全部特征响向量为矣=4一 5ls2,其中/为任意非零常数.4)设A在给定基习，&2，园下的矩阵为A ,由于A的特征多项式为2-5
11、 -6 3|2E-A|= 1 2 -1 =(2-2)(2-1-a/3)(2-1 + a/3),-1 -2 2 + 1故A 的特征值为4 =2, =1+3, 4=1 J5.当W=2时，方程组(2lE-A)X=0,即为-3x - 6x2 + 3x3 = 0, M + 2x2 - x3 = 0,X 2x2 + 3x3 0.-2、求得其基础解系为1 ,故A的属于特征值2的全部特征向量为& = -2桔+如2其中4为任意非零常数.当=1 + J5时，方程组(A2E-A)X=0,即为(4 + - 6%2 + 3退=。,X + (1 + a/3)%2 工3 = ，的属于特征值1+J5的全部特征向量为_X -
12、2%2 + (2 + )X3 0.壹=3化2功一*2,2 + (2 人2&求得其基础解系为 -1 ，故A其中心为任意非零常数.当=1-73时，方程组(E-A)X=0,即为(4 - 6x, + 33 = 0, %! + (1 - a/3 )x2 - x3 = 0,%1 2x, + (2 -/3 )%3 = 0.3、求得其基础解系为 -1 ,故A的属于特征值1-右的全部特征向量为2+如攵= 318、+(2+其中处为任意非零常数.5)设A在给定基1，%，3下的矩阵为A，由于A的特征多项式为2 0-1|AE-A|= 0 2-1 0 =（2-l）2（2 + l）,-10 2故A的特征值为& =1 （二重
13、），为=1.当4=1时，方程组0E 4）X = 0,即为xx-x3= 0,-%! + 可=0.求得其基础解系为0 , 1 ,故A的属于特征值1的全部特征向量为 k + 化2,2 + 1，3其中皿为任意不全为零的常数.当时，方程组（兀归A）X = 0,即为_%工3 =0, 2x2 = 0,一工一易=0r-n求得其基础解系为o ,故a的属于特征值-1的全部特征向量为UJ& + Is,其中Z为任意非零常数.方法技巧求解一个线性变换的特征值即求其矩阵的特征多项式的根，再对每个根求得所对应的特征向量，但一定要注意表达成基向量的线性组合形式.24. 1）设；I】,是线性变换A的两个不同特征值，司同是分别属
14、于人1，%的特征向量，证明：t+2 不是A的特征向量；2）证明：如果线性空间V的线性变换A以V中每个非零向量作为它的特征向量，那么A是数 乘变换.证明1）反证法.假设,+2是A属于特征值4的特征向量，即A 0 +c2) = +ff2) = +人&2 .而由题设可知A s= , A ,且九。/L,故A (& + g,) = A 弓 +A = W& + 兀.比较两个等式，得到(凡 _+ (A, 一人)&2 = 0 再根据旦,&是属于不同特征值的特征向量，从而是线性无关性，因此九-人=人2-人=0,即这 与矛盾.所以 +e2不是A的特征向量.2)设% ，勺是V的一组基，则它们也是A的个线性无关的特征
15、向量，不妨设它们分别属于 特征值九,，凡，即A ei = A,iei, z = 1, 2, , n.根据1)即知W= = 2 = 2 否则，若九。右，那么司+&2尹，且不是人的特征向量，这与V中每个非零向量都是它的特征向量矛盾.所以，对于任意的aeV,都有Aa = 2a，即A是数乘变换.25.设V是复数域上的维线性空间，A ,B是V上的线性变换，且A3 =BA .证明：1) 如果&)是人的一个特征值，那么匕0是3的不变子空间；2) A,B至少有一个公共的特征向量.证明1)设a 则A a = a,于是，由题设知A (B a) = (AB )a = (BA )a = B (A a) = B (扁。)=a,因此BaeV, .根据不变子空间的定义即知，咋是B的不变子空间.4) A)2)由1)可知*，是B的不变子空间，若记B k = 则3是复数域上线性空间V%的一个线性变换，它必有特征值吊及非零向量吮，使得B = BqP /J。,即六是8的特征向量，从而0是A和3的公共特征向量.因此，A,B存在公共的特征向量.
