1、专题基本不等式常见题型归纳教师版专题函数常见题型归纳三个不等式关系：（ 1） a， bR， a2 b22ab，当且仅当 a b 时取等号ab，当且仅当 a b 时取等号（ 2） a， bR ，a b 2（ 3） a， bR，a2 b2a b 2，当且仅当 a b 时取等号(2)2上述三个不等关系揭示了a2 b2 ，ab，a b 三者间的不等关系其中，基本不等式及其变形：a b 2a，b R，a b 2 ab(或 ab() )，当且仅当 ab2时取等号，所以当和为定值时，可求积的最值；当积为定值是，可求和的最值利用基本不等式求最值：一正、二定、三等号【题型一】利用拼凑法构造不等关系【典例 1】（
2、扬州市 2015 2016 学年度第一学期期末 11）已知 a b1 且2 log a b3log b a7，则1的最小值为.ab21【解析】 a b1 且2 log a b3log b a 7 2log ab37 ，解得 loga b1或log a b2log a b3，a b1 log a b1，即 ab2 a11a1112b2a12 a1113 a 1练习：1（南京市、 盐城市 2015 届高三年级第一次模拟10）若实数 x, y 满足 xy0 ，且log 2x log2y12y2的最小值为，则 xxy解析：由 log2 x+log2y=1 可得 log 2xy=1=log22，则有 x
3、y=2，那么x2y2(xy)22xyxy=xy=（ xy）+4 2( x4=4，当且仅当（ x y） =4，即 x=3 +1， y=3 1y)yyxyxx第 1 页 共 1 页x2y 2时等号成立，故的最小值为 4xy2.（苏北四市（徐州、淮安、连云港、宿迁）2017届高三上学期期末）若实数x, y 满足xy 3x 3(0 x1 ) ，则31的最小值为2xy33. （ 无 锡 市 2017届 高 三 上 学 期 期 末 ） 已 知 a0, b 0, c 2 ， 且 ab 2 ， 则ac c c 5的最小值为 .b ab 2 c 2【典例 2】（南京市 2015 届高三年级第三次模拟 12）已知
4、 x， y 为正实数，则 4x y4x y x y的最大值为解析：由于4xy4x yx y=4x( xy) y(4x y)4x28xyy 2(4xy)( x y)=25xyy 24x=1+3xy=1+3 1+34，4x25xyy2xyxy=4523yx4x5y当且仅当4 x = y ，即 y=2x 时等号成立yx【典例 3】若正数 a 、 b 满足 abab3 ,则 ab 的最小值为 _.解析：由 a, bR ,得 abab3(ab )2 ,( ab)24( ab) 120 ,解得 a b62(当且仅当 ab 且 abab3 ,即 ab3 时 ,取等号 ).变式： 1.若 a, bR ,且满足
5、 a2b2ab ,则 ab 的最大值为 _.解析：因为 a, bR ,所以由 a2b2ababa2b2(ab)2, ( ab)222( ab)0 解得0 a b 2 (当且仅当a b且a2b2ab 即a b 1时 取等号).,2.设 x0, y0 ， x2y2xy8 ，则 x2 y 的最小值为 _43.设 x, yR ，4x 2y2xy1，则 2xy的最大值为 _21054.（苏北四市（淮安、宿迁、连云港、徐州）2017届高三上学期期中）已知正数a ， b 满足 19ab5，则 ab 的最小值为ab第 2 页 共 2 页【题型二】含条件的最值求法【典例4】（苏州市 2017届高三上期末调研测试
6、）已知正数x, y 满足 xy1 ，则41x 2的最小值为y 1练习 1（江苏省镇江市高三数学期末14）已知正数 x, y 满足 111，则 4x9 yxyx1y1的最小值为.解析：对于正数x， y，由于 1+14x+4 y=（4x4y ）=1，则知 x1， y1，那么1x+xyxy11y1（ 1+1 1 1） =（ 4x+4y）（ x 1+ y 1 ）（4xx1+4 yy1 ）x yx 1y 1xyx 1 xy 1 y2=25，当且仅当4x y1=4y x1 时等号成立x 1yy 1x2.（ 20132014学年度苏锡常镇四市高三教学情况调查（一） 11 ）已知正数 x, y 满足x 2 y
7、 2 ，则 x 8y的最小值为xy解 析： x 8 y 1 81 8x2 yx1 48 y5 2x 8 y9 ， 当 且 仅 当xyy xy x22 yx2y xx 8 y 时，取等号故答案为： 92 y x3（南通市 2015 届高三第一次调研测试12）已知函数y ax(0)的图像经过点b bP(1,3) ，如下图所示，则41 的最小值为.a1b第 3 页 共 3 页解析：由题可得a+b=3，且 a1，那么41+1=1 （ a 1+b ）（4+1 ）= 1 （4+ a 1ab2a1b2b+4b+1）1 （ 2a14b+5） =9 ，当且仅当 a1=4b时等号成立a 12ba 12ba14 （
8、江苏省苏北四市2015届高三第一次模拟考试12 ）己知a， b 为正数，且直线axby 60 与直线2x(b3) y50 互相平行，则2a+3b 的最小值为 _ 【解析】由于直线ax+by 6=0 与直线ab，即2x+（ b 3） y+5=0 互相平行，则有=2b 33a+2b=ab，那么 2a+3b=（ 2a+3b）3a2b326a6b6a6bab=（ 2a+3b）（b+）=+13 2aabab+13=25，当且仅当6a=6bb，即 a=b 时等号成立aa2b1的最小值为b5.常数 a，b 和正变量 x，y 满足 ab 16，y. 若 x 2y64，则 a _.x2答案： 64； ( 考查基
9、本不等式的应用).6.已知正实数 a,b 满足121 ，则 ab 的最大值为2ab b2ba a答案：2223【题型三】代入消元法【典例 5】（苏州市2016 届高三调研测试14）已知 ab1 ， a,b(0,1) ，则112的4a1 b最小值为1122解析：由1 得，4b24b 12b27b1aba144b1a 1b4b 11 b4b25b14b25b117b1149t1494222184令 7b1t则4b5b14t27t184t273当且仅当t32即322t等号成立2 14第 4 页 共 4 页练习 1（江苏省扬州市2015 届高三上学期期末12）设实数 x，y 满足 x2 2xy 1 0
10、，则22的最小值是xy解析：由2可得1 x2，那么222(1 x2 ) 25211x 2xy 10y=x y = x4x2=x + 22x44x2252115152141时等号成立4x4x2=2，当且仅当4x =4x2，即 x =2252（ 苏州市 2014 届高三调研测试 13）已知正实数 x， y 满足 ，则 x + y 的最小值为 解析：正实数 x， y 满足 xy+2x+y=4， （ 0 x 2 ） x+y=x+= = （ x+1 ） + 3 ， 当 且 仅 当第 5 页 共 5 页时取等号 x+y 的最小值为 故答案为： 3（南通市 2014 届高三第三次调研测试 9 ）已知正实数
11、x, y 满足 ( x 1)( y 1) 16 ，则 x y的最小值为 解 析 ： 正 实 数x ， y161 ， x+y=满 足 （ x 1 ）（ y+1 ） =16 ， xy116y12y 1168，当且仅当y=3，（x=5）时取等号 x+y 的最小值为y1y 18故答案为： 84.（扬州市2017 届高三上学期期中）若a0,b2，且 ab3，则使得41a取得最小值的实数 a =b 2。5.设实数 x、 y 满足 x2 2xy 1 0，则 x y 的取值范围是 _6.已知x, y, zR，且xy z， x2y 2z23，求 xyz 的最大值为 _1【题型四】换元法【典例6】（南京市、盐城市
12、2016 届高三年级第二次模拟考试13）已知函数 f(x) ax2 x b(a，b 均为正数 )，不等式 f(x) 0的解集记为 P，集合 Qx| 2 t x 2 t若对于任意正数t ， P Q ，则 1 1的最大值是ab【解析】由题意可知任意正数t ，集合 Q x| 2 t x 2t，构成的集合 Qt 的交集为， 即，11113a22f24a2b0 ,b4a2 aba4a 24a2， 令2a3a2119u991，当且仅当 u1 ，等号成立，u ，4u24 10ab10u44u18211ua1,或 a（舍） b0, 故 a则 1 1的最大值是 132ab22（ 2016 年江苏省淮安、宿迁、连
13、云港、徐州高考数学一模试卷 14）已知正数 a， b，c满足 b+ca，则 + 的最小值为 解法一： 正数 a， b， c 满足 b+ca，第 6 页 共 6 页 + + =（ + ） + = + 当且仅当 = 时取等号故答案为： 解法二：由 b cb1abay ，则 x 1bcx1，a 得c，令x ，y ，a bccccxy所以 bcx1x112x 11121 121 ，当c a bx y2x 1 22x 1 22 22且仅当 x21时等号成立故bc的最小值为21 cab22练习 1（ 江苏省南京市2016 届高三第三次模拟14）若实数 x， y 满足 2x2 xy y2 1，则x2y的最大值为5x22xy2 y2解析：由 2x2 xy y2 1 可得， 2xyxy1 ，令 2xyt ，则 xy1 ，x1 t1 ，t3t1
