1、函数的零点教案函数的零点教案【篇一：函数的零点的教学设计】 函数的零点课堂教学设计 设计者：大连理工大学附属高中 赵永新 一教学内容 本课内容选自经全国中小学教材审定委员会2004年初审通过的人教版普通高中课程标准试验教科书，数学必修，b版第二单元函数中的函数的零点，新授课，第一课时。 1知识背景 24节函数与方程作为新课程改革试验教材中的新增内容，其课程目标是想 通过对本节的学习，使学生学会用二分法求函数零点近似解的方法，从中体会函数与方程之间的联系，同时达到“方法构建、技术运用、算法渗透”这一隐性的教学目标。建立实际问题的函数模型，利用已知函数模型解决问题，作为一条主线贯穿了全章的始终，而
2、方程的根与函数的零点的关系、用二分法求函数零点的近似解，是在建立和运用函数模型的大背景下展开的。方程的根与函数的零点的关系、用二分法求函数零点的近似解中均蕴涵了“函数与方程的思想”，这也是本章渗透的主要数学思想 2本节内容 函数的零点通过对二次函数图像的绘制、分析，得到零点的概念，从而进一步 探索一般函数零点存在性的判定，这些活动就是想让学生在了解初等函数的基础上，对函数图像进行全新的认识，在函数与方程的联系中体验数学中的转化思想的意义和价值。 二学生分析1认知起点 建构主义的基本主张认为学习是一个积极主动的建构过程，学习者不是被动地接 受外在信息，而是根据先前认知结构主动地有选择性地知觉外在
3、信息，建构当前事物的意义，所以课程实施决不是教师给学生灌输知识、技能，也不是学生只被动地陷于接受、记忆、模仿和练习等低等而乏味的活动。高中数学课程应该是学生在自主探索、动手实践、合作交流、阅读自学等学习数学的方式下，师生之间、学生之间进行愉快而有效的多边互动。所有这些活动都需要学生在知识起点方面有所准备。通过对2.2节的学习，学生已经对一次函数、二次函数的性质与图像有了深刻了解，此时学生对初等函数的本质属性、初等函数的图像与性质的联系有了较高层次的认识，所以在本节课提出函数零点的概念，不会显得突然，反而对学生的认知过程有很好的帮助。 2 学习兴趣 有了良好的知识基础，学生的知识起点会很自然的与
4、本节课的内容进行衔接，这 样学生的学习兴趣会得到保障。另外，在现代化教学设备方面，我们利用几何画板这一具有超强画图功能的软件，可以帮助学生简单、准确地描绘函数图像，所以学生的兴趣又得到了的提高。 3学习障碍 本节课的学习障碍为零点概念的认识。零点的概念是在分析了二次函数图像的基础上，由图像与x轴的位臵关系得到的一个全新概念，学生可能会设法画出图像找到所有任意函数可能存在的所有零点，但是并不是所有函数的图像都能具体的描绘出，所以在概念的接受上有一点的障碍。 4学习难度 新教材关注学生的学习兴趣和认知特点，一方面注意控制教材内容总量，精选学生终身学习必备的基础知识和基本技能，另一方面也适当降低了某
5、些知识的难度要求，改变了原有教材中原理性知识偏重思辨和过深、过难的现象，本节课就充分体现了这一点 。难度适中，知识要点突出，层次分明，符合学生的认知特点。 三设计思想 本节课的设计思想是以多媒体网络教学平台为依托，借助几何画板的帮助，为学生描绘一个数学图形的世界，营造一个探究学习的环境，让他们通过数学实验，经历回顾旧知、探求新知、发现规律、解决问题、总结规律的全过程。 四教学目标 知识与技能:（1）通过对二次函数增图像的描绘，理解函数零点的概念，体会我们在 研究和解决问题过程的一般思维方法。 （2）通过对一般函数图像的描绘分析，领会函数零点与相应方程之间的 关系，掌握零点存在的判定条件。 （3
6、）培养学生对事物的观察、归纳能力和探究能力。 过程与方法: 通过画函数图像，分析零点的存在性。 情感态度与价值观: 使学生再次领略“数形”的有机结合，渗透由抽象到具体的思想, 理解动与静的辨证关系,体会数学知识之间的紧密联系。 五教学重点 重点：理解零点的概念，判定二次函数零点的个数，会求函数的零点 难点：探究发现函数存在零点的方法及函数零点的应用 六教学程序与环节设计 结合描绘的二次函数图像，提出问题，引入课题二次函数零点和零点的判定 .零点的存在性判断及零点的确定 利用几何画板描绘某些特殊函数图像，找出零点，并尝试进行系统的总结 重点放在零点的确定和应用 .具体流程设计 一、创设情境 画函
7、数y=x2-2x-3的图像，并观察其图象与其对应的一元二次方程x2-2x-3=0 师生互动 师：引导学生通过配方，画函数图象，分析方程的根与图象和x轴交点坐标的关系。 生：独立画图，独立思考。 设计意图：通过数与形的结合说明函数图像与性质的关系。 再次利用几何画板绘制函数y=x2-2x+1、y=x2-2x+3的图像，并观察它们的图像与对应的一元二次方程x2-2x+1=0、x2-2x+3=0的根的关系。 师生互动 师：引出零点的概念，将上述结论推广到一般的一元二次方程和二次函数又怎样？ 生：完成解答，观察、思考、总结、概括得出结论，并进行交流 设计意图：利用几何画板的帮助，使学生的认知起点与新知
8、识平顺对接，形成零点概念的初步认识。几个特殊的函数与方程又具有很强的概括性，包括方程有两不相等的根、两相等的根、无根的情况，研究它们有利于培养学生思维的完整性，为学生 归纳方程与函数的关系铺好了台阶。 二、组织探究 对于函数y=f(x)(xd)，把使f(x)=0成立的实数x叫做函数y=f(x)(xd)的零点(zero point) 函数零点的意义： 函数y=f(x)的零点就是方程f(x)=0实数根，亦即函数y=f(x)的图象与x轴交点的横坐标即： 方程f(x)=0有实数根?函数y=f(x)的图象与x轴有交点?函数y=f(x)有零点 师生互动 师：引导学生仔细体会理解零点的概念，进而感悟其中的思
9、想方法 生：结合图像认真理解函数零点的意义，并对零点出现的条件进行思考，根据函数零点的意义探索其求法 设计意图：通过函数零点概念的形成过程，让学生对零点的概念由初步的认识到掌握，并且对一般概念的形成过程有一个更深刻的认识 三、意义构建 函数零点的求法： 求函数y=f(x)的零点： 1 （代数法）求方程f(x)=0的实数根； 2 （几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数y=f(x)的图象联系 起来，并利用函数的性质找出零点 师生互动 师：引导学生就将由图象得到的概念进一步深化，得到函数零点的求法。 生：得到函数零点的求解方法，第一:代数法,即求解函数对应的方程； 第二：几何法，画出函数
10、图像，找出零点。 设计意图：深刻认识图象与函数性质的关系，并掌握用几何法求函数的零点。 二次函数y=ax2+bx+c(a0)零点个数的判定方法：师：引导学生运用函数零点的意义探索二次函数零点的情况 生：根据函数零点的意义，探索研究二次函数的图像的性质，完全独立完成对二次函数零点情况的分析 ，总结概括形成结论，并进行交流。 设计意图：让学生对特殊的函数零点产生直观认识，深化零点概念 四、探索研究 （）观察二次函数f(x)=x2-2x-3的图象 1有零点_；f(-3)=_，在区间-3,上f(1)=_,f(-3)?f(1)_0（或） 在区间2,4上有零点_；f(2)f(5)_0（或） 结论：二次函数
11、零点的性质 （1）当函数的图象通过零点时（不是二重零点）函数的值变号. （2）相邻两个零点之间的所有函数值保持同号. （）观察下面函数y=f(x)的图象 在区间a,b上_(有/无)零点； f(a)f(b)_0（或） 在区间b,c上_(有/无)零点；f(b)f(c)_0（或） 在区间c,d上_(有/无)零点； f(c)f(d)_0（或）.结论：零点存在性定理如果函数y=f(x)在区间a,b上的图象是连续不间断的一条曲线，并且有f(a)?f(b)0，那么，函数y=f(x)在区间(a,b)内至少存在一个零点，即存在c(a,b)，使得f(c)=0，这个c也就是方程f(x)=0的根. 注意：（1）此性质
12、成立的前提：函数图象是连续不间断的一条曲线； （2）零点c并不一定是唯一的，但一定存在； （3）f(a)?f(b)0是函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点的充分条件。但是若函 数y=f(x)是一次、二次函数时，则f(a)?f(b)0是函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点的充要条件。 师生互动 师：引导学生结合教师所提出的问题及函数图像，分析函数在区间端点上的函数值的符号情况，与函数零点是否存在之间的关系。 生：结合函数图象，思考、讨论、总结归纳得出函数零点存在的条件，并进行交流、评析。 设计意图：如何由函数零点的概念过度到函数零点的判定方法是本节课的难点，这样设计，有得于营造气氛，调动
13、学生的积极性，内容由浅入深，既展现了知识的形成过程，又体现了能力的培养，符合素质教育的思想。 五、例题研究 例题1：求函数y=-x2-2x+3的零点，并指出y0，y=0时，x的取值范围. 解：由-x2-2x+3=0得，x1=-3,x2=1 函数y=-x2-2x+3的零点为-3，1. y=-x2-2x+3=-(x+1)+4,画出图象， 由图象观察可得：当-3x1时，y0 当x-3或x1时，y0，函数的零点为-3 ， y0时，x的取值范围是(-3,1) y0时，x的取值范围是(-,-3)?(1,+). 2 例题2：求函数y=x3-2x2-x+2x3-2x2-x+2=x2(x-2)-(x-2) =(
14、x-2)(x2-1) =(x-2)(x-1)(x+1) 函数的零点为-1,1,2 三个零点把x轴分成四个区间：(-,-1，-1,1，列表描点连线【篇二：函数的零点教案】 课题：函数的零点 【教学目标】 1、了解函数零点的概念及函数零点的等价描述； 2、能利用二次函数的图象与判别式的符号，判断一元二次方程根的存在性及根 的个数； 3、理解判断函数零点存在性的结论并能研究简单的函数零点的存在性问题； 4、体现、感受并理解方程和函数图象在零点问题中的应用，渗透数形结合思想， 运用数形结合来研究和解决数学问题，并能应用从特殊到一般的数学方法去探索和认识数学知识。 【教学重难点】 1、重点：理解零点的概
15、念利用二次函数的图象与判别式的符号，判断一元二次方程根的 存在性及根的个数；应用函数零点存在性的结论研究函数零点的存在问题 2、难点：理解判断函数零点的存在性的结论 【教学过程】 一、概念引入 请同学们一起来看投影上的问题 画出下列函数图象并指出x取何值时，y=0 (1)y=x+2(2)y=x2-2x-3 (3)y=1+1 （图象保留） x 处理：学生上黑板板书（上黑板画出图像并求出x值） 师：（1）所求x就是对应方程的实数根 （2）从图象上来看，我们所求的x就是什么？ 师：这里所求的x就是我们今天要来研究的函数的零点 那么，什么是函数的零点呢？ 二、概念认识 一般地，对于函数y=f（x），若
16、f（x）=0则实数x称为该函数的零点 师：了解了函数零点的定义，同学们对函数零点有怎样的认识？（1）等价描述：函数y= f（x）的零点就是方程f（x）=0的实数根 函数y= f（x）的零点就是它的图象与x轴交点的横坐标 （2）函数的零点是实数，不是点（板书） 师：认识了函数零点的定义后，请同学们来求下面几个函数的零点 练习1：求下列函数的零点 (1)y=x-1(2)y=log2x - 1 (3)y=2x-3 x+1 （投影展示） 归纳：求函数零点的步骤：（板书） （1）令f（x）=0 （2）解方程f（x）=0（3）写出零点 师：通过上面的研究我们认识了函数零点的定义，掌握了函数零点的求法 下面
17、请同学们继续看例1的问题 三、应用例题 例1：求证：二次函数y=x2+3x-2有两个不同的零点 练习2：（1）函数y=x2+3x-k没有零点，求k的取值范围 （2）函数y=x2+kx+2有零点，求k的取值范围 （3）函数y=kx2+3x-2有一个零点，求实数k的值 （投影展示）（看情况或学生回答） 师：由例1和练习2的研究，请大家总结一下 归纳：如何来判断二次函数y=ax+bx+c(a?0)零点？ 2师：由上面的认识，我们可以通过判别式来判断二次函数零点的个数 那么二次函数零点具体的分布情况，我们如何来研究呢？请同学们继续 来看例2 例2：判断二次函数f(x)=x2+3x-2在区间（0，1）上
18、是否存在零点？ 学生回答：法一）解方程 师：还有其它的想法吗？（引导）由刚才我们对函数零点的认识，函数零点除了可以转化为的方程来研究，还可以从什么角度来研究啊？-图象 在多媒体上展示图象？那么利用图象我们如何来研究例2呢？ 学生回答（教师补充、完善） 师：一般地，我们如何来判断函数y=f（x）在区间（a，b）上存在零点？ 图象展示（多媒体） 函数零点存在性判断的结论：一般地,若函数y=f（x）在区间a，b上的图象是一条不间断的曲线，且f(a) f(b)0，则函数y=f（x）在区间（a，b）上有零点 师：判断函数y=f（x）在区间（a，b）上有零点的条件有几个？哪两个？ 师：下面我们具体来认识一
19、下这个结论 （1）函数图象是一条不间断的曲线 （问题1（3） （2）为什么要在闭区间a，b上是一条不间断的曲线为什么要连续曲线（开始练习（3）图象解释） 为什么要在闭区间a，b上是一条不间断的曲线 师：认识了函数零点存在性判断的结论后，请同学们来解决下面的问题 练习（3） （1）求证：函数f(x)=2+x-2在区间(0，1)上存在零点 x （2）判断函数f(x)=x+x-3在区间(1，2)上是否存在零点 32 师：应用零点存在性的判断结论我们很容易解决练习（3）的问题 师：对于例2，我们从零点等价描述的两个角度进行了研究。并通过图象的应用认识了判断零点存在性的结论。 师：通过本例的研究，我们更
20、深刻的认识到零点的等价描述为我们对零点问题的研究提供了两个方向：方程、图象，方程是从数的角度来描述零点，图象是从形的角度来描述零点。至此数和形实现了结合，而数形结合思想也正式登上高中数学的舞台。它对高中数学研究的意义是深远的，这点同学们在以后的学习中会慢慢感受的。 练习4：若函数f(x)=kx+1(k?0)在区间（-1，1）上有零点，求实数k的取值范围（深化数形结合的应用及认识） 【回顾小结】 （1）函数的零点的概念，注意零点不是点而是实数 （2）利用判别式和二次函数的图象判断二次函数零点 （3）能利用零点分布判断方法对函数的零点分布进行简单的判断【篇三：函数的零点教案】 函数的零点 【教学目
21、标】 1、了解函数零点的概念及函数零点的等价描述； 2、能利用二次函数的图象与判别式的符号，判断一元二次方程根的存在性及根 的个数； 3、理解判断函数零点存在性的结论并能研究简单的函数零点的存在性问题； 4、体现、感受并理解方程和函数图象在零点问题中的应用，渗透数形结合思想， 运用数形结合来研究和解决数学问题，并能应用从特殊到一般的数学方法去探索和认识数学知识。 【教学重难点】 1、重点：理解零点的概念利用二次函数的图象与判别式的符号，判断一元二次 方程根的存在性及根的个数；应用函数零点存在性的结论研究函数零点的存在问题 2、难点：理解判断函数零点的存在性的结论 【教学过程】 一、概念引入 请
22、同学们一起来看投影上的问题 画出下列函数图象并指出x取何值时，y=0 (1)y=x+2(2)y=x2-2x-3 (3)y=1+1 （图象保留） x 处理：学生上黑板板书（上黑板画出图像并求出x值） 师：（1）所求x就是对应方程的实数根 （2）从图象上来看，我们所求的x就是什么？ 师：这里所求的x就是我们今天要来研究的函数的零点 那么，什么是函数的零点呢？二、概念认识 一般地，对于函数y=f（x），若f（x）=0则实数x称为该函数的零点 师：了解了函数零点的定义，同学们对函数零点有怎样的认识？ （1）等价描述：函数y= f（x）的零点就是方程f（x）=0的实数根 函数y= f（x）的零点就是它的
23、图象与x轴交点的横坐标 （2）函数的零点是实数，不是点（板书） 师：认识了函数零点的定义后，请同学们来求下面几个函数的零点 练习1：求下列函数的零点 (1)y=x-1(2)y=log2x - 1 (3)y=2x-3 x+1 （投影展示） 归纳：求函数零点的步骤：（板书） （1）令f（x）=0 （2）解方程f（x）=0（3）写出零点 师：通过上面的研究我们认识了函数零点的定义，掌握了函数零点的求法 下面请同学们继续看例1的问题 三、应用例题 例1：求证：二次函数y=x2+3x-2有两个不同的零点 练习2：（1）函数y=x2+3x-k没有零点，求k的取值范围 （2）函数y=x2+kx+2有零点，求
24、k的取值范围 （3）函数y=kx2+3x-2有一个零点，求实数k的值 （投影展示）（看情况或学生回答） 师：由例1和练习2的研究，请大家总结一下 归纳：如何来判断二次函数y=ax2+bx+c(a?0)零点？ 师：由上面的认识，我们可以通过判别式来判断二次函数零点的个数 那么二次函数零点具体的分布情况，我们如何来研究呢？请同学们继续 来看例2 例2：判断二次函数f(x)=x2+3x-2在区间（0，1）上是否存在零点？ 学生回答：法一）解方程 师：还有其它的想法吗？（引导）由刚才我们对函数零点的认识，函数零点除了可以转化为的方程来研究，还可以从什么角度来研究啊？-图象 在多媒体上展示图象？那么利用
25、图象我们如何来研究例2呢？ 学生回答（教师补充、完善） 师：一般地，我们如何来判断函数y=f（x）在区间（a，b）上存在零点？ 图象展示（多媒体） 函数零点存在性判断的结论：一般地,若函数y=f（x）在区间a，b上的图象是一条不间断的曲线，且f(a) f(b)0，则函数y=f（x）在区间（a，b）上有零点师：判断函数y=f（x）在区间（a，b）上有零点的条件有几个？哪两个？ 师：下面我们具体来认识一下这个结论 （1）函数图象是一条不间断的曲线 （问题1（3） （2）为什么要在闭区间a，b上是一条不间断的曲线 为什么要连续曲线（开始练习（3）图象解释） 为什么要在闭区间a，b上是一条不间断的曲线
26、 师：认识了函数零点存在性判断的结论后，请同学们来解决下面的问题 练习（3） （1）求证：函数f(x)=2x+x-2在区间(0，1)上存在零点 （2）判断函数f(x)=x3+x2-3在区间(1，2)上是否存在零点 师：应用零点存在性的判断结论我们很容易解决练习（3）的问题 师：对于例2，我们从零点等价描述的两个角度进行了研究。并通过图象的应用认识了判断零点存在性的结论。 师：通过本例的研究，我们更深刻的认识到零点的等价描述为我们对零点问题的研究提供了两个方向：方程、图象，方程是从数的角度来描述零点，图象是从形的角度来描述零点。至此数和形实现了结合，而数形结合思想也正式登上高中数学的舞台。它对高中数学研究的意义是深远的，这点同学们在以后的学习中会慢慢感受的。 练习4：若函数f(x)=kx+1(k?0)在区间（-1，1）上有零点，求实数k的取值范围（深化数形结合的应用及认识） 【回顾小结】 （1）函数的零点的概念，注意零点不是点而是实数 （2）利用判别式和二次函数的图象判断二次函数零点 （3）能利用零点分布判断方法对函数的零点分布进行简单的判断【课外作业】 对应的课时练 【板书设计】
