1、线性代数的思想本质线性代数的思想本质线性代数课程，无论你从行列式入手还是直 接从矩阵入手，从一开始就充斥着莫名其妙。 比如说，在全国一般工科院系教学中应用最广泛 的同济线性代数教材（现在到了第四版），一上 来就介绍逆序数这个“前无古人，后无来者”的 古怪概念，然后用逆序数给出行列式的一个极不 直观的定义，接着是一些简直犯傻的行列式性质 和习题一一把这行乘一个系数加到另一行上， 再把那一列减过来，折腾得那叫一个热闹，可就 是压根看不出这个东西有嘛用。大多数像我一样 资质平庸的学生到这里就有点犯晕：连这是个什 么东西都模模糊糊的，就开始钻火圈表演了，这 未免太“无厘头” 了吧！于是开始有人逃课，更
2、 多的人开始抄作业。这下就中招了，因为其后的 发展可以用一句峰回路转来形容，紧跟着这个无 厘头的行列式的，是一个同样无厘头但是伟大的 无以复加的家伙的出场矩阵来了！ 多年之后，我才明白，当老师犯傻似地用中括号 把一堆傻了吧叽的数括起来，并且不紧不慢地 说：“这个东西叫做矩阵”的时候，我的数学生 涯掀开了何等悲壮辛酸、惨绝人寰的一幕！自那 以后，在几乎所有跟“学问”二字稍微沾点边的 东西里，矩阵这个家伙从不缺席。对于我这个没 能一次搞定线性代数的笨蛋来说，矩阵老大的不 请自来每每搞得我灰头土脸，头破血流。长期以 来，我在阅读中一见矩阵，就如同阿 Q见到了 假洋鬼子，揉揉额角就绕道走。事实上，我并
3、不是特例。一般工科学生初学线性 代数，通常都会感到困难。这种情形在国内外皆 然。瑞典数学家Lars Garding在其名著 Encounter with Mathematics 中说：“如果不熟悉 线性代数的概念，要去学习自然科学，现在看来 就和文盲差不多。”，然而“按照现行的国际标准， 线性代数是通过公理化来表述的，它是第二代数 学模型，这就带来了教学上的困难。”事实 上,当我们开始学习线性代数的时候， 不知不觉 就进入了“第二代数学模型”的范畴当中，这意 味着数学的表述方式和抽象性有了一次全面的 进化，对于从小一直在“第一代数学模型”，即 以实用为导向的、具体的数学模型中学习的我们 来说，
4、在没有并明确告知的情况下进行如此剧烈 的paradigm shift，不感到困难才是奇怪的。大部分工科学生，往往是在学习了一些后继课 程，如数值分析、数学规划、矩阵论之后，才逐 渐能够理解和熟练运用线性代数。即便如此，不 少人即使能够很熟练地以线性代数为工具进行 科研和应用工作，但对于很多这门课程的初学者 提出的、看上去是很基础的问题却并不清楚。 比 如说：*矩阵究竟是什么东西？向量可以被认为是具 有n个相互独立的性质（维度）的对象的表示， 矩阵又是什么呢？我们如果认为矩阵是一组列（行）向量组成的新的复合向量的展开式，那么 为什么这种展开式具有如此广泛的应用？特别 是，为什么偏偏二维的展开式如
5、此有用？如果矩 阵中每一个元素又是一个向量，那么我们再展开 一次，变成三维的立方阵，是不是更有用？ *矩阵的乘法规则究竟为什么这样规定？为什 么这样一种怪异的乘法规则却能够在实践中发 挥如此巨大的功效？很多看上去似乎是完全不 相关的问题，最后竟然都归结到矩阵的乘法， 这 难道不是很奇妙的事情？难道在矩阵乘法那看 上去莫名其妙的规则下面，包含着世界的某些本 质规律？如果是的话，这些本质规律是什么？ *行列式究竟是一个什么东西？为什么会有如 此怪异的计算规则？行列式与其对应方阵本质 上是什么关系？为什么只有方阵才有对应的行 列式，而一般矩阵就没有(不要觉得这个问题很 蠢，如果必要，针对mx n矩阵
6、定义行列式不是 做不到的，之所以不做，是因为没有这个必要， 但是为什么没有这个必要)？而且，行列式的计 算规则，看上去跟矩阵的任何计算规则都没有直 观的联系，为什么又在很多方面决定了矩阵的性 质？难道这一切仅是巧合？*矩阵为什么可以分块计算？分块计算这件事 情看上去是那么随意，为什么竟是可行的？*对于矩阵转置运算 AT,有(AB)T = BTAT，对 于矩阵求逆运算A-1，有(AB)-1 = B-1A-1 o两个 看上去完全没有什么关系的运算，为什么有着类 似的性质？这仅仅是巧合吗？*为什么说P-1AP得到的矩阵与 A矩阵“相 似”？这里的“相似”是什么意思？*特征值和特征向量的本质是什么？它
7、们定义 就让人很惊讶，因为Ax =入x，一个诺大的矩阵 的效应，竟然不过相当于一个小小的数入， 确实 有点奇妙。但何至于用“特征”甚至“本征”来 界定？它们刻划的究竟是什么？这样的一类问题，经常让使用线性代数已经很多 年的人都感到为难。就好像大人面对小孩子的刨 根问底，最后总会迫不得已地说“就这样吧，到 此为止一样，面对这样的问题，很多老手们最 后也只能用：“就是这么规定的，你接受并且记 住就好”来搪塞。然而，这样的问题如果不能获 得回答，线性代数对于我们来说就是一个粗暴 的、不讲道理的、莫名其妙的规则集合，我们会 感到，自己并不是在学习一门学问，而是被不由 分说地“抛到” 一个强制的世界中，
8、只是在考试 的皮鞭挥舞之下被迫赶路，全然无法领略其中的 美妙、和谐与统一。直到多年以后，我们已经发 觉这门学问如此的有用，却仍然会非常迷惑：怎 么这么凑巧？我认为，这是我们的线性代数教学中直觉性丧失 的后果。上述这些涉及到“如何能”、“怎么会” 的问题，仅仅通过纯粹的数学证明来回答， 是不 能令提问者满意的。比如，如果你通过一般的证 明方法论证了矩阵分块运算确实可行，那么这并 不能够让提问者的疑惑得到解决。他们真正的困 惑是：矩阵分块运算为什么竟然是可行的？究竟 只是凑巧，还是说这是由矩阵这种对象的某种本 质所必然决定的？如果是后者，那么矩阵的这些本质是什么？只要对上述那些问题稍加考虑， 我们
9、就会发现，所有这些问题都不是单纯依靠数学 证明所能够解决的。像我们的教科书那样，凡事 用数学证明，最后培养出来的学生，只能熟练地 使用工具，却欠缺真正意义上的理解。自从1930年代法国布尔巴基学派兴起以来，数 学的公理化、系统性描述已经获得巨大的成功， 这使得我们接受的数学教育在严谨性上大大提 高。然而数学公理化的一个备受争议的副作用， 就是一般数学教育中直觉性的丧失。 数学家们似 乎认为直觉性与抽象性是矛盾的，因此毫不犹豫 地牺牲掉前者。然而包括我本人在内的很多人都 对此表示怀疑，我们不认为直觉性与抽象性一定 相互矛盾，特别是在数学教育中和数学教材中， 帮助学生建立直觉，有助于它们理解那些抽
10、象的 概念，进而理解数学的本质。反之，如果一味注 重形式上的严格性，学生就好像被迫进行钻火圈 表演的小白鼠一样，变成枯燥的规则的奴隶。 对于线性代数的类似上述所提到的一些直觉性 的问题，两年多来我断断续续地反复思考了四、 五次，为此阅读了好几本国内外线性代数、 数值 分析、代数和数学通论性书籍，其中像前苏联的 名著数学：它的内容、方法和意义、龚昇教 授的线性代数五讲、前面提到的Encounter with Mathematics （数学概观）以及 Thomas A. Garrity的数学拾遗都给我很大的启发。不 过即使如此，我对这个主题的认识也经历了好几 次自我否定。比如以前思考的一些结论曾经
11、写在 自己的blog里，但是现在看来，这些结论基本 上都是错误的。因此打算把自己现在的有关理解 比较完整地记录下来，一方面是因为我觉得现在 的理解比较成熟了，可以拿出来与别人探讨，向 别人请教。另一方面，如果以后再有进一步的认 识，把现在的理解给推翻了，那现在写的这个 sn apshot也是很有意义的。因为打算写得比较多，所以会分几次慢慢写。也 不知道是不是有时间慢慢写完整，会不会中断， 写着看吧。今天先谈谈对线形空间和矩阵的几个核心概念 的理解。这些东西大部分是凭着自己的理解写出 来的，基本上不抄书，可能有错误的地方，希望 能够被指出。但我希望做到直觉，也就是说能把 数学背后说的实质问题说出
12、来。首先说说空间（space）,这个概念是现代数学的命 根子之一，从拓扑空间开始，一步步往上加定义， 可以形成很多空间。线形空间其实还是比较初级 的，如果在里面定义了范数，就成了赋范线性空 间。赋范线性空间满足完备性，就成了巴那赫空 间；赋范线性空间中定义角度，就有了内积空间， 内积空间再满足完备性，就得到希尔伯特空间。 总之，空间有很多种。你要是去看某种空间的数 学定义，大致都是“存在一个集合，在这个集合 上定义某某概念，然后满足某些性质”，就可以 被称为空间。这未免有点奇怪，为什么要用空 间”来称呼一些这样的集合呢？大家将会看到， 其实这是很有道理的。我们一般人最熟悉的空间，毫无疑问就是我
13、们生 活在其中的（按照牛顿的绝对时空观）的三维空 间，从数学上说，这是一个三维的欧几里德空间， 我们先不管那么多，先看看我们熟悉的这样一个 空间有些什么最基本的特点。仔细想想我们就会 知道，这个三维的空间：1.由很多（实际上是 无穷多个）位置点组成；2.这些点之间存在相 对的关系；3.可以在空间中定义长度、角度；4.这个空间可以容纳运动，这里我们所说的运 动是从一个点到另一个点的移动（变换），而不 是微积分意义上的“连续”性的运动， 上面的这些性质中，最最关键的是第4条。第1、 2条只能说是空间的基础，不算是空间特有的性 质，凡是讨论数学问题，都得有一个集合，大多 数还得在这个集合上定义一些结
14、构（关系），并 不是说有了这些就算是空间。而第 3条太特殊， 其他的空间不需要具备，更不是关键的性质。只 有第4条是空间的本质，也就是说，容纳运动是 空间的本质特征。认识到了这些，我们就可以把我们关于三维空间 的认识扩展到其他的空间。事实上，不管是什么 空间，都必须容纳和支持在其中发生的符合规则 的运动（变换）。你会发现，在某种空间中往往 会存在一种相对应的变换，比如拓扑空间中有拓 扑变换，线性空间中有线性变换，仿射空间中有 仿射变换，其实这些变换都只不过是对应空间中 允许的运动形式而已。因此只要知道，“空间”是容纳运动的一个对象 集合，而变换则规定了对应空间的运动。下面我们来看看线性空间。线
15、性空间的定义任何一本书上都有，但是既然我们承认线性空间是个 空间，那么有两个最基本的问题必须首先得到解 决，那就是：1.空间是一个对象集合，线性空间也是空间， 所以也是一个对象集合。那么线性空间是什么样 的对象的集合？或者说，线性空间中的对象有什 么共同点吗？2.线性空间中的运动如何表述的？也就是，线 性变换是如何表示的？我们先来回答第一个问题，回答这个问题的时候 其实是不用拐弯抹角的，可以直截了当的给出答 案。线性空间中的任何一个对象， 通过选取基和 坐标的办法，都可以表达为向量的形式。通常的 向量空间我就不说了，举两个不那么平凡的例 子：L1.最高次项不大于n次的多项式的全体构成 一个线性
16、空间，也就是说，这个线性空间中的每 一个对象是一个多项式。如果我们以 xO, x1, xn为基，那么任何一个这样的多项式都可以表 达为一组n+1维向量，其中的每一个分量 ai其 实就是多项式中x(i-1)项的系数。值得说明的是， 基的选取有多种办法，只要所选取的那一组基线 性无关就可以。这要用到后面提到的概念了，所 以这里先不说，提一下而已。L2闭区间a, b上的n阶连续可微函数的全体， 构成一个线性空间。也就是说，这个线性空间的 每一个对象是一个连续函数。对于其中任何一个 连续函数，根据魏尔斯特拉斯定理，一定可以找 到最高次项不大于n的多项式函数，使之与该连 续函数的差为0，也就是说，完全相等。这样就 把问题归结为L1 了。后面就不用再重复了。 所以说，向量是很厉害的，只要你找到合适的基， 用向量可以表示线性空间里任何一个对象。这里 头大有文章，因为向量表面上只是一列数，但是 其实由于它的有序性，所以除了这些数本身携带 的信息之外
