1、一模西城文 数 学试题及答案北京市西城区2014年高三一模试卷 数 学（文科） 20144第卷（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项1设全集，集合，则集合（ ）（A）（B）（C）（D）2已知平面向量，那么等于（ ）（A）（B）（C）（D）3已知双曲线的虚轴长是实轴长的2倍，则此双曲线的离心率为（ ）（A）（B）（C）（D）4某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）（A）（B）（C）（D）5下列函数中，对于任意，同时满足条件和的函数是（ ）（A）（B）（C）（D）6 设，且，则“函数在上是减函数”是“函数在上
2、是增函数”的（ ）（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件（C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件7某企业为节能减排，用9万元购进一台新设备用于生产 第一年需运营费用2万元，从第二年起，每年运营费用均比上一年增加2万元，该设备每年生产的收入均为11万元 设该设备使用了年后，盈利总额达到最大值（盈利额等于收入减去成本），则n等于（ ） （A）（B）5（C）6（D）78 如图，设为正四面体表面（含棱）上与顶点不重合的一点，由点P到四个顶点的距离组成的集合记为M，如果集合M中有且只有2个元素，那么符合条件的点P有（ ）（A） 4个 （B）6个 （C）10个 （D）14个第卷（非选择题 共11
3、0分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分9设复数，其中，则_ 10若抛物线的焦点在直线上，则_；的准线方程为_11已知函数若，则实数_；函数的最大值为_12执行如图所示的程序框图，如果输入，那么输出的a值为_ 13若不等式组表示的平面区域是一个四边形，则实数的取值范围是_ 14如图，在直角梯形中，P为线段（含端点）上一个动点 设，记，则_； 函数的值域为_三、解答题：本大题共6小题，共80分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤15（本小题满分13分）在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c 已知 （）求的大小；（）如果，求的值16（本小题满分13分）某批次的某种灯
4、泡共200个，对其寿命进行追踪调查，将结果列成频率分布表如下 根据寿命将灯泡分成优等品、正品和次品三个等级，其中寿命大于或等于500天的灯泡是优等品，寿命小于300天的灯泡是次品，其余的灯泡是正品 寿命（天）频数频率10307060合计200（）根据频率分布表中的数据，写出a，b，c的值；（）某人从这200个灯泡中随机地购买了1个，求此灯泡恰好不是次品的概率；（）某人从这批灯泡中随机地购买了个，如果这n个灯泡的等级情况恰好与按三个等级分层抽样所得的结果相同，求n的最小值17（本小题满分14分）如图，在四棱锥中，底面是矩形， N是棱的中点（）求证：平面； （）求证：平面；（）在棱SC上是否存在一
5、点P，使得平面平面?若存在，求出的值；若不存在，说明理由18（本小题满分13分）已知函数，其中（）当时，求函数的图象在点处的切线方程；（）如果对于任意，都有，求的取值范围19（本小题满分14分）已知椭圆的焦距为2，过右焦点和短轴一个端点的直线的斜率为，O为坐标原点（）求椭圆W的方程 （）设斜率为的直线l与W相交于两点，记面积的最大值为，证明： 20（本小题满分13分）在数列中， 从数列中选出项并按原顺序组成的新数列记为，并称为数列的项子列 例如数列为的一个4项子列（）试写出数列的一个3项子列，并使其为等比数列； （）如果为数列的一个5项子列，且为等差数列，证明：的公差满足；（）如果为数列的一个
6、6项子列，且为等比数列，证明：北京市西城区2014年高三一模试卷参考答案及评分标准 高三数学（文科） 20144一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分1C 2B 3D 4C 5D 6A 7B 8C二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分 9 10 11 12 13 14 注：第10、11、14题第一问2分，第二问3分 三、解答题：本大题共6小题，共80分 其他正确解答过程，请参照评分标准给分 15（本小题满分13分） （）解：因为， 所以， 4分 又因为，所以 6分（）解：因为，所以， 8分由正弦定理， 11分得 13分16（本小题满分13分）（）解：， 3分（）解：设“此人
7、购买的灯泡恰好不是次品”为事件 4分由表可知：这批灯泡中优等品有60个，正品有100个，次品有40个，所以此人购买的灯泡恰好不是次品的概率为 8分（）解：由（）得这批灯泡中优等品、正品和次品的比例为 10分所以按分层抽样法，购买灯泡数，所以的最小值为 13分17（本小题满分14分）（）证明：因为底面是矩形， 所以 ， 1分 又因为平面，平面， 所以平面 3分（）证明：因为 ，所以 平面SAD， 5分又因为 平面，所以 6分因为 ，且N为AD中点，所以 又因为 ，所以平面 8分（）解：如图，连接BD交NC于点F，在平面SNC中过F作交于点P，连接PB，PD 因为平面，所以 平面 11分又因为 平
8、面，所以平面平面 12分在矩形中，因为，所以 在中，因为， 所以则在棱SC上存在点P，使得平面平面，此时 14分18（本小题满分13分）（）解：由，得， 2分 所以， 又因为， 所以函数的图象在点处的切线方程为 4分（）解：由，得， 即 6分 设函数， 则， 8分 因为， 所以， 所以当时， 10分 故函数在上单调递增， 所以当时， 11分 因为对于任意，都有成立， 所以对于任意，都有成立 所以 13分19（本小题满分14分）（）解：由题意，得椭圆W的半焦距，右焦点，上顶点， 1分 所以直线的斜率为， 解得， 3分 由，得， 所以椭圆W的方程为 5分（）证明：设直线l的方程为，其中或2， 6分
9、由方程组得， 7分 所以， （*）由韦达定理，得, 8分所以 9分因为原点到直线的距离， 10分所以， 11分当时，因为， 所以当时，的最大值， 验证知（*）成立； 12分当时，因为， 所以当时，的最大值； 验证知（*）成立所以 14分注：本题中对于任意给定的，的面积的最大值都是20（本小题满分13分）（）解：答案不唯一 如3项子列：， 2分（）证明：由题意，知，所以 4分因为， 所以，解得 所以 7分（）证明：由题意，设的公比为，则因为为的一个6项子列，所以为正有理数，且， 8分设，且互质，）当时，因为， 所以 ， 所以 10分当时， 因为是中的项，且互质， 所以， 所以 因为， 所以 综上， 13分
