1、相似图形提高讲义图形相似线段的比、黄金分割及形状相同的图形知识要点要点1 线段的比(1) 线段的比：在同一单位下，两条线的长度的比叫做这两条线段的比。(2) 成比例线段：四条线段a、b、c、d中，如果a与b的比等于c与d的比，即，那么这四条线段成比例线段，当bc时，有，称b为a与d的比例中项。(3) 比例尺：比例尺图上距离：实际距离（4）两条线段被一组平行线所截的线段成比例。说明：判断四条线段是否成比例，首先要把四条线段的单位化成同一单位，再计算它们的比值来判断，要注意它们的顺序。要点2 比例的性质比例的基本性质： 要点3 黄金分割概念：若点C把线段AB分成两条线段AC、BC (ACBC)，若
2、，我们称线段AB被点C黄金分割，C点为该条线段的黄金分割点，较短线段与较长线段（或较长线段与原线段）的比叫做黄金比。说明：(1)一条线段有两个黄金分割点。黄金分割比是两个线段的比，没有单位；(2) 一条线段黄金分割后，原线段、较长线段、较短线段有其固定关系：若AB1， XS01相似多边形相似三角形及三角形相似的条件知识要点相似多边形要点1 各角对应相等，各边对应成比例的两个多边形叫做相似多边形。相似多边形对应边的比叫做多边形的相似比。说明：(1) 相似多边形的定义既可以看作是相似多边形的性质，又可以看作相似多边形的判定；(2)判定相似的两个条件，一个是各角对应相等，另一个是各边对应成比例；二者
3、缺一不可。相似三角形要点2 三个角对应相等，三条边对应成比例的两个三角形叫做相似三角形。说明：(1) 相似三角形的各角对应相等，各边对应成比例；(2) 两个三角形的相似比为1时，这两个三角形就是全等三角形，故全等三角形是相似三角形的特殊情况；(3) ABC与A/B/C/相似和 ABCA/B/C/的含义有所不同，前者没有指明这两个相似三角形的对应关系，而后者表明了对应关系。 要点3 三角形相似的判别方法方法1：平行于三角形一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似. 方法2：两角对应相等的两个三角形相似；方法3：三边对应成比例的两个三角形相似；方法4：两边对应成比例且夹角相等的两个三
4、角形相似。引申 直角三角形除了具有以上3种判别方法，还有以下方法：一条直角边和一条斜边对应成比例的两个直角三角形相似；斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似。说明：(1) 相似三角形判定的三种判别方法中，“角角”“边边边”用的最广泛。在用“边角边”时要注意，必须是夹“角”的两边对应成比例；(2) 要找准对应边，一般对应角所对的边是对应边，最长的边或最短的边是对应边，公共边一般不是对应边。在找对应角时，公共角、对顶角一般是对应角。相似形的应用、相似多边形的性质、图形的放大与缩小知识要点要点1 测量旗杆高度的三种方法：(1) 方法1：利用阳光下的影子 （如图1） （还可利用结论：同一时刻：）
5、；(2)方法2：利用标杆；（如图2，本方法主要注意人与标杆及被测旗杆应都与地面垂直，故三者平行，由此构造相似三角形）(3)方法3：利用镜子反射（如图3，本方法用镜面反射，由反射角等于入射角，人与被测旗杆与地面垂直）说明：在测量旗杆高度的三种方法中，都是利用三角形相似的知识解决，根据实际情况，构造相似三角形，通过测量三角形的边，利用对应边成比例计算出要求的目标。要点2 相似三角形与相似多边形的性质相似三角形的性质：(1) 相似三角形对应高的比等于相似比；(2) 相似三角形对应角平分线的比等于相似比；(3) 相似三角形对应中线的比等于相似比；(4) 相似三角形周长的比等于相似比；(5) 相似三角形
6、面积的比等于相似比的平方。说明：这里的高线、角平分线、中线必须是对应的。相似多边形的性质：(1) 相似多边形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方；(2) 相似多边形中，对应的三角形相似，相似比等于原多边形的相似比。要点3 位似图形定义：如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应点所在的直线都经过同一点，那么这样的两个图形叫做位似图形。每组对应点所在的直线都经过的点叫位似中心。在已确定的两位似图形中，只有一个位似中心，两位似图形可在位似中心的同侧，也可在位似中心的两侧。两个位似图形的相似比又称为位似比。如图(1)、(2)、(3)、(4)、(5)。位似图形的性质： (1) 对应边的比等于位似比
7、；(2) 周长的比等于位似比，面积的比等于位似比的平方；(3) 位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比。说明：(1) 位似图形一定是相似图形，而相似图形不一定是位似图形；(2)判断两个图形是位似图形，先判断两个图形相似，再看它们的对应点的连线或其延长线是否经过同一点；(3)将一个图形放大或缩小时，位似中心可以在图形内或边上，也可以在图形的顶点上。例题精讲：例1 若，则_。变形1：已知，求及的值。例2 已知x：y：z1：3：5，求的值。变形1：若4x7y5z，2xyz，那么x：y：z（ ） A. 2：1：(3) B. 2：1：3 C. 2：(1)：3 D. 3：2：1变形2：若，
8、且xyz18，求x，y，z。例3 若点C是线段AB的分割点（ACBC），AB16，则AC_，BC_；如果D是线段AB的另一个黄金分割点，则CD_。变形：如果线段上一点P把线段分割为两条线段PA，PB. 当PA2PBAB时，则称点P是线段AB的黄金分割点，现已知线段AB10，点P是线段AB的黄金分割点，如图所示，那么线段PB的长约为（ ） A. 6.18 B. 0.382 C. 0.618 D. 3.82例4、如图，D，E分别为ABC的边AB，AC上一点，且ADEABC，F为AD上一点，且AEFACD，(1) AD2AFAB吗？请说明理由。(2) 若AF4，AB9，求AD。变形：如图所示，已知梯
9、形ABCD，ADBC，若EFBC，且所分成的梯形AEFD和梯形EBCF相似，AD4，BC9，求EF的长。例5、如图XS11所示，在ABC中，ADBC于D，DEAB于E，DFAC于F，试证AEABAFAC。 变形1：如图XS111，ABC中，D为AB上一点，若BDEBAC，则_。变形2：如图XS112，AOBCOD，AC，下列各式正确的有（ ）个；。A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 例6、如图 ZJ26，兴趣小组的同学要测量树的高度，在阳光下，一名同学测得一根长为1m的竹竿的影长为0.4m，同时另一名同学测量树的高度时，发现树的影子不全落在地面上，有一部分落在教学楼的第一级台阶上，测得此影
10、子长为0.2m，一级台阶高为0.3m，如图所示，若此时落在地面上的影长为4.4m，则树高为（ ）A. 11.5m B. 11.75m C. 11.8m D. 12.25m一、选择题1梯形两底分别为m、n，过梯形的对角线的交点，引平行于底边的直线被两腰所截得的线段长为（）（A）（B）（C）（D）2如图，在正三角形ABC中，D，E分别在AC，AB上，且，AEBE，则有（）（A）AEDBED（B）AEDCBD（C）AEDABD（D）BADBCD3P是RtABC斜边BC上异于B、C的一点，过点P作直线截ABC，使截得的三角形与ABC相似，满足这样条件的直线共有（）（A）1条（B）2条（C）3条（D）4
11、条4如图，ABDACD，图中相似三角形的对数是（）（A）2（B）3（C）4（D）55如图，ABCD是正方形，E是CD的中点，P是BC边上的一点，下列条件中，不能推出ABP与ECP相似的是（）（A）APBEPC（B）APE90（C）P是BC的中点（D）BPBC236如图，ABC中，ADBC于D，且有下列条件：（1）BDAC90；（2）BDAC；（3）；（4）AB2BDBC其中一定能够判定ABC是直角三角形的共有（）（A）3个（B）2个（C）1个（D）0个7如图，将ADE绕正方形ABCD顶点A顺时针旋转90，得ABF，连结EF交AB于H，则下列结论中错误的是（）（A）AEAF（B）EFAF1（C）
12、AF2FHFE（D）FBFCHBEC8如图，在矩形ABCD中，点E是AD上任意一点，则有（）（A）ABE的周长CDE的周长BCE的周长（B）ABE的面积CDE的面积BCE的面积（C）ABEDEC（D）ABEEBC9如图，直线ab，AFFB35，BCCD31，则AEEC为（）（A）512（B）95（C）125（D）3210如图，在ABC中，M是AC边中点，E是AB上一点，且AEAB，连结EM并延长，交BC的延长线于D，此时BCCD为（）（A）21（B）32（C）31（D）5211如图，矩形纸片ABCD的长AD9 cm，宽AB3 cm，将其折叠，使点D与点B重合，那么折叠后DE的长和折痕EF的长分
13、别为（）（A）4 cm、cm（B）5 cm、cm（C）4 cm、2 cm（D）5 cm、2 cm二、填空题12已知线段a6 cm，b2 cm，则a、b、ab的第四比例项是_cm，ab与ab的比例中项是_cm13若m2，则m_14如图，在ABC中，ABAC27，D在AC上，且BDBC18，DEBC交AB于E，则DE_ 15如图，ABCD中，E是AB中点，F在AD上，且AFFD，EF交AC于G，则AGAC_16如图，已知ABC，P是AB上一点，连结CP，要使ACPABC，只需添加条件_（只要写出一种合适的条件） 17如图，AD是ABC的角平分线，DEAC，EFBC，AB15，AF4，则DE的长等于
14、_18如图，ABC中，ABAC，ADBC于D，AEEC，AD18，BE15，则ABC的面积是_三、证明题1、如图，在ABC中，ABAC，延长BC至D，使得CDBC，CEBD交AD于E，连结BE交AC于F，求证AFFC2、如图，ABCCDB90，ACa，BCb（1）当BD与a、b之间满足怎样的关系时，ABCCDB？（2）过A作BD的垂线，与DB的延长线交于点E，若ABCCDB求证四边形AEDC为矩形（自己完成图形）3、如图，在矩形ABCD中，E为AD的中点，EFEC交AB于F，连结FC（ABAE）（1）AEF与EFC是否相似？若相似，证明你的结论；若不相似，请说明理由；（2）设k，是否存在这样的
15、k值，使得AEFBFC，若存在，证明你的结论并求出k的值；若不存在，说明理由初夏早上六点，清亮透明的月儿还躲藏在云朵里，不忍离去，校园内行人稀少，我骑着单车，晃晃悠悠的耷拉着星松的睡眼。校园内景色如常，照样是绿意盈盈，枝繁叶茂，鸟儿歌唱。经过西区公园，看那碧绿的草地，飞翔中的亭子，便想起十七那年，在这里寻找春天的日子。本想就此停车再感受一遍，可惜心中记挂北区的荷塘。回想起冬日清理完荷塘的枯枝败叶，一片萧条的景色：湖水变成墨绿色，没有鱼儿游动，四处不见了鸟儿的踪影，只有莲藕躺在湖底沉沉睡去。清洁大叔撑着竹竿，乘一叶扁舟，把一片片黑色腐烂的枯叶残枝挑上船。几个小孩用长长的铁钩把莲蓬勾上岸，取下里头成熟的莲子。
