1、苏州中学教师版数学测试卷一填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共计 70 分，不需要写出解答过程，请把答案直接填在答题卡相应位置上。1. 已知集合 A = 0,1,4 ,B = - 2,0,2,4,则 A B = .2.已知复数 z = 3 + i ，其中i 为虚数单位，则复数 z 的模是1- i3.抛物线 y2 = 16x 的准方程为4.某市为了响应江苏省“农村人居环境整治的新实践”，调研农村环境整治情况，按地域将下辖的 250 个行政村数分成 A ， B ， C ， D 四组， 对应的行政村个数分别为25， 75，100 ， 50，若用分层抽样抽取50 个行政村，则 B 组中应该
2、抽取的行政村数为5.执行如图所示的程序框图，输出的 s 的值为6.中国古典乐器一般按“八音”分类，如图，在周礼春官大师中按乐器的制造材对乐器分类，分别为“金，石，木，土，革，丝，匏，竹”八音，其中“土，匏，竹”为吹奏乐器，“金，石，木，革”为打击乐器，“丝”为弹拨乐器. 现从“八音”中任取不同的“一音”，则不是吹奏乐器的概率为log2 (3 - x) , x 4，解得 m 3 .412.如图在平行四边形 ABCD 中， AB = 3， AD = 2 ， BAD = ， E 为 BC 的中点，若线段 DE 上存在3一点 M 满足 AM = 1 AB + mAD(m R),则 AM BD 的值是
3、.3【答案】 - 76解：因为 AM = AD + DE = AD + (DB + AB)= 1 - AD + AB = 1 AB + m AD ，-= m22 = 1 + 5 ( -2 3)= - 7即 = 1 3，所以 AM BD ABAD AD AB . 613.在 ABC 中，设角 A, B, C 对应的分别为 a, b, c ，记ABC 的面积为 S ，若 tan A = 2 tan B ，则大值为【答案】 38S 的最a2 b 2 c 2解：法一：由 tan A = 2 tan B 角化边得3a2 = 3b2 + c2 ，所以3 + = 3，S = 12bc sin A =1bc
4、2= 1 bc 2 a ， a 故 S =a21 bc =2a2 b 2 c 2令 m = ， n = ，则3m + n = 3， a S 1 a 1 1 3=a2 2= = .2 2 8法二：不妨设 a = 2 ，则3b2 + c2 = 12 ，以 BC 为 x 轴， BC 中点为坐标原点建立平面直角坐标系，则 B ( -1 , 0 )， C (1 , 0 )，设 A ( x , y )，由3b2 + c2 = 12 可得 x -1 2+ y 2 = 941 2h而 S = 2a2 4= 1 h （ h 的顶点 A 到底边 BC 的高）4所以 h = 3 ， 即 S= 1 h 3 。 min
5、 2a2 4 8法三：在 ABC 中，过C 点作CH AB ，垂足为 H ，由 tan A = 2 tan B 得 BH = 2 AH ， 设CH = h ， AH = x ，则 BH = 2x ，1 3x hS = 2a2 (2x)2 + h23xh 2 4xh= 3 （当且仅当2x = h 时取“ = ”）.814.0已知函数 f (x) = x3 - 3ax(a 0)，其图像记为曲线C ，曲线C 上存在异于原点的点 P ，使得曲线C 与其在 P0 的切线交于另一点 P1 ，曲线C 与其在 P1 的切线交于另一点 P2 若直线 P0 P1 与直线 P0 P2 的斜率之积小于 - 9，则 a
6、 的取值范围为【答案】, + 3 解： f (x)= 3x2 - 3a ，设 P ( x , f (x) )， P ( x , f (x ) )， P ( x, f (x) )，0 0 01 1 12 2 2则l ： y - (x2 - 3ax)= (3x2 - 3a)(x - x) y = (3x2 - 3a)x - 2x2 ，P0 P10 0 0 0 0 0 y = (3x2 - 3a)x - 2x2联立 00，得 x1= -2x0，同理可得 x2= -2x1= 4x0 ， y = x3 - 3ax则 P2(4x, 64 x3 -12ax)， kP0 P2= 21x2 - 3a又 k =
7、3x2 - 3a ，所以由 k k -9 ，得(21x2 - 3a)(3x2 - 3a) 0 ，则7t-8at + (a+ 1) 0 得 a , + .3 二解答题：本大题共 6 小题，共 90 分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明，证明过程或验算步骤.15.（本小题 14 分）已知平面向量 a = ( 2 cos, 1 )， b = (1 , 3sin ).（1）若a / b ，求证sin 2的值； （2）若 a b，求 tan+ 的值. 4 解：（1）因为 a = ( 2 cos, 1 )， b = (1 , 3sin )，且 a / b ，所以(2 cos)(3sin)-1
8、1 = 0 ，所以3sin 2= 1，即sin 2= 1 .3（2）因为 a = ( 2 cos, 1 )，b = (1 , 3sin )，且 a b，所以2 cos1 + 1 3sin= 0 ，即2 cos= -3sin，若cos= 0，则 sin = 1 - cos2 = 1，不满足上式，舍去.所以cos 0 ，所以 tan= - 2 ，3 - 2 + 1即 tan+ = tan+ 1 = 3 = 1 . 1 - tan1 - - 2 5 16.（本小题满分 14 分）如图，在三棱锥 P - ABC 中， BC 平面 PAB . 已知 PA = AB ， D ， E 分别为 PB, BC
9、的中点.（1）求证： AD 平面 PBC ；（2）若点 F 在线段 AC 上，且 AF = 1 求证： AD / 平面 PEF .FC 2解：（1）因为 BC 平面 PAB ， AD 平面 PAB ，所以 BC AD .因为 PA = AB ， D 是 PB 的中点，所以 AD PB .又因为 PB BC = B ， PB ， BC 平面 PBC ，所以 AD 平面 PBC .（2）连结 DC ，交 PE 于点G ，连结 FG ， DE ，如图所示.因为 D ， E 分别是 PB ， BC 的中点，所以 DE 为BPC 的中位线， 从而 DEG CPG ，可得 DG = DE = 1GC PC
10、 2因为 AF = 1 ，所以 AF = DG ，所以 AD / FGFC 2 FC GC又因为 FG 平面 PEF ， AD 平面 PEF ，所以 AD / 平面 PEF .17.(本小题满分 14 分）在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆 E : xa2左准线方程为 x = -2.（1）求椭圆 E 的方程；+y2b2= 1(a b 0)的左右焦点分别为 F1 和 F2 ，离心率为 ,2（2）设不经过 F1 的直线l 与椭圆相交于 A, B 两点，直线l, AF1 , BF1 的斜率分别为 k, k1 , k2 ,且 k1 + k2 = 2k ，求 k 的取值范围.解：（1）由 e =可
11、知 c =2 a，又左准线方程为 x = -2 ，即 - a2 c= -2联立解得 a = 2 ， c = 1，椭圆方程为 x2+y 2= 1.（2）由（1）可知， F1 ( -1 , 0 )， F2 (1 , 0 )，设直线l ： y = kx + m ， A( x1 , y1 )， B( x2 , y2 ) x2 + 2，消 y 得(2k 2 + 1)x2 + 4kmx + 2m2 - 2 = 0 ， y = kx + mx + x= - 4km 1由韦达定理可知 2 2k 2 + 1 ，因为点 A 的点 B 不重合，且直线l 的斜率存在，2m2 - 2 x1 x2 =2k 2 + 1所以
12、 = (4km)2 - 4(2k 2 + 1)(2m2 - 2) 0 ，得2k 2 + 1 m2因为 k1 =y1x + 1， k2 =y2x + 1，由条件 k1+k2= 2k1可得2k = y2 +2y1 ，即2k = kx2 + m + kx1 + m (m - k )(x + x + 2)= 0x2 + 1x1 + 1x2 + 1x1 + 1若 m = k ，则直线l ： y = k (x + 1)过点 F1 ，不符合条件，因此 x1+x2+ 2 = 0 ，故 - 4km2k 2 + 1+ 2 = 0 ，得 m = k + 1 ，2k代入2k 2 + 1 m2 可知2k 2 + 1 k
13、 +1 2，得 k 2 1 ， 2k 2所以 k - , -2 , + .2 18.（本小题满分 16 分）如图，在一个圆心角为90 ，半径为 10 米的扇形草地上，需铺设一个直角三角形 PQR 的花地，其中RQP为直角，要求 P, R, Q 三点分别落在线段 BC, AC 和弧 AB 上，且 PQ = RQ( 0,)PQR 的面积为 s（1）当= 2 且QR AC 时，求 S 的值；（2）无论如何铺设，要求 S 始终不小于 20 平方米，求的取值范围.解：（1）以C 为原点， CB ， CA所在直线分别为 x ， y 轴建立平面直角坐标系.因为 PQ = 2RQ 且QR AC ，所以点Q 在
14、直线 y = 2x 上.又因为点Q 在圆 x2 + y 2 = 100上，所以Q(2 , 4 )此时 S = 1 PQ RQ = 1 2 4= 202 2所以当= 2 且QR AC 时， S 的值为20 平方米.（2）法一：过Q 作QM AC ，垂足为 M ，作QN BC ，垂足为 N .所以 RMQ PNQ ，并且相似比为1: ，所以 xQ : yQ = 1: ，2 2 21002 1002又因为点在圆 x + y= 100，代入计算得 xQ = 1 + 2 ， yQ = 1 + 2 .设QR = x ，则QP = x所以 S = 1 QR QP = x22 2当 R 与 M 重合时， x2
15、 = QM 2 =100 ，此时1 + 2x2 取得最小值，所以Smin = 1002 1 + 2= 50 1 + 2要使 S 始终不小于20 平方米，则50 20，解得 1 2 ，所以的取值范围为 1 , 2 . 1 + 2 2 2 答：要使 S 始终不小于20 平方米， 的取值范围为 1 , 2 . 2 法二：过Q 作QM AC ，垂足为 M ，作QN BC ，垂足为 N .所以 RMQ PNQ ，并且相似比为1: ，所以 xQ : yQ = 1: ，2 2 21002 1002又因为点在圆 x + y= 100，代入计算得 xQ = 1 + 2 ， yQ = 1 + 2 .设 RQ 由
16、MQ 逆时针转过的角RQM 的大小为当 M 与 A 重合时设RQM = 1 ，当 p 与 B 重合时设RQM = 2 .则 0)，所以 PQ2 = 2 RQ2 . y 2 x 2所以 x - 0 - x + y 2 = 2 x 2 + 2 0 + y - y . 0 k 0 00 k0 0 整理得1+ 1 y 2 = 1+1 2 x 2 , 所以 y 2 = 2 x 2 ,又因为 x , y ,都为正数. k 2 0 k 2 0 0 0 0 0所以 y0 = x0 ，点Q 在圆 x2 + y2 = 100 上，代入计算得 x 2 =100.0 1+ 2S = 1 PQ QR = R RQ =
17、x +Q x0 + y - y = 1+1 x 2 .2 2 0 k0 0 k 2 0所 以 S = 1+ 1 x 2 = 1+1 100= 50 1+1 .2 k 2 02 k 2 1+ 21+ 2 k 2 k 2 0, 所以1+ 1k 2 1,所以 S 501+ 2由得 S 501+ 2所以 Smin= 50 20，2 +1解得 1 2 ，所以的取值范围是 1 ,22 2 答：要使 S 始终不小于20 平方米，的取值范围为 1 ,2 . 2 法四：设CPR = , QPR =,其中sin=边的距离为 yQ则 yQ = PQ sin(+) = RQ sin(+).1 , cos=，点Q 则
18、AC 边的距离为 xQ, 到 BCxQ = PR cos- PQ cos(+) = +1RQ cos- RQ cos(+)2= 2 +1RQ cos- RQ 2 cos- sin = RQ cos+ sin = RQ sin(+)所以 yQ = xQ .以下同法三.19.（本小题满分 16 分）已知在每一项不为 0 的数列a 中，a = 3,且 a = pa + 1 （ p, t 为常数，n N * ）.记数列a 的前nn 1 n+1 nn项和为 Sn（1）当t = 0时，求 Sn（2）当 p = 1 , t = 2 时，2求证：数列an + 2 为等比数列；1g- 2 n是否存在正整数 m
19、，使得不等式 S - 2n 0 an+1 - 2 (an - 2)所以1g an+1 + 2 = 1g (an + 2) = 2 lg an + 2an+1 - 2 (an - 2) an - 2又因为lg a1 + 2 = lg 5 0, 所以lg an + 2 0 a1 - 2 an - 2所以数列 an + 2 是以lg 5为首项，2 为公比的等比数列.lg=- 2 由可知lgan + 2= lg 5 2n-1 = lg 52n-1，所以an + 2= 52n-1，所以a2(52n-1 + 1)an - 2an - 2n 52n-1 -1由 an - 2 = 4 n-1 0 ，得an+1
20、 - 252n-1 -1n 1 n-1 1 n-1， an+1 - 2 1 (a - 2)52 -1an - 252 -152 + 1 52 5 5所以当 n 2 时， an- 2 1 (a5n-1- 2)1 (a52n-2- 2) 15n-1(a1- 2)=1 ，5n-1所以 Sn- 2n = (a1 - 2)+ (a2 - 2)+ + (an 1 n- 2) 1 + 1 + 15 52+ +15n-1（当且仅当n = 1时取“=”），1 - 5 5 5所以 S- 2n = (1 - 5-n ) ，又因为 S-2 = 1 0恒成立. p 为曲线 y = g(x)上的任意一点：求证：除点 p 外，曲线 y =
