1、版数学浙江省学业水平考试专题复习选修215知识点一空间向量的有关概念名称概念表示零向量长度为0的向量0单位向量模为1的向量相等向量方向相同且模相等的向量ab相反向量与向量a长度相等而方向相反的向量a共线向量表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合的向量ab共面向量平行于同一个平面的向量知识点二共线向量、共面向量定理和空间向量基本定理1共线向量定理对空间任意两个向量a，b(b0)，ab的充要条件是存在实数，使ab.推论：如图所示，对空间任意一点O，点P在l上的充要条件是存在实数t，使ta，其中a叫做直线l的方向向量在l上取a，则可化为t.2共面向量定理的向量表达式：pxayb，其中x，yR
2、，a，b为不共线向量，推论的表达式为xy或对空间任意一点O，有xy或xyz，其中xyz1.3空间向量基本定理如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，存在有序实数组x，y，z，使得pxaybzc，把a，b，c叫做空间的一个基底知识点三空间向量的数量积及运算律1数量积及相关概念(1)两向量的夹角已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作a，b，则AOB叫做向量a与b的夹角，记作a，b，其范围是0a，b.如果a，b，那么向量a，b互相垂直，记作ab.(2)两向量的数量积已知两个非零向量a，b，则|a|b|cosa，b叫做a，b的数量积，记作ab.即ab|a|b|cosa，b2空间向量数
3、量积的运算律(1)(a)b(ab)；(2)交换律：abba；(3)分配律：a(bc)abac.知识点四空间向量的坐标运算设a(a1，a2，a3)，b(b1，b2，b3)，则：(1)ab(a1b1，a2b2，a3b3)(2)ab(a1b1，a2b2，a3b3)(3)a(a1，a2，a3)(4)aba1b1a2b2a3b3.(5)若a，b为非零向量，则abab0a1b1a2b2a3b30.(6)若b0，则ababa1b1，a2b2，a3b3.(7)|a|.(8)cosa，b.(9)若A(a1，a2，a3)，B(b1，b2，b3)，则(b1a1，b2a2，b3a3)，dAB|.知识点五立体几何中的向
4、量方法1直线的方向向量与平面的法向量的确定(1)直线的方向向量：在直线上任取一非零向量即可作为它的方向向量(2)平面的法向量可利用方程组求出：设a，b是平面内两不共线向量，n为平面的法向量，则求法向量的方程组为2用向量证明空间中的平行关系(1)设直线l1和l2的方向向量分别为v1和v2，则l1l2(或l1与l2重合)v1v2.(2)设直线l的方向向量为v，与平面共面的两个不共线向量为v1和v2，则l或l存在两个实数x，y，使vxv1yv2.(3)设直线l的方向向量为v，平面的法向量为u，则l或lvu.(4)设平面和的法向量分别为u1，u2，则u1u2.3用向量证明空间中的垂直关系(1)设直线l
5、1和l2的方向向量分别为v1和v2，则l1l2v1v2v1v20.(2)设直线l的方向向量为v，平面的法向量为u，则lvu.(3)设平面和的法向量分别为u1和u2，则u1u2u1u20.4空间向量与空间角的关系(1)设异面直线l1，l2的方向向量分别为m1，m2，则l1与l2所成的角满足cos |cosm1，m2|.(2)设直线l的方向向量和平面的法向量分别为m，n，则直线l与平面所成角满足sin |cosm，n|.(3)求二面角的大小如图所示，AB，CD是二面角l的两个面内与棱l垂直的直线，则二面角的大小，如图所示，n1，n2分别是二面角l的两个半平面，的法向量，则二面角的大小满足cos c
6、osn1，n2或cosn1，n2题型一空间向量及其运算例1已知空间中三点A(2,0,2)，B(1,1,2)，C(3,0,4)，设a，b.(1)求向量a与向量b的夹角的余弦值；(2)若kab与ka2b互相垂直，求实数k的值解(1)a(1,1,0)，b(1,0,2)，ab1(1)10021.又|a|，|b|，cosa，b，即向量a与向量b的夹角的余弦值为.(2)kab(k1，k,2)，ka2b(k2，k，4)，(kab)(ka2b)(k1，k,2)(k2，k，4)(k1)(k2)k282k2k100，k或k2.感悟与点拨(1)空间向量的运算法则及求解思想与平面向量相同，因此，可参照平面向量的运算法
7、则和求解思想进行处理(2)空间向量的问题可通过坐标运算和非坐标的线性运算两种途径来处理，另外，要抓住垂直与平行两种特殊位置关系跟踪训练1(1)(2018年4月学考)在三棱锥OABC中，若D为BC的中点，则等于()A. B. C. D. (2)(2016年4月学考)已知空间向量a(2，1,5)，b(4,2，x)(xR)，若ab，则x等于()A10 B2 C2 D10(3)已知向量a(1,2,3)，b(x，x2y2，y)，并且a，b同向，则x，y的值分别为_答案(1)C(2)C(3)1,3解析(2)ab，ab2(4)(1)25x0，得x2.(3)ab，解得或当时，ab，不符合要求，舍去，当时，ab
8、，符合要求，题型二利用空间向量证明平行与垂直例2如图所示，已知在直三棱柱ABCA1B1C1中，ABC为等腰直角三角形，BAC90，且ABAA1，D，E，F分别为B1A，C1C，BC的中点求证：(1)DE平面ABC；(2)B1F平面AEF.证明(1)如图建立空间直角坐标系Axyz，令ABAA14，则A(0,0,0)，E(0,4,2)，F(2,2,0)，B(4,0,0)，B1(4,0,4)设AB的中点为N，连接CN，则N(2,0,0)，C(0,4,0)，D(2,0,2)，(2,4,0)，(2,4,0)，DENC，又NC平面ABC，DE平面ABC，DE平面ABC.(2)(2,2，4)，(2，2，2)
9、，(2,2,0)(2)22(2)(4)(2)0，(2)222(4)00.，即B1FEF，B1FAF，又AFFEF，AF，FE平面AEF，B1F平面AEF.感悟与点拨(1)用向量证明线面平行的方法：证明该直线的方向向量与平面的某一法向量垂直；证明该直线的方向向量与平面内某直线的方向向量平行；证明该直线的方向向量可以用平面内的两个不共线的向量线性表示(2)用向量证明垂直的方法：线线垂直：证明两直线所在的方向向量互相垂直，即证明它们的数量积为零；线面垂直：证明直线的方向向量与平面的法向量共线，或将线面垂直的判定定理用向量表示；面面垂直：证明两个平面的法向量垂直，或将面面垂直的判定定理用向量表示跟踪训
10、练2在四棱锥PABCD中，PD底面ABCD，底面ABCD为正方形，PDDC，E，F分别是AB，PB的中点(1)求证：EFCD；(2)在平面PAD内求一点G，使GF平面PCB，并证明你的结论(1)证明如图所示，以DA，DC，DP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系Dxyz，设ADa，则D(0,0,0)，A(a,0,0)，B(a，a,0)，C(0，a,0)，E，P(0,0，a)，F，(0，a,0)00a00，即EFCD.(2)解点G为AD的中点证明如下：设G(x,0，z)，则.若使GF平面PCB，则由(a,0,0)a0，得x；由(0，a，a)a0，得z0.点G的坐标为，即点G为AD的中
11、点题型三利用空间向量求空间角例3如图，在矩形ABCD中，AB2，AD，M为DC的中点，将DAM沿AM折到DAM的位置，ADBM.(1)求证：平面DAM平面ABCM；(2)若E为DB的中点，求二面角EAMD的余弦值(1)证明由题意知，在矩形ABCD中，AMDBMC45，所以AMB90，即AMBM.又DABM，DAAMA，DA，AM平面ADM，所以BM平面DAM，又BM平面ABCM，所以平面ABCM平面DAM.(2)解由(1)知，在平面DAM内过M作直线NMMA，则NM平面ABCM，故以M为原点，分别为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系，则M(0,0,0)，A(2,0,0)，B(0,2,0)，
12、D(1,0,1)，于是E，(2,0,0)，设平面EAM的法向量为m(x，y，z)，则令y1，得z2，则平面EAM的一个法向量m(0,1，2)，显然平面DAM的一个法向量为n(0,1,0)，故cosm，n，由图知，二面角为锐角，即二面角EAMD的余弦值为.感悟与点拨(1)用向量方法求两条异面直线所成的角，是通过两条直线的方向向量的夹角来求解(2)用向量法求线面角，是通过直线的方向向量和平面的法向量来求解(3)求二面角最常用的方法就是分别求出二面角的两个面所在平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角是锐角还是钝角跟踪训练3(1)如图，在四棱锥PABCD中，四边形ABCD为平行四边形，且BC平面PAB，PAAB，M为PB的中点，PAAD2.若AB1，则二面角BACM的余弦值为()A. B. C. D. 答案A解析因为BC平面PAB，ADBC，所以AD平面PAB，PAAD，又PAAB，且ADABA，AD，AB平面ABCD，所以PA平面ABCD.以点A为坐标原点，分
