1、第四章金融资产定价理论第四章金融资产定价理论本章概述金融资产视为未来不确定现金流的载体，因此金融工程的核心是资产定价, 资产定价理论可以分为绝对定价和相对定价两种思路。绝对定价的思路是在效 用上寻 找与不确定现金流无差异的确定性现金流，本章在学习期望效用的基础 上，给出了绝对定价的基本框架。而相对定价的思路则是给岀金融资产相互之 间价格的关系。在无套利均衡意义下，绝对定价和相对定价可以统一在一起。进一步，本章还讨论了在动态环境下的金融市场，初步介绍了如何将两期 环境的金融问题扩展到动态环境。笫一节定价的一般框架与绝对定价1.1效用与定价一、 期望效用未来有种状态，金融资产Z未来的不确定现金流及
2、其相应的客观发生概 率为：二倣,口）二。则该金融资产带来的效用可用期望形式表达为：臥）= !讥昭二也（初i其中（） RI *为von Neumann -Morgens tern效用函数。一般的，我们假设讥）具有单调递增的性质，也即对待财富是一种“多多益善”的态度。二、 确定性等值与价格如果存在某个确定性的现金流歹使得其带来的效用与金融资产L的期望效 用相等，即恥（刚*妙），则称伊为Z的确定性等值。如果考虑效用在时间上的贴现，则确定性等值就是当前为了得到未来的不 确定现金流而支付的价格，也即f二萨恤k矽）（其中Q为效用的贴现率。1.2风险溢价一、对待风险的态度与效用函数凹性面对一个不确定性现金流
3、，投资者如果更加偏好其期望值，也即投资者接 受公平赌博的结果，那么称其为风险规避的，也即丘卜（瞬上応附1其中 粛（励。在图4-1中，我们以 = 阿=附-= 1= W + sfp2 = V2）为例,可以看出,效用函数讥） 为凹函数时，投资者是风险规避的。此外，如果童卜（瞬炉），则称其为严格风险规避，对应效用函数 必）为严格凹函数；如果卫卜（瞬上応於），则称其为风险喜好，对应效用函数 讥，）为凸函数：如果环臥瞬b応妙），则称其为风险中性，对应效用函数臥） 为仿射函数，即以炉）二肿+3。图4-1函数的凹性和对待风险的态度二、风险溢价风险溢价就是金融资产未来现金流的期望值减去其确定性等值，用以补偿称为
4、风险中性；当乳落）兰时，称为风险喜好。如果考虑效用在时间上的贴现，屎）抄-心岬it驰（初）L记 讲的净收益率为尸二乳瞬/列，或者分解为广二&十“。其中孑为无风险收益率, 与以）的凹性和效用的贴现率Q有关：有时我们也把G称为风险溢价。根据以上关系可以得到，WW=E 一-一 +弓f1.3绝对定价一、定价的一般公式金融资产未来的现金流分成T期支付，如图4-2所示。图4一2在效用具有时间上的加法可分性的条件下，根据上式，对笫i期（i二1、T） 现金流的定价为：C点能玄）（1+帝+尸肿rw其中，G表示第i期现金流大小，或表示第i期现金流的不确定性因素;表示儿何平均方式年化以后的i期的无风险收益率，具体含
5、义在第五章利率理论部分详细介绍：厂话表示第i期的不确定现金流简对应的年化以后的风险溢价。另一方面，第i期的不确定现金流可以采取迭代贴现的方式，也即按照1+0+0的收益率折现到笫i-1期，再按照1+於 H的收益率折现到第 i-2期，依次类推一直到当前，也即:C也口（1+沪+泸）f-1-i达的信息影响，因此都是随机的。详细分析见本章第三节。 金融资产的价格为各期现金流半前价格的叠加，也即:P二另召二Ei-L-r，幺口（1+尹+讲）2.债券定价、股票定价和衍生品定价在金融学、金融市场学、投资学等课程中，我们学习过债券定价模型和股 票定价模型。这些模型都可以统一到这个绝对定价框架下。对于主权债，比如国
6、债，G为常数，即票面值和息票率的乘积，G还加 上票面值，但是没有违约风险，因此可=1。故国债要求的风险溢价耳”二0。对于 非主权债，比如企业债和市政债券等，存在违约风险，因此勺往1,故企业债需 要有一定的风险溢价，称为信用价差。对于股票，不确定性因素更多。首先终期T是不确定的，现金流支付时间 也是不确定的，以及影响现金流支付数量的因素可也是不确定的，等等。因此 股票要求有风险溢价耳”，资本资产定价模型(CAPM)就是给这个风险溢价进行 定价的理论。由于影响股票未来现金流的不确定性因素太多太复杂，一般我们 釆取比较简单的定价模型，就是公司财务中学过的股利贴现模型(Dividend Discoun
7、t Model, DDM)。对于衍生品定价，山于衍生品的现金流通常可以山基础金融资产复制出来, 因此更多的采取相对定价方法。但是同样也可以类比其绝对定价模型。第二节无套利均衡与相对定价2.1套利机会与无套利定价法则一、套利机会与一价法则市场有三种金融资产，未来可能出现两种状态，收益矩阵如下45-2587三种金融资产的价格向量为：1,5, 3,这个市场的价格体系是否合理? 构建三种金融资产的头寸为al, a2, &3使得未来现金流为0,也即-2解得,而该头寸X前的现金流为a-1 5 3上二农1 5513 -38 二 11 欧 H 07可见，存在着某种金融资产组合使得未来现金流为0,而当前现金流不
8、为0, 这是一种套利机会。投资者可以持有51单位资产一的多头，38单位资产二的 空头，和7单位资产三的多头，即可以得到当前118元的获利。金融市场要实现无套利机会，未来现金流相同的金融资产组合必须有相同 的价格，或者未来现金流为0的组合，当前现金流必须为0o这就是一价法则, 又称为线性定价法则，是金融工程等价复制原理的核心。对于一价法则，我们需要从三个层次来理解：第一，考虑跨市场交易成本 后，同种资产在不同市场必须同价；第二，齐次性，即没有规模经济或规模不 经济，批发价和零售价相同；第三，加法可分性，即没有范圉经济或范圉不经 济，没有上市公司的收购或兼并。二、套利机会与正定价法则同上例，三种金
9、融资产的价格向量为：1,5,139/7,价格体系合理吗？ 同样，构建三种金融资产的头寸为al,a2, a3使得未来现金流为0,该组 合当前现金流为，的 51_-1 5 139/7 a2 二北1 5 139/7-38 =0UJ b_也即第三种金融资产可以曲前两种复制，故可剔除，只考虑前两种资产的 价格体系。构建两种金融资产的头寸为al, a2使得未来第一种状态下现金流为b第 二种状态下现金流为0,也即解得,山线性定价法则知道，该头寸当前的现金流为可见，存在着某种金融资产组合使得未来现金流大于等于0,而当前现金 流也大于等于0,这是一种套利机会。投资者可以持有8/7单位资产一的多头, 5/7单位资
10、产二的空头，即可以得到当前17/7元以及未来在状态一情况下1元 的获利。金融市场要实现无套利机会，未来现金流大于0的金融资产组合，其当前 现金流必须小于0,这就是正定价法则。正定价法则表明，金融市场无套利均衡下，内在价值相对高(表现为未来各种状态的现金流)的金融资产应该有相 对高的价格。金融资产就是一种当询现金流净流出和未来现金流净流入之间的 平衡关系，在正定价法则中也得以体现。这个平衡关系怎么确定，就由绝对定 价方法中的效用等价来决定，依赖于效用函数的凹性和效用的贴现。三、无套利定价与期权二叉树定价我们可以通过期权二叉树定价来理解无套利均衡的思想和方法。在下例中, 股票和期权未来现金流有两种
11、状态，分别是上涨U和下跌do期权未来现金流用随机变量厂表示，当前价格为C,股票未来现金流用随 机变量S表示，当前价格为S。假设1单位的期权多头，可以用h单位的股票 空头对冲风险。根据一价法则，无套利均衡条件为：C-h = BeyAt (1),且 C 应S = g (2)未来上涨和下跌两种状态，期权和股票组合风险实现对冲，因此有C厂应=8严Cd-kdS=Berht山两式可解得，(u-d)代入(2)得，严仗叭假如期权下期行权，其未来现金流为:G 二 max（曲-Xfi）=（沙-, Cd 二 max（ dS - X, 0）二（於- *此为期权定价的边界条件。_-d令u-d ,代入(2)得,_严_ d
12、进一步的，我们可以对q 进行讨论。第一，如果d0,并且 1-Q0o q与这样的资产组合的价格有关，及上涨惜况下得到1单位现金流，下 跌情况下得到0； 1-q则与上涨情况下得到0单位现金流，下跌情况下得到1的 资产组合的价格有关。2.2状态价格定价与风险中性定价一、状态价格与定价状态价格指的是在特定的状态发生时回报为b否则回报为0的资产在当 前的价格，这种资产学术上称为Arrow-Debru证券。如果未来时刻有种状态，而这种状态的价格我们都知道，那么我们只 要知道某种资产在未来各种状态下的回报状况以及市场无风险利率水平，我们 就可以对该资产进行定价，这就是状态价格定价技术。考虑二叉树情况下，基本
13、证券1在证券市场上升时价值为1,下跌时价值 为0；基本证券2恰好相反，在市场上升时价值为0,在下跌时价值为1。UPdP基本证券1现在的市场价格是HU,基本证券2的价格是nd,分别被称为 上升状态的价格和下降状态的价格。根据无套利原理，复制品和被复制对象现在的市场价格应该相等：P=uP n u+dP 兀 d即 u 31 u+d 3T d=lo基本证券的组合是无风险的投资组合，其收益率应该是无风险收益率r,于 是便有：叫+检之畝5联立方程可解得：1必心 如一心)1从中可以看出，和H d分别对应前面提到的q和l-q。二、 资产定价第一基本定理有限状态情况下，金融市场无套利机会的充分必要条件是，存在一
14、组正的 状态价格:nl, n2，-, nN,使得对于任何金融资产:P1,P2，-, PN,其 当前价格P可以表达为：戸二眄E +花爲+ .+巧禺注意到：开1 4隔+.+怎二。72)资产定价笫一基本定理可以向无穷状态情况的扩展，只需要对无套利均衡 的定义做一些数学上的修正。三、 风险中性概率与定价在对未来现金流定价时，我们可以假定所有投资者都是风险中性的。在所 有投资者都是风险中性的条件下，所有证券的预期收益率都可以等于无风险利 率r,这是因为风险中性的投资者并不需要额外的收益来吸引他们承担风险。 这就是风险中性定价原理。曲于在市场无套利均衡下，状态价格大于0,因此可以由状态价格定义风 险中性概
15、率为：进一步山资产定价基本定理可以得到金融资产的风险中性定价方法:P 二g 1* + 込+ + 伽鸟)=h転(戸)其中丫)表示在风险中性概率下求期望。风险中性概率可以理解为一种主观概率，是各种状态的客观概率经过投资 者边际效用替代率调整以后得到的概率。因此风险中性概率的分布受到投资者 效用函数的影响，在这里笫一节的绝对定价思想和相对定价思想统一为一体。第三节动态金融市场中的信息、套利与市场有效性3.1金融变量跨时演变的数学模型简介金融中的随机过程随机过程是指某变量的值以某种不确定的方式随时间变化的过程。根据时 间和变量，随机过程可以分为时间连续变量连续型随机过程、时间连续变量离 散型随机过程、
16、时间离散变量连续型随机过程、时间离散变量离散型随机过程。 金融中的随机过程是一种马尔可夫随机过程(Markov Stochastic Process)。在马氏过程中，只有变量的当前值才与未来的预测有关，变量过去的历史 和变量从过去到现在的演变方式与未来的预测无关。如果金融变量遵循马尔可夫过程，则其未来值的概率分布只取决于该变量 现在的值，且具有某些时序特征。一般用布朗运动或者维纳过程描述。设4上代表一个小的时间间隔长度，力2代表变量z在时间内的变化，则 标准维纳过程是标准正态分布在时间上的演进，满足以下两个特征：特征一：对于任何两个不同时间间隔4 r, 的值相互独立。特征二：Z1N和的关系满足
17、：也丸臥当4L0时，就可以得到极限的标准维纳过程：此=五标准布朗运动的漂移率为0,方差率为1。漂移率(Drift Rate)是指单位 时间内变量z均值的变化值。方差率(Variance Rate)是指单位时间的方差。 方差率也称为扩散率(D辻fusion Rate),反映变量的波动性。如果我们令漂移率的期望值为/方差率的期望值为b2,就可得到变量x 的普通布朗运动：dx = adt bdz o二、Ito过程与Ito引理普通布朗运动假定漂移率和方差率为常数，若把变量X的漂移率和方差率 当作变量x和时间t的函数，可以得到伊藤过程(Ito Process):Ito过程是非常重要的随机过程，在金融中有
18、广泛的应用。若变量x遵循伊藤过程，则变量x和t的函数G（x, t）将遵循如下过程:这个结论称为Ito引理，是衍生产品定价的基础。三、 金融变量的分类在统计学中，我们学习过各种经济变量的分类。在金融中，我们对金融变 量的分类也类似与统计学中，但是乂要反映金融的特点。一种分类思路是将金 融变量分 为：指标变量和比率变量。对于指标变量，比如价格、货币供应量等; 对于比率变量，比如利率、通胀率、收益率、就业率等。此外，对金融变量的 还有另一种分类 思路，即分为时点量（存量）和时期量。对于时点量，比如货 币供应量等；对于时期量（增量），比如证券交易量。通常情况下，时点量是 某个时期量在时间上的累积。金融
19、变量随着时间的演变，也即金融随机过程一般可以分为扩散运动和平 稳运动。扩散运动变现为金融变量随着时间的推进呈现越来越大的趋势，也即 一种发散 形态。指标变量和很多存量的运动表现为扩散运动，通常其经过差分 或微分（通常一阶）可能成为平稳运动。而平稳运动表现为金融变量随着时间 的推进而趋向于某个有限值，也即一种收敛形态。比率变量的运动表现为平稳 运动。四、 儿何布朗运动和均值回复运动在数学上，通常用儿何布朗运动描述扩散运动，比如股票价格用下列随机 过程描述,即,而通常用均值回复运动描述平稳运动，比如利率用下列随机过程描述，即,、 ydr = k一 + ar dz五、信息冲击与金融变量的跨时演变前面
20、对金融变量的描述，一般假定漂移率（反映金融变量期望值的跨时演 变）和扩散率（反映金融变量波动性的跨时演变）都是时间恒定的。实际中， 山于金融市场不断有新的信息到达，金融变量未来的期望值和波动性也会因为 新信息而发生改变，漂移率和扩散率也会随着时间而发生变化，其至是随机的。 以股票价格为例，其变化将满足下列随机过程，即：在很多情况下，漂移率的变化用均值回复过程来描述，即：和=k一小心+ 口必此外，可能山于新到达的信息量非常大，对金融变量形成一个冲击，金融 变量将发生一个跳跃，通常引入泊松过程来描述这个跳跃。以股票价格变动为 例，dS = jLiSdt+(7 Set + (7 -1) Sdq其中的
21、勿为泊松过程，定义为：7 ( 0,概率 1 q= (1,概率加六、波动性的动态过程对于随机波动率的一般模型通常为：dS = /LiSdt + bSdz、da = +由于这个模型的适用性不强，现在金融实证研究一个广泛使用的波动率模 型是广义自回归条件异方差模型(GARCH)。GARCH模型乂可以分为多种，其中 最常见的是GARCH(1, 1)模型：元=rr + 1二 + p(J ti其中V、心和Q都为常数，且0=7厂，/为恒定的长期平 均股票方差率。/血7 ,即n时刻收益率对收益率均值的离差，可以看作 是关于方差率的最新信息。从式中可以看出，该模型意味着在n时刻的方差率或是三个因素的加权 平均：
22、恒定的长期平均方差率卩、前一时期的方差率或“和关于方差率的最新 信息乩。由于曲只建立在最新一期乱和估计值的基础上,因而被称为 a GARCH(1, 1)。更一般的GARCH(p, q)模型则从最近p期的刃和最近q期的 信 息中估计方差率。3.2金融市场的信息和交易、三类信息在金心前场上可以获得的信息集根据其公开程度可以区分为：历史价格信 息、基本面信息和内幕信息。历史价格信息和基本面信息构成公开信息，公开 信息和内幕信息构成所有信息，是最大的信息集合。投资者历史价格信息的分析就是证券投资中的技术分析，对基本面信息的 分析就是证券投资中的基本面分析。二、 三种市场有效性根据价格反映的信息集不同，
23、市场有效性假说分为弱式有效、半强式有效 和强式有效。弱式效率市场假说认为，证券价格变动的历史不包含任何对预测 证券价格未来变动有用的信息，也就是说不能通过技术分析获得超过平均收益 率的收益。半强式效率市场假说认为，证券价格会迅速、准确地根据可获得的所有公 开信息调整，因此以往的价格和成交量等技术面信息以及已公布的基本面信息 都无助于挑选价格被高估或低估的证券。强式效率市场假说认为，不仅是已公布的信息，而且是可能获得的有关信 息都已反映在股价中，因此任何信息（包括“内幕信息”）对挑选证券都没有 用处。三、 知情交易者、流动性交易者和噪音交易者金融市场有效的一个必要条件是市场上必须有知情的交易者。
24、从资产定价 原理看，不同交易者获得不同的信息，表现为对未来不确定现金流概率分布的 认识不同，或者有不同的偏好，交易者对同样的资产有着不同的估值。山于获 得了更为准确的信息而得出更合理估值的交易者就是知情交易者。那些根据公 开信息进行估值 的交易者就是流动性交易者，其交易完全是山于偏好的差异。列外还有一类交易者称为噪音交易者，这类交易者往往是基于短期走势对 价格做出估计，往往扩大价格短期的波动性。3. 3金融市场的套利一、 套利和市场有效性套利是是有效市场的必要条件，是保证各种金融产品（如现货、远期、期 权和互换）、各种期限结构（如即期利率期限结构、远期利率期限结构、附息 票债券到期收益率期限结
25、构、远期汇率期限结构等）、各地金融市场保持高度 相关性的重要途径和力量。套利是利用资产定价的错误、价格联系的失常，以及市场缺乏有效性的其 它机会，通过买进价格被低估的资产，同时卖出价格被高估的资产来获取无风 险利润的交易策略。套利是市场无效率的产物，而套利的结果则促使市场效率 的提高。市场能够套利的基本假定有：1.没有交易费用和税收；2.套利者可按无 风险利率自由借贷；3.套利者均可按市场中间价格买卖资产。二、 套利交易的种类套利有五种基本的形式：空间套利、时间套利、工具套利、风险套利和税 收套利。最明显和最直观的套利形式是空间套利（或称地理套利），它是指在一个 市场上低价买进某种商品，而在另
26、一市场上高价卖出同种商品，从而赚取两个 市场间差价的交易行为。空间套利是最早的套利形式之一，也是大多数经营活 动的主要形式。时间套利是指同时买卖在不同时点交割的同种资产，它包括现在对未来的 套利和未来对未来的套利。工具套利就是利用同一标的资产的现货及各种衍生证券的价格差异，通过 低买高卖来赚取无风险利润的行为。从前面关于衍生证券定价的分析中，我们 看到各种衍生证券的价格部分或全部取决于标的资产现货价格、利率、期限（或时间）、波动率等变量，当这些变量值已知时，我们就可推导出各种衍生 证券价格之间的关系。工具套利是各种套利形式中最振奋人心的一种。在这种套利形式中，多种 资产或金融工具组合在一起，形
27、成一种或多种与原来有着截然不同性质的金融 工具，这 正是创造复合金融工具的过程。这个过程反过来也成立。一项金融工 具可以分解成一系列的金融工具，且每一个都有着与原来的金融工具不同的特 性，金融工具的组合和分解正是金融工程的主要运用。风险套利是指利用风险定价上的差异，通过买低卖髙赚取无风险利润的交 易行为。根据高风险高收益原则，风险越高，所要求的风险补偿就越多。如果 现实生活中各种风险资产的定价偏离了这个平价关系，就存在风险套利机会。税收套利是指利用不同投资主体、不同证券、不同收入来源在税收待遇上 存在的差异所进行的套利交易。三、套利的局限从理论上讲，套利无需资本，也没有风险。当套利者卖出价格较
28、高的证券, 同时买进价格较低的“相同或本质上相似”的证券时，他就立即获得套利利润（等于买卖价差），而其未来的净现金流一定等于零；或者他在套利时的净现 金流为零，而其未来的净现金流有可能为正。然而，现实生活中的套利往往是有风险的，因此是有局限的。金融市场上 的定价错误大多是山噪音交易者（Noise Trader）造成的。比如，噪音交易者 对于某个资产的价格走势如果持悲观看法，就会大量抛售该资产使其价格走低。 而套利者发现该资产价格相对于与该资产“相同或本质上相似的其他资产的 价格而言被低估了，于是就买进该资产而卖出其他资产进行套利。但该套利在 短期内面临着如下风险：噪音交易者在短期内可能对该资产
29、更悲观，进一步推 低该资产价格，从而使套利组合在短期内面临亏损的危险。特别是当套利被放 大数倍后，价格的不利变动可能使套利组合在短期内发生保 证金不足而被迫平 仓。此外，完美替代品的缺乏也限制了套利。所谓完美的替代品是指替代证券 （或投资组合）的现金流与被替代证券（或投资组合）的现金流完全相同。当 某种证券的价格高于其内在价值时，投资者就可以卖岀该证券，同时买进未来 现金流与之完全相同的证券或投资组合。相反，当某种证券的价格低于其内在 价值时，投资者就 可以买进该证券，同时卖岀未来现金流与之完全相同的证券 或投资组合。这种套利活动从长期看是无风险的。对于期货、期权等衍生证券 来说，通常较容易找
30、到完美的替代品。但在很多情况下，证券现货完美的替代 品是很难找到的。套利者往往只能找到近似的替代品，这就使套利者面临风险。 例如，半套利者发现股票市场的价 格被整体高估时，他找不到股票组合的替代 组合。第四节远期与期货定价4.1远期价格和期货价格的关系一、基本假设和符号（-）基本的假设为分析简便起见，本节的分析是建立在如下假设前提下的：1-没有交易费用和税收。2.市场参与者能以相同的无风险利率借入和贷岀资金。3-远期合约没有违约风险。4.允许现货卖空行为。3.当套利机会岀现时，市场参与者将参与套利活动，从而使套利机会消 失，我们算出的理论价格就是在没有套利机会下的均衡价格。6.期货合约的保证金账户支付同样的无风险利率。这意味着任何人均可 不花成本地取得远期和期货的多头和空头地位。(二)符号本节将要用到的符号主要有：T：远期和期货合约的到期时间，单位为年。t：现在的时间，单位为年。变量T和t是从合约生效之前的某个日期开 始计算的，T-t代表远期和期货合约中以年为单位的剩下的时间。S：标的资产在时间t时的价格。St：标的资产在时间T时的价格(在t时刻这个值是个未知变量)。K：远期合约中的交割价格。f：远期合约多头在t时刻的价值
