1、计算水力学,第一章 绪论,计算水力学是计算流体力学的分支学科,流体力学:理论流体力学和实验流体力学随着电子计算机的出现和现代计算技术的发展，已可用电子计算机作为模拟和实验手段，数值地求解流体力学中各种各样的问题这样就构成了流体力学的另外一个分支计算流体力学计算水力学是计算流体力学的一个分支，主要是不可压缩流体部分。,计算流体力学是随计算机的发展起来的,高速、大容量电子计算机的出现为各种复杂问题的大规模计算提供了可能性在满足下列两个条件下，各种问题的数值模拟和数值计算可用于预测和工程设计的目的：(1)对问题的物理本质了解得很清楚，并可用精确的数学模型来表达.(2)有足够大的计算机，以便在实际可能
2、的时间和费用下，用数值方法解出这些数学问题,自1946年第一台电子计算机“ENIAC”问世以来，计算机发展的速度是极其迅速的。与此同时，计算技术也有很大的发展 1979年计算机已能计算出飞机的全机压力分布，并可取得不可能从风洞试验得到的数据(Chapman，1979)对粘性不很重要的其他气体运动，如核爆炸冲击波的传播、绕射等，计算机已成为取得动态模拟数据的主要手段,上世纪初，人类进入航空时代作为航空基础之一的空气动力学开始迅速发展60年代，载人宇宙飞船的问世标志着高速空气动力学的发展已达到成熟阶段。其中电子计算机在解决有关问题中起了重要作用70年代前后，根据人类生产实践的迫切需要，科学工作者开
3、始对能源开发、环境保护等问题作深入的研究，提出了越来越多的流体力学问题地球物理流体力学、环境流体力学、海洋动力学等一些新兴学科应运而生，并在海底采油、控制污染、防止自然灾害及天气预报等方面得到广泛应用在解决这些问题中电子计算机发挥着越来越大的作用,对过去建立在经验公式基础上的古老水力学，电子计算机也可以使其精确化，“返老还童”。许多过去只能依靠实物模型(如水工模型)解决的问题，现在已可通过计算机解决当前，在潮汐河流的研究、洪水演变的计算、垮坝波的模拟、截流方案的选择和电站冷却水的分析方面，电子计算机也在得到广泛的应用。,计算流体力学实质是建立有限的数值模型,由于电子计算机所能表示的数字和数位均
4、是有限的，而且只能进行离散量的运算，所以各种各样的流体力学问题必须首先变为离散的有限的数值模型，才能在计算机上求解；而将流体的连续流动用多个质点、离散涡元或有限波系的运动来近似，在数学上就表示为有限差分、有限单元、有限基本解或有限分析的形式,建立在物理上合理、在数学上适定、适合于在计算机上进行计算的有限数值模型物理上合理：满足物质运动的基本定律质量守恒原理、动量守恒原理和能量守恒原理。数学上适定：定解问题解的存在性、解的唯一性和解的稳定性。适合于在计算机上进行计算：离散模型,计算流体力学正处在实验流体力学、理论流体力学和计算数学的汇合点上的边缘学科,计算流体力学是不同于实验流体力学和理论流体力
5、学的一门独立的学科，它同时又是一门边缘学科计算流体力学有它自己的特点、自己的方法和自己的困难它的理论基础是流体力学，而计算数学是建立数值模型和解决有关问题必不可少的一部分内容计算流体力学正处在实验流体力学、理论流体力学和计算数学的汇合点上它的有成效的发展历史说明，必须把这三者紧密地有机地结合起来,这种数值实验有其自己独特的优点它可以完全控制流体的性质，如流体的密度、粘性等它的“实验探针”对流动不产生扰动它可以进行纯二维的实验，这在实验室内是不可能真正实现它对于流动参数的选择具有巨大的灵活性数值实验可以做无论是理论分析还是实物模型实验所不能办到的事情，它能检验流动现象对理论分析中所做的各种近似的
6、敏感性，如常粘性系数等它还能检验新的流体模型的本构方程的合理性,流体力学中的数值计算方法,有限差分或有限体积法、有限元法、面元法、特征线法、谱法、积分关系式法、格子法、统计试验法、Monte-Carlo法、摄动法等由于流体力学所处理问题的物理模型复杂多样，针对不同的问题可能要采用上述不同的方法但目前在处理大量工程实际问题中应用最为广泛又较成熟的方法仍是有限差分法(有限体积法)和有限元法本书主要向大家介绍有限差分法(有限体积法),第一节 洪水波的分类,描述河道一维水流运动的圣维南方程组,（1）当地惯性项（2）迁移惯性项（3）压力项（4）重力项（5）摩阻项,忽略（1）（2）（3）：运动波忽略（4）
7、（5）：惯性波忽略（1）（2）：扩散波不忽略，完全考虑：动力波,一、运动波,由于动量方程前三项可以忽略，可简化为 与连续方程联立，消去h可得方程 消去Q可得方程,称为波速 波速系数 一般情况下流速随水深增加而增加,所以有1,这就是说,在一般情况下,波速总是大于断面平均流速u。,运动波三个重要特征,(1)它只有一族向下游的特征线，所以下游的任何扰动不可能上溯影响到上游断面的水流情况。(2)不论波形传播过程中是否变形，但其波峰保特不变，没有耗散现象。(3)当波形发生变化时，不可避免地会发生运动激波。,二、惯性波,忽略摩阻项后，并假定底坡是水平的、棱柱形河道，则动量方程式变成 与连续方程联立，仍属拟
8、线性双曲线型偏微分方程，有二根实特征线,顺特征线 逆特征线,这就是说，观测者若按的速度沿着波动方向运动，那么他所观测到的现象是=const，由于惯性波是不计摩阻损失，所以波动在传播过程中只有能量的转换，而没有能量损失。为了保持、二者之和不变，当变小时，(它反映水深)变大；当变大时，变小，因此流速和水深之间是互相转化，形成周期性的振荡波，湖泊中的谐振波属于这种情况。,三、扩散波,动量方程忽略惯性项后变成 为恒定状态下的流量。,与连续方程联立消去变量得关于流量Q的方程 类似地消去变量，得到关于变量的方程 扩散项的作用使洪水波的波峰会逐渐坦化,扩散波方程,连续方程,动量方程,连续方程与动量方程联立得
9、,四、动力波,当水位或流量在短期内有大幅度的变化时，例如感潮河道中的水流运动，或在天然河道及人工渠道中，因人为控制闸门的启闭而引起的水流波动。在这种情况下，动量方程式中的各项均不能忽略，这样一种波动称为动力波，动力波是所有波动中最复杂的，它只能用完全的圣维南方程组来描述，因此动力波可以作为一种普遍适用的波动现象，而运动波、惯性波和扩散波只不过是动力波的特殊情况。,第二节 常用简化方法,简化方法的要点是连续方程式严格满足,并写成差分形式:动力方程则用河槽蓄量与出流量Q及入流量之间的某种近似关系来代替，由于采用不同的近似关系，形成了各种各样的简化计算方法.,一、水库调洪演算,假定水库蓄水量与出流量
10、之间存在一定的函数关系，即（），可得：上式为水库调洪演算的基本方程，在一般情况下（）的函数关系为非线性，难于用显式表达，故常用图解法或试算法求解。,二、马斯京干法,假定河段槽蓄量与出流量Q及入流量I之间存在着如下的线性关系（）式中K和为经验系数且将河段槽蓄量关系代入连续方程整理得：,运动波基本方程,差分格式,为权重系数，表示河段传播时间式表示线性水库的调洪演算,马斯京干法等价方程,要精确了解实际流动，必须求解动力波方程。水文学上较常用的简化方法马斯京干法是在出流与槽蓄量单一函数关系的假定下导出的，是运动波的差分解。这种假定在流域上游的水流运动与实际基本符合，有足够的精度。在流域下游，特别在平原
11、河口地区，流动受上游来流和下游潮位的联合作用，由于受下游水位的顶托，流动不是自由出流，上述假定不复存在，实际流动的模拟应该由动力波方程来描述，即必须直接求解圣维南方程组。圣维南方程组的求解只能通过数值方法。,计算水力学,第二章 非恒定流基本方程,第一节 基本假定与定律,一、基本假设：1、定床情况，即假设河床高程与时间无关。2、断面代表水位，不考虑横比降。3、浅水问题，满足静水压力分布规律。4、水为不可压液体，。5、河床底坡很小。6、恒定流阻力公式仍然适用。,二、基本定律,质量守恒定律：单位时间内通过控制面流进控制体的净质量，等于同时段内控制体的质量增量。动量守恒定律：单位时间内通过控制面流进控
12、制体的动量与作用于控制体的外力之矢量和等于同时段内控制体的动量增量。,第二节 基本方程,一、连续方程,基本原理：质量守恒控制体：1-2河段1-1流进质量：2-2流出质量：1-2旁侧入流：控制体的质量增量：,质量守恒定律 化简得 为过水断面面积，为断面流量,二、动量方程,基本原理：动量守恒控制体：1-2河段沿流向方向的动量为:控制体的动量增量：,1-1流进动量：2-2流出动量：1-2旁侧入流动量：流入控制体的净动量,作用于控制体上力,a重力 重力在水流方向上的分量 河道底坡,摩阻力 曼宁公式 谢才公式 流量模数公式,压力,断面压力,侧壁上的压力,断面与断面的压力差 侧壁上压力在水流方向上的分量
13、总压力在水流方向上的分量,作用于控制体上的总外力,动量守恒定律,动量方程,各项物理意义惯性项、重力项、摩阻项,第三节 方程的其它形式,一、方程的其它形式、以水位、流量为因变量,、以、为因变量,、以、为因变量,、以、为因变量,、以、为因变量,二、漫洪滩地的处理,动量校正系数,假定滩地和主槽中水流的摩阻比降是相同、为水深（或水位）及断面位置的函数，象其它河道断面资料一样，可以预先整理成（，）作为原始基本资料。,调蓄滩地宽度,假设滩地只起调蓄作用，不起输送水量作用动量方程式起作用的是主河槽部分，断面积及河宽B均按主槽部分计算在连续方程中的和都应包括滩地在内的全部河宽和过水面积,当滩地只起水量调蓄作用
14、，不起输水作用时，其基本方程组：,第四节 定解问题,定解问题：基本方程、定解条件定解条件：初始条件、边界条件定解问题的适定性：解的存在性、唯一性和稳定性。定解条件少了：欠定定解条件多了：过定定解条件适当：适定,对流方程 令,将特征线视为有向线段,其方向与增加时的方向一致。定解域边界上的某点是否要给出定解条件,可从该点处作特征线,若其方向指向定解域内,则需给出定解条件,否则不必给。一般双曲型方程组可以有多组特征线,有类似的结论：在计算域的边界处，边界条件的个数等于穿越边界进入定解域的特征线的条数。,圣维南方程组,沿顺特征线沿逆特征线,1.缓流,初始条件：在边AB上 已知，和 已知 上边界条件：在
15、边AC上 已知，或 已知 下边界条件:在边BD上 已知，或已知 在边CD上无须给出条件,急流,初始条件：在边AB上 已知，和 已知 上边界条件：在边AC上 已知，和 已知 下边界条件:在边BD上无须给出条件 在边CD上无须给出条件,计算水力学,第三章 有限差分的基本理论,第一节 基本概念,一维对流方程 计算平面为的上半平面。在平面上画出两族平行于坐标轴的直线,把求解域分成矩形的计算网格。网格线的交点称为节点,方向上网格线之间的距离称为空间步长,轴方向上网格线之间的距离t称为时间步长,平面、计算网格,网格节点,节点函数值,网格剖分使得每一空间步长、时间步长均相等，则称该网格为一均匀网格，否则称之
16、为非均匀网格数值解主要是求解节点上的末知变量的数值，利用有限的节点上的值来代替整个求解域内的连续函数值。概念：离散、插值、误差 构造差分方程、分析数值误差,第二节 偏导数的差商近似,一、差分、差商的基本概念解析函数 导数定义 差分 差商,向前差分 向后差分 中心差分,一阶导数，对应的差分称为一阶差分。对一阶差分再作一阶差分，所得到的称之为二阶差分。二阶向前差分：,任何阶差分都可以由其低一阶的差分得到：函数的差分与自变量的差分之比，即为函数对自变量的差商 一阶向前差商,一阶向后差商 一阶中心差商 二阶中心差商,二、偏导数的差商近似,展开法通过对差商近似点（，）的展开，可以分析差商对偏导近似的精度
17、,一阶向前差商一阶向后差商,二阶中心差商,边界处偏导数的差商近似,对点（，）进行展开,构造一阶偏导数的二阶精度的差商近似必须有 解得,构造二阶偏导数的差商近似必须有 解得,构造二阶偏导数具有二阶精度的差商近似必须有解得：,多项式插值法,用多项式插值法把待求函数表示成含待定系数的解析函数，由节点函数值确定该系数，然后对此函数求偏导数，得到逼近偏导数的差商表达式。设函数可用抛物插值公式来近似：,设原点在点的位置上，则有 解出待定系数,用高阶多项式插值可得到高阶差商表达式。高阶多项式插值具有龙格不稳定性，使得插值对计算误差十分敏感。多项式插值法在计算流体力学中多用于处理边界处的差商近似。偏导数的差商
18、近似还有其它多种方法，但最终均需用展开来计算其近似的误差，因此在实际计算中通常均用展开法来构造，因为此法在构造差商近似的同时还得出了其近似的误差精度。,第三节 差分方程,偏导数用其差商近似来代替偏微分方程转变为相应的代数方程称之为差分方程。对流方程在点（，）成立,在点（，）的对流方程可以近似 数 差分方程,设，求解域（），定解条件离散表达,定解问题,格式差分方程,例定解问题,采用格式,取，0.5，C=1.0 则 b取，2，C=1.0则,对同一定解问题的同一差分格式（）其不同的空间与时间步长，将得到不同的结果，如果作为原始定解问题的近似解，那一个解精度高呢？。不稳定的解是不能作为原定解问题的近似
19、解的。偏导数的差商近似并非一种，同一偏微分方程的差分方程也并非一个，可以有若干个，对原始定解问题也相应有若干种差分格式。,格式,格式,蛙跳格式,显式格式：由第时间层上的值，可直接算出第时间层上的值的格式。隐式格式：不能直接从时间层上值直接解出，需联立求解层上的值的格式。对同一个定解问题，可以有多种差分格式，多种步长参数来近似，从而也得到若干个差分近似解。那么这些解是否可以都作为原定解问题的近似解？那些解精度高？为什么？相容性、稳定性及收敛性分析,第四节 截断误差和相容性,以格式为例,等价方程 截断误差,格式的截断误差 格式的截断误差 蛙跳格式的截断误差,对流方程的差分方程等价形式 差分方程和相
20、应的微分方程相容,定解条件 差分算子 截断误差 定解问题相容,第五节 收敛性,相容性：是指当自变量的步长趋于零时,差分格式与微分问题的截误差的范数是否趋于零,从而可看出是否能用此差分格式来逼近微分问题。收敛性：是指当自变量步长趋于零时,要求差分格式的解趋于微分方程定解问题的解。要求差分格式的解(数值解)与微分方程定解问题的解(精确解)是一致的。,差分格式的解 微分问题的解 离散误差 差分格式收敛相容性是收敛性的必要条件,相容性是形式上的逼近，收敛性是解的逼近，相容性不一定能保证收敛性,例微分方程定解问题解析解为 将，等分为段则步长,差分解为,微分问题 格式,离散误差 由截断误差分析有,当和,即
21、,则,说明当时,本问题的格式收敛。这种离散化误差的最大绝对值趋于零的收敛性情况称为一致性收敛。,第六节 稳定性,定解问题,依赖区间AB 和决定域pAB,影响区域,同一微分问题,当采用不同差分格式时,其依赖区间、决定区域和影响区域可以是不一致的。依赖区间、决定区域和影响区域是由差分格式本身的构造所决定的并与步长比 有关,定解问题,FTBS格式计算,假设在第j层上的第i点,由于计算误差，得到。设i,，相应于FTBS格式,算例表明了当 值不同时计算误差所产生的影响。误差逐渐衰减传播 误差无衰减传播 误差震荡放大传播数值误差有不同的传播方式,格式使误差逐渐衰减传播称为差分格式稳定，否则称为不稳定。,单
22、增长型的不稳定称为静力不稳定性,过冲型振荡的不稳定称为动力不稳定,von Neumann稳定性分析方法,定解问题FTBS格式初值误差 误差传播方程,误差展开成傅氏级数 代入误差传播方程,对任意的有 为放大因子,FTBS格式稳定条件,FTBS格式稳定条件格式为一不稳定格式 格式稳定条件蛙跳格式稳定条件,Von Neumann稳定性分析法主要用于线性初值问题的稳定性分析。对于非线性问题用局部线性化的方法加以推广。局部线性化方法假定非线性系数变化得很缓慢，因而可用局部网格结点上的函数值代入后作为常数处理，并认为每一网格结点上的计算稳定性与相邻结点无关，以网格结点上最小的局部稳定极限值作为整个差分问题
23、的稳定极限值。,第七节 Lax等价定理,相容性是收敛性的必要条件，稳定性与收敛性有一定的联系。Lax等价定理就是阐述相容性、收敛性和稳定性三者之间的关系的。Lax等价定理:对一个适定的线性微分问题及一个与其相容的差分格式，如果该格式稳定则必收敛，不稳定必不收敛。换言之，若线性微分问题适定，差分格式相容，则稳定性是收敛性的必要和充分的条件。,根据此定理,在线性适定和格式相容的条件下，只要证明了格式是稳定的，则一定收敛；若不稳定，则不收敛。由于收敛性的证明往往比稳定性更难，故人们就可以把注意力集中在稳定性的研究上。,第八节 差分方程数值效应,微分方程是描述物理量在时间和空间上的连续变化的规律差分方
24、程来描述离散化后物理量的变化规律离散误差使原系统的物理性质和规律遭到歪曲和破坏的作用称为数值效应或离散近似的伪物理效应。必须对这些效应有明确的概念，从物理上来考虑数值格式的合理性，减少数值效应的影响。,一、“逆风”效应,物质的对流输运出现了与波速相反方向传播的不合理现象，称为“逆风”效应，是一伪物理现象的数值效应。对流方程FTCS格式,假定在某瞬时在某一断面处引入某一物理量，,由表可见，物理量向上、向下游两个方向传播，出现了与波速相反方向传播的不合理现象，称之为“逆风”效应。FTCS格式所描述的物理量的运动规律与它所近似的原问题固有的规律相差甚大，不仅计算结果误差很大，而且也往往是引起差分格式
25、不稳定的一个因素，前面已证明了该差分格式是无条件不稳定的。对流方程采用一阶精度FTBS格式或FTFS格式能近似原问题的物理现象。采用何种格式还与波速的方向有关，当为正时采用格式，当为负时采用格式。若的符号在计算过程中会改变，例如潮水河道，则可以采用“逆风”格式：,“逆风”格式,二、物理耗散与弥散,一维行波的波高 在一固定时刻，空间上相差一个波长其波高相等,所以称为波数 在一固定位置，时间相差一个周期，其波高相等,为频率。表示单位时间传播的距离，称为相速度。物理耗散是指波幅因阻尼作用而衰减的现象弥散是指波的相速度随波数发生变化的现象。,深水波相速度 为弥散波或称色散波 浅水波相速度为非弥散波,、
26、无耗散和色散的模型,放大因子的模，说明波在传播过程中，经过时刻后振幅没有衰减。放大因子的幅角,表明传播时刻后，同一位置处波的相位迟后为，它是相函数的差；而相速度为与波数无关，没有色散现象。方程描述了无衰减、无弥散的物理现象。,、有耗散的模型,分别为二阶、四阶耗散系数。方程描述了有物理耗散而无色散的波运动。耗散系数引起波幅的衰减，但相速度不发生改变。,、有弥散的模型,、称为三阶、五阶弥散系数 方程描述了有弥散的波动，波分量的振幅值不随时间变化，而相速度是波数的函数。,三、数值耗散和弥散,用差分方程逼近微分方程时引入了误差，有时这些误差项使计算结果的幅值衰减和相速度发生变化，其作用相当于流动中的物
27、理耗散和弥散，这种虚假的物理效应称作数值耗散和数值弥散。,例如：对流方程描述的是既无耗散又无弥散的流体运动 格式的等价方程,截断面误差 所以,代入等价方程,忽略高阶小量得 二阶数值耗散系数,方程适定性的要求差分格式的适定性的必要条件为：与该格式的稳定性条件相同，可见通过上述分析出差分格式稳定性的一些必要条件，这种方法称之为方法，可以用于方程组的非线性问题的分析。上述是分析了截断误差的主要部分，如果将后面的高阶小量展开后可知，该格式同样存在弥散，但与耗散相比要小。一般分析主要部分的数值效应而略去高阶小量。,同理有,格式等价方程二阶数值耗散系数 格式等价方程二阶数值耗散系数,蛙跳格式等价方程三阶弥
28、散系数,四、混淆误差,空间离散无法辨认小于的波长，这时小于的短波分量会补充到长波分量中，从而使长波分量发生畸变，甚至可能引起计算的不稳定。这种使短波分量补充到长波分量中，从而使长波分量发生畸变而导致的误差称为混淆误差。因此在具体问题中选取时，应保证波的主要分量变得充分“长”，即充分大。,函数 导数差商,差商与导数的比值为衰减比：长波有，衰减系数：因为，所以长波幅值很小，差商是微商好的近似，且当时,考虑可辨认的短波。如，则，衰减比为，这时差商带来了很大的误差。对于和空间步长接近的短波，差商无法近似导数。,第四章 河道水流计算,天然河道水流常被认为一维流动,描述河道水流的基本方程为圣维南方程组,该
29、方程是双曲线型微分方程,有两类基本的求解方法,一是基于该方程的特征线形式的特征线法,二是基于最初导出的偏微分方程的有限差分。有限差分法随着计算技术的发展和计算机速度的提高，已广泛应用于非恒定流计算，下面着重介绍适用于河道水流计算的有限差分法。,第四章 河道水流计算,天然河道水流常被认为一维流动,描述河道水流的基本方程为圣维南方程组,该方程是双曲线型微分方程,有两类基本的求解方法,一是基于该方程的特征线形式的特征线法,二是基于最初导出的偏微分方程的有限差分。有限差分法随着计算技术的发展和计算机速度的提高，已广泛应用于非恒定流计算，下面着重介绍适用于河道水流计算的有限差分法。,第一节 蛙跳格式,j
30、-1,j,j+1,x,t,图41蛙跳格式离散化,i-1,i+1,i,x,n-1,n,n+1,图42蛙跳格式的两个独立网格,t,蛙跳方法是最先使用的方法之一，其优点是接近二阶精度，用式(45)计算流量并非如此，不过质量守恒是很好的，因为B是常数时连续方程的近似解是二阶的。但所得的结果为锯齿形线，原因是因变量是在奇、偶交替的点上计算的,如图(4-2)所示,和网格点互不相关。据科伦（，）和库奇米（，）指出,对于恒定流,真解由网格的偶数点给定(从0点开始,以后是2、4、6、.)，空间步数也应是偶数。否则,就会引进像锯齿幅度那样的同阶误差。,第二节 格式,和W提出了有限差分格式写成守恒形式的一阶微分方程
31、系统为：,该方程首先应用于气体动力方程的系统。,x,t,n+1,n+1/2,n,j-1,j,j+1,j-1/2,j+1/2,图43格式的离散化,应用台劳级数将解 在 已知值 的邻域展开,式中是(）关于的雅可比行列式,令为常数,则有:,格式的稳定性条件为：式中是矩阵的特征值,格式的使用,需要初始条件尽可能满足流动方程,格式具有二阶精度,而且是不耗散的,这样,它不会使初始扰动光滑化。对于这一方程和的边界值需用特征线法计算。,第三节 隐式格式,格式应用的微分方程形式与常用的有所不同,在连续方程中用“存储宽度”的概念,在动量方程中用“计算宽度”的概念,n,n+1,t,x,j,j+1,j+2,j-1,j
32、-2,t,x,图46 格式的离散,h,h,h,Q,Q,Abbott格式是无条件稳定的,如果 过大时,它的收敛速度较慢。,差分方程采用追赶法求解.,不管怎样,这种格式可以在相当大的数下计算仍然保持稳定。在潮汐波计算中,数可取1020,在明渠水流计算中,数可取100。,第四节隐式格式,由于采用显格式对时间步长t要施加限制,从而促使有限差分的隐式方法得到发展。1960年发展起来的隐式方法,其离散方式实际是一个四点隐格式。,x/2,x,t,t,图47 格式离散,n+1,n,j,j+1,（1-）t,t,x,M,式中加权系数,。这是Preissmann原始离散的方法,对圣维南方程进行离散,得到以增量表达的
33、非线性方程组,忽略二阶微量简化成为线性代数方程组,可以直接求解。,四点线性隐格式,连续方程,其中：,动量方程,其中 均由初值计算，所以方程组为常系数线性方程组。对一条具有-个河段的河道（如图4-8所示),有2(L2-L1）个未知变量，可以列出(L-L)个方程，加上河道两端的边界条件，形成封闭的代数方程组。可唯一求解断面的水位和流量。,L1,L1+1,L2,图48计算河段示意图,格式的稳定条件和精度是：格式无条件稳定 格式有条件稳定 对于任意的值，精度是一阶的(，），对于0.5精度是从实用的观点，宜选大于0.5的值。,对于河道的边界条件，一般有如下三种情况：水位已知 流量已知 水位流量关系,、水位边界条件的计算,对于水位已知的边界条件，可设如下的追赶方程,因为所以,由此递推关系可得：，与下边界联立可求得 回代可求出。,、流量边界条件的计算,对于流量已知的边界条件，可假设如下追赶关系：,因为
