1、学年八年级数学上册 教材分析素材 新版北师大版教材分析与问题研讨一、教材总体思路分析（一）本学期学习的主要内容及课时安排 章节序号章节名称课时数第一章勾股定理41探索勾股定理22一定是直角三角形吗13勾股定理的应用1第二章实数111无理数22平方根23立方根14估算15用计算器开方16实数17二次根式及其运算3第三章位置与坐标51确定位置12平面直角坐标系33轴对称与坐标变化1第四章一次函数71函数12一次函数与正比例函数13一次函数的图象24一次函数的应用3第五章二元一次方程组8+11认识二元一次方程组12解二元一次方程组23应用二元一次方程组-鸡兔同笼14应用二元一次方程组-增收节支15应
2、用二元一次方程组-里程碑上的数16二元一次方程与一次函数27*三元一次方程组1第六章数据的分析61平均数22中位数与众数13从统计图分析数据的集中趋势14数据的离散程度2第七章平行线的有关证明71为什么要证明12定义与命题23平行线的判定14平行线的性质15三角形内角和定理2综合与实践计算器运用与功能探索2综合与实践哪一款“套餐”更合适2综合与实践哪个城市夏天更热2（二）各章整体设计与内容的组织1.本册各章之间的关系本册前五章之间存在内在的逻辑关系。在古希腊时期先有了平面几何的重要定理-勾股定理，其后对于一些特殊量度的研究得出不可公度的量，形成了不可比的数（无理数）的概念、实数的概念。实数可以
3、和数轴上的点形成一一对应，这个时候，数轴也变成了“实”的、连续的，因此，可以用以刻画连续变化的量。在“实”的数轴的基础上拓展出的平面直角坐标系，就可以将平面上的点一网打尽了。只有建立了平面直角坐标系，才可以从“形”的角度认识函数、一次函数。本套教科书特别注重揭示函数与方程的联系，力图从“形”的角度认识方程，因此，在一次函数的基础上才能认识二元一次方程的图像。2.为什么先研究勾股定理再研究实数利用勾股定理解决问题的过程中，一般都涉及到开方运算，而具体情境中多数是开不尽的，因此需要学习开方的一般表示。为此，多数教科书都是先研究实数（平方根、无理数、根式甚至根式运算），再研究勾股定理。可北师大版教材
4、却反过来，先研究勾股定理再研究实数，原因何在？为此，我们需要分析两种做法各自的特点。先学习实数再学习勾股定理的好处是：先准备好了根式的有关知识，然后利用勾股定理解决问题时，数据可以更加真实，运算更为便捷。但也存在与生俱来的不足：违背了数学历史发展的规律；而难能揭示无理数研究的必要性；只能设计有关面积的问题背景，十分单调。作为平面几何有关度量的最基本定理，勾股定理有着悠久的历史，人类文明的早期基本都自主地得到了勾股定理；而历史上，古希腊人从几何图形研究中，发现一些量是不可公度的（这些量不能同时是某个基本度量单位的整数倍），也就是说这两个量的比不是整数，因而得出不可比的数（由于翻译的偏差，误译为无
5、理数）；至于无理数的小数表示和小数定义（无限不循环小数），那是以后的事（古希腊当时还没有十进位值呢）。也就是说，历史上，是先在理性思考的基础上，发现不可比的数（无理数），接着才研究其小数表示和根式表示的。先学习无理数再学习勾股定理，不符合历史顺序。先学习无理数再学习勾股定理，也无法让学生感受无理数学习的必要性。先学习无理数再学习勾股定理时，教科书一般这样引出平方根的概念：提问“2的平方等于4，2叫做4的平方根，那么2的平方根等于多少呢？如何表示呢？”从而引出平方根的概念和表示，接着研究 的小数表示，引出无理数的概念。这样做，学生难免有这样的疑问“有平方等于2的数吗”“学习过的数的平方都不等于2
6、，那这样的数就不存在呗，干嘛还得研究？”对无理数研究的必要性提出质疑。而先学习勾股定理再学习无理数，则避免了上述缺点，顺应了历史发展的顺序，也符合学生的认知顺序，后面无理数一章的题目背景更为丰富。教科书首先通过拼图活动得出面积为2的正方形，也就是说，发现一个数的平方等于2，切实感受到这个数的存在性；接着思考这个数是不是原来学习过的数，发现不是原来学习过的数，进而研究这类数的小数表示和定义，得出无理数的概念；接着，研究这样的数的表示，得出平方根、立方根的概念。这样的活动设计，与历史上无理数发现的过程是一致的，也符合学生的认知规律，同时让学生体会到抽象的数学概念在现实生活中有其实际背景。也有老师，
7、对这个活动中学生能否感受a不是分数存在疑问。教材组在编写这一课时时特意进行过教学实验，教材组两位老师到两所学校进行了教学实验，学生基本都能自主的获得这个结论。如学生说：“12=1，22=4，32=9，越来越大，所以a不可能是整数”， “结果都为分数，所以a不可能是分数”，“两个相同的分数，分子分母已经都约过分了，相乘后肯定不好再约分了，因此不可能是整数2”实际上，学生最后的说法就是严格的证明了。教学中只要给学生适当的空间，学生应该能够认识到这一点的。此外本课时后面还有一个阅读材料：无理数的发现，教师可提示有兴趣的同学课后阅读。当然，这样的教科书设计不可避免地带来了一些不便，如需要精心选择勾股定
8、理一章例、习题中的数据。但也应认识到，如果学生能感受到数据需要选择，可能更能感受到一般表示的必要性，从而产生学习实数的内在需要。此外，在下一章实数内容学习中，可以回过来解决利用勾股定理的应用问题，加强了代数与几何的联系，使得两章成为一个整体。3.为什么先研究一次函数再研究二元一次方程组确定一般的一次函数表达式，需要确定其两个参数k和b，因而需要具备解二元一次方程组的有关技能。因此，多数教科书中，先学习二元一次方程组再学习一次函数。我们教科书又反过来了，为什么？关注几何直观！二、各章具体内容解析（一）第一章：勾股定理设计思路教科书设计了3节内容：第1节，探索勾股定理（2课时）；第2节，“一定是直
9、角三角形吗”（1课时），探索勾股定理的逆定理；第3节，“勾股定理的应用（1课时），巩固勾股定理及其逆定理。在每节的编写中，仍然遵循本套教科书的编写风格，按照“问题情境-建立模型-解释、拓展与应用”的模式展开，首先通过具体问题情境，引入研究的必要性，接着设计探究活动获得有关结论，然后运用探究得到的结论解决具体问题。教学与评价建议（1）注重使学生经历探索勾股定理等活动过程教科书安排了探索勾股定理、验证勾股定理、探索直角三角形的条件等活动，教师应鼓励学生充分从事这些活动，通过观察、实验、推理、交流等获得结论，发展空间观念和推理能力。（2）注重创设丰富的现实情境，体会勾股定理及其逆定理的广泛应用勾股定
10、理和逆定理在现实世界中有着广泛的应用，教师应充分利用教科书中的素材，让学生体会这种应用，如利用勾股定理求出一些表面距离的最小值，进行各种距离的测量，利用结绳的方法作出直角等。教师还可以创设其他现实情境或者鼓励学生自己寻找有关问题，进一步展现勾股定理和逆定理在解决问题中的作用，认识现实世界中蕴涵着丰富的数学信息。（3）尽可能地介绍有关勾股定理的历史，体现其文化价值勾股定理的发现、验证及应用的过程中蕴含着丰富的文化价值，很多古文明都独立地发现了勾股定理，中国也是最早认识勾股定理的国家之一，古希腊在勾股定理的运用中，发现了无理数，进而导致了数学史上第一次关于数学基础的危机。关于勾股定理的历史材料十分
11、丰富，教学中教师应鼓励学生阅读教科书中的相关材料，还可以再展现一些历史资料，以拓宽学生的视野。有条件的话，还可以引导学生自己从有关书籍、网络上收集资料，了解更多的历史资料，体会勾股定理的文化价值。（4）注意数形结合、化归等数学思想方法的渗透在勾股定理的探索与验证活动中，蕴含着丰富的数学思想，如数形结合的思想，化归思想等。教学中，教师应注意渗透并揭示这些数学思想方法。如数形结合，教师应鼓励学生由代数表示联想到有关几何图形，由几何图形联想到有关代数表示，从而认识数学的内在联系。（5）关注对探究勾股定理等活动过程的评价教科书设计了大量的探究活动，这些活动对于发展学生的空间观念和推理能力很有帮助，因此
12、，对这些活动过程的考察成为学习评价的主要方面。对于这些活动的评价，可以关注多个方面：如活动中学生是否积极参与，是否能和同伴进行有效的合作交流，能否积极的思考，能否提出解决问题的策略，否开展积极的联想(如由数联想到形，由形联想到数)，能否有条理地表述活动过程和所获得的结论等。如果有条件，还可以让学生课外搜集有关勾股定理的资料，并进行课堂展示、交流、评析，通过这些活动来考察学生的各方面能力的发展状况。（二）第2章：实数设计思路首先通过拼图活动和计算器探索活动，给出无理数的概念；然后，通过具体问题的解决，引入平方根和立方根的概念和开方运算。由于在实际生活和生产实际中，对于无理数我们常常通过估算来求它
13、的近似值，为此教科书安排了一节内容：估算，介绍估算的方法，包括通过估算比较大小，检验计算结果的合理性等。接着，教科书用类比的方法引入实数的相关概念、运算律和运算性质等。最后，介绍了特殊的实数运算-二次根式的运算，引领学生对简单的二次根式进行化简。教学与评价建议（1）注重概念的形成过程，让学生在概念的形成的过程中，逐步理解所学的概念加强概念形成过程的教学，对提高学生的思维水平是很必要的。如无理数的引入，要让学生亲身经历活动，感受引入的必要性，初步认识无理数是无限不循环小数这一意义。在教学时，教师要鼓励学生动手、动脑、动口，与同伴进行合作，并充分地开展交流。再如平方根的概念，对正数有两个平方根学生
14、不太容易接受，往往丢掉负的平方根，因为这与他们以前的运算结果唯一的经验不符。对此，在平方根的引入时，教师可多提一些具体的问题，如9的算术平方根是3，也就是说，3的平方是9。还有其他的数，它的平方也是9吗？等等，旨在引起学生的思考，让学生从具体的例子中抽象出初步的平方根的概念。接着让学生去讨论：一个正数有几个平方根？0有几个平方根？负数呢？引导学生更深刻地理解平方根的概念，特别是负数的情况，然后再通过具体的求平方根的练习，巩固新学的概念。（2）鼓励学生的自主探索和合作交流本章为学生提供了许多有趣而富有数学含义的问题，教学中应当让学生进行充分的探索和交流。如大正方形的边长a是什么数，教师应引导学生
15、充分进行交流、讨论与探索等数学活动，从中感受无理数引入的必要性，并体会无限不循环的过程；再如二次根式的相关运算规律，在教学过程中应让学生经历从具体问题到一般规律的探索过程，鼓励学生借助计算器等工具进行探索、猜测、验证，并用自己的语言清楚地表达。（3）注意运用类比的方法，使学生清楚新旧知识的区别和联系7年级时，学生已经学习过有理数的有关概念和运算，本章将学习实数的有关概念及运算，在这些概念、运算律、运算法则的教学中，应加强类比教学，通过新旧知识的类比、对比，认识新旧知识的区别和联系，促进知识系统的建构与完善。如实数的相反数、绝对值等概念是完全类比于有理数建立起来的，运算律和运算法则也是通过类比得
16、出的。此外，本章立方根的学习也可以类比平方根的学习。（4）准确把握有关运算的定位与要求本章有很多运算，对于计算的评价，首先要严格按照课程标准的要求，定位准确。如，课程标准对于二次根式的运算没有提出一般的有理化分母的要求，教学中注意准确把握课程标准的要求。此外，不能过分要求技巧，应关注学生对运算法则的理解，能否根据问题的特点，选择合理、简便的算法；能否依据算理正确地进行计算；能否确认结果的合理性等等；对于较复杂的实数运算，关注学生是否会使用计算器进行运算。（三）第3章：位置与坐标设计思路与课时安排 “图形与坐标”是“图形与几何”的三个重要组成部分之一，它是发展学生的空间观念的重要载体。作为第一、
17、二学段“图形与位置”的发展，本章是第三学段“图形与坐标”的主体内容，将引领学生感觉确定物体位置的多样性、抽象出平面直角坐标系，进而形成利用平面直角坐标系确定图形的位置，并将从坐标的角度描述学习过的图形变化（如轴对称），进一步认识轴对称。同时，平面直角坐标系将是表示有关变量之间的关系的重要工具，因此本章是本册下一章“一次函数”学习的重要基础。本章首先结合学生的生活实际，选择了丰富多彩、形式多样的确定位置的现实背景，力图使学生感受平面上确定位置的共同特征：不管用什么方法确定位置，都需要二个数量；然后，通过实际背景，认识确定位置的一个常用方法，引入平面直角坐标系，建立直角坐标系中的点与坐标之间的一一
18、对应关系，学习根据坐标描出点的位置、由点的位置写出它的坐标，同时能主动建立坐标系刻画图形上各点的位置；最后，在同一个直角坐标系里，探索图形的变化（轴对称）与坐标的变化之间的关系，从而揭示坐标的变化与图形轴对称变化之间的关系。教学与评价建议(1)结合实际创造性地选用现实题材进行教学教学中要立足于学生的生活经验和已有的数学活动经验，创造性地选用现实生活中有关题材，丰富教学内容。生活中，确定位置的方法是多样的，即有点定位、区域定位、极坐标定位、直角坐标系的定位等，教材从学生熟悉的情境出发，选取了“电影院中找座位”、“航海中找目标”、“地图上确定城市”等素材，但教学尚需要教师一定程度的再创造。教学中教
19、师既可以利用教材上已有的题材，也可以根据本地的生活实际和学生的认知实际，选取更为贴近学生的教学素材（如确定学校的位置、校园中旗杆的位置、学生在班级的位置等），鼓励学生用自己的方式来确定位置。(2)恰当把握教学重点与要求 教学中应充分经历确定物体位置的活动过程，在过程中体会到：不管用什么方法来确定一个物体在平面上的位置，都需要两个数据。要引导学生理解坐标变化与轴对称之间的联系，形成对图形变换的整体认识，进一步发展学生的数形结合意识、空间观念、建立几何直观。(3)要恰当运用丰富的教学手段本章的教学需要大量的坐标纸、地图等材料，事前的准备是必需的。同时，建议有条件的地区使用计算机进行动态演示，以保证
20、教学的效果。（四）第4章：一次函数设计思路本套教科书对于函数的处理是循序渐进螺旋上升的。具体地，在七年级上册设计了“字母表示数”一章，旨在让学生体会字母表示数的必要性，从而引入代数式及其简单运算，同时，该章还有一个重要目标，就是能结合具体情境列出相应的代数式，实质上这里已经渗透了初步函数思想，因为这里所列代数式实际上就是函数对应值的数学表达式，只是没将函数值对应的量用字母表示出来而已。此外，该章设计了很多情境，通过列表、数值转换机等多种形式让学生体会变量之间的对应关系。在七年级下册设计了“变量之间的关系”一章，通过大量贴近学生生活的丰富实例，让学生体会变量之间相依关系的普遍性，感受学习变量间关
21、系的必要性，并通过列表、解析式、图象几种方式呈现变量之间的关系，从多方面感知变量间关系，揭示其本质，同时也暗示函数的三种表示方式。正是有了七年级的铺垫，本章继续通过变量间关系的考察,让学生初步体会函数的概念,明确变量之间的这种关系就是函数关系，并进一步研究其中较为简单、应用广泛的一种函数一次函数。我们希望通过解剖一次函数这一“麻雀”，使学生了解函数的有关性质和研究方法，并初步形成利用函数的观点认识现实世界的意识和能力。本章教科书设计中，进一步体现了“问题情境建立数学模型解释拓展与应用”的模式，让学生从实际问题情境中抽象出函数以及一次函数的概念，并进而探索出一次函数及其图象的性质，最后利用一次函
22、数及其图象解决有关现实问题；同时遵循由特殊到一般、由简单到复杂的研究思路，在研究一般的一次函数前，先研究正比例函数，并阐明了特殊的正比例函数与一般的一次函数之间的联系与区别。不仅如此，与以往不同的是，突出了对一次函数y=kx+b中k与b意义的认识，并让学生经历由一次函数表达式到图象，又由图象到表达式的过程，体会数形结合的思想方法。在具体内容的呈现上，教科书力求为学生提供生动有趣的问题情境，提供观察、操作、交流、归纳等数学活动，在活动中加深学生对数学知识的理解，发展学生的数学思维；在新知的导入上，既注重了与学生生活实际的联系，又注意了新旧知识的联系，在新旧知识的比较与联系中，促进了学生新的认知结
23、构的建立与完善。如在“函数”的设计中，注意了与七年级下册“变量之间的关系”一章的联系；在“一次函数”的设计中，加强了一次函数与一次方程的联系等。与此同时，教科书有两个方面的变化也应当引起教师的注意：一是在“函数”与“一次函数的应用”中，结合实际问题情境，增加了自变量取值范围的内容，使得学生对函数有了更全面的认识，这也是课标的新增要求；二是结合“一次函数的应用”中的实际问题，强化了对一次函数模型中一次项系数的实际意义的认识，这样，既增进了对数学的理解，也增进了解决实际问题的能力。此外，教科书注重了学生形象思维能力的培养。形象思维能力是数学思维能力的一个重要方面，而加强数形结合的教学是培养学生形象
24、思维的一个重要渠道。但在传统教学中，较为强调函数的代数表达式这一“数”的特征，而相对弱化了其图象这一“形”的特征，学生的识图、用图的能力较弱，数形结合的意识较为薄弱。为此，教科书第5节“一次函数的应用”，设计了大量活动，让学生通过图象获取信息（识图），并解决有关问题，培养学生的数形结合能力，发展形象思维能力。教学与评价建议（1）加强一次函数新旧知识的联系，促进学生新的认知结构的建构教材中，注意了函数与变量之间的关系的联系、一次函数与一次方程的联系、“数”与“形”的联系，教学中要注意加以体会与实施。（2）充分挖掘结合学生生活实际的素材，加强数学与现实的联系，让学生体会数学的广泛应用一次函数是刻画
25、现实世界变量间关系的最为简单的一个模型，其应用比比皆是。如有关计时的漏刻、沙漏、日晷、钟表等，计重的天平、弹簧秤、杆秤以及测量气压、血压、温度等的有关仪器，它们都是应用一次函数的很好实例。教材中设计的例习题多数具有现实生活背景，力求让学生体会数学的广泛应用。但在教学中，教师仍应结合本地本校学生的生活实际和认知状况，选择更为贴近学生生活实际和认知水平的教学素材，促进新的认知结构的建构和数学应用能力的发展。此外，在具体问题情境的选择上，除了关注问题情境的现实性，也应努力渗透一定的教育性。如第2节的“手机话费问题”、第5节的“公司销售收入和销售成本问题”以及其他一些例、习题都具有较为浓厚的经济色彩，
26、也是希望渗透一定的“经济意识”，而第5节“水库蓄水问题”配图中干涸的河床势必给学生一个很强的视觉刺激，旨在培养学生良好的环保意识。（3）关注学生对基本知识技能的掌握情况和应用一次函数解决问题的意识的提高状况。教学中，可要求学生举例以阐述自己对基本知识的理解和对基本技能的掌握情况，并根据学生所举的实例分析学生认知状况和应用一次函数解决问题的意识和能力水平。，如可以要求学生自主寻找有关一次函数的现实背景，并在实际背景中揭示相应的一次函数的系数k,b的具体含义。（五）第5章：二元一次方程组设计思路在总体设计思路上，本章与前面的一元一次方程类似，强调建模思想，关注知识的形成与应用过程。为此，教科书设计
27、继续遵循“问题情境建立模型解释、拓展与应用”的模式，首先通过具体问题情境，建立有关方程并归纳出的二元一次方程和二元一次方程组的有关概念，然后探索其各种解法，并在现实情境中加以应用，切实提高学生的应用意识和能力。具体地，第1节通过丰富的实例，建立二元一次方程和二元一次方程组，让学生观察归纳出二元一次方程和二元一次方程组的有关概念，并从中体会方程的模型思想；第2节，顺理成章地给出现实问题的解答，进而通过具体方程总结出二元一次方程组的两种基本方法代入消元法、加减消元法；第35节再次通过几个问题情境，进行列二元一次方程组解决实际问题的训练。这样，一方面在列方程的建模过程中，强化了方程的模型思想，培养了
28、学生列方程解决现实问题的意识和能力，另一方面，将解方程的技能训练与实际问题的解决融为一体，在实际问题的解决过程中提高学生的解题技能；第6节，通过对二元一次方程、二元一次方程组与一次函数关系的讨论，建立方程与函数的联系，引导学生从“图形”的角度看待二元一次方程和二元一次方程组，并利用二元一次方程组确定一次函数的表达式；最后，作为选学内容，介绍三元一次方程组的基本解法。教学与评价建议（1）注重学生的活动，鼓励学生的自主探索与合作交流学生已经具备列一元一次方程解决实际问题的经验基础，因而，学生应有能力经过自主探索和交流列出二元一次方程组，解决简单的实际问题。在教学中, 教师应放手让学生经过自主探索列
29、出二元一次方程组，解决简单的实际问题，并可引导学生思考列方程组时如何寻求等量关系。（2）注重设置丰富的问题情境，让学生经历模型化的过程列出二元一次方程组解决简单的实际问题，是第三学段代数教学中的一个重要内容，是数学联系实际的一个重要方面。通过这个内容的学习，可以使学生接触诸多现实问题，进一步培养学生分析问题、解决问题的能力。因而，方程教学首先应关注方程的建模过程。教科书第一课时的目的就是想通过对多种实际问题的分析，让学生感受方程是刻画现实世界的有效模型，教学中应让学生从具体实例出发，经历模型化的过程，并在此基础上抽象出数学概念。当然，教师应根据学生的生活实际和认知实际，创设更为丰富、贴近学生生
30、活的现实情境，并引导学生分析其中的数量关系，建立方程模型。此外，在解方程与应用中也应更多地关注学生的建模过程，关注学生能否顺利地列出正确的二元一次方程组。如可向学生提出像“题目中的已知量、未知量是什么”“各个量之间的关系是什么”的问题，提高学生解决实际问题的一般性策略。当然，对于较为复杂的问题，教师还可以给予进一步的指导或进行适当的分解，如“里程碑上的数”一节中，对于里程碑上数的表示和其中一个等量关系：“12:0013:00间汽车行驶的路程=13:0014:00间汽车行驶的路程”的获得，学生可能有些困难，为此教材通过填空的方式将问题进行了分解，教学中，教师可以组织学生进行适当的讨论，但不管怎样
31、，指导的前提是学生存在了认知障碍。（3）注意化归思想的渗透代入消元法和加减消元法都是解二元一次方程组的基本方法，其本质是“消元”。“消元”体现了数学学习和研究中“化未知为已知”的化归思想，而且它在未来学习多元方程组、多元函数的条件最值等知识时具有广泛的应用。因此在教学中，教师应引导学生分析出解二元一次方程组的本质是消元，即把“二元”转化为“一元”，并鼓励学生用自己的语言概括解方程组的主要步骤。在讲完二元一次方程组的两种解法后，应引导学生作一小结比较这两种方法的差别与联系，体会“消元”的本质，而不要过于强调“代入”和“加减”这两种具体技巧，更不要根据方程的特征对这两种方法进行分类选用。（4）关注学生列方程解决实际问题的意识的提高状况。教学中，可要求学生自主地观察生活实际，并据此编制有关应用问题，并从学生所编制的应用问题中评判其应用意识的水平。（六）第6章：数据的分析设计思路在七年级学生已经经历过一些数据收集的过程，并对数据进行了初步的整理，能用适当的图表将处理结果表示出来。但是在现实生活中，人们不仅要收集数据，更要对收集到的数据进行加工处理和分析，进而作出评判。应该说，一个
