1、,线性代数,第三章 线性方程组第一节 高斯消元法,本章讨论 n 个未知数 m 个方程的线性方程组的解,2.探讨线性方程组解的情况 a.何时有解,何时无解 b.若有解,则有多少组解 c.若有无穷多解,如何表示,1.方法:高斯消元法,用高斯消元法解线性方程组,解,例1,用回代法求出解：,其中 x3 为任意实数,2,小结,1.上述解方程组的方法称为高斯消元法,2.始终把方程组看作一个整体变形,用到 如下三种变换:,这些变换统称为线形方程组的初等变换。,3.上述三种变换都是可逆的,在上述变换过程中,只对方程组的系数和常数 进行运算,未知量 xi 并未参与运算,若记,则对方程组的变换完全可以转换为对矩阵
2、 B(方程组 AX=b 的增广矩阵)的变换,B=(A|b)=,用矩阵的初等行变换解方程组(1)：,对应的方程组为,由下到上逐个解得,r3 2,r4 r3,其中 x3 为任意实数,解线性方程组,解,解得唯一解,(A,b)=,x3=2,x2=3,x1=1,例2,解线性方程组,解,所以这是一个矛盾方程组,故方程组无解.,(A,b)=,例3,线性方程组,系数矩阵,增广矩阵,方程组有解的充要条件是 dr+1=0,其中 cii 0,i=1,r,线性方程组解的判定定理,a.当 r(A)=n 时,有唯一解,实际上 r 就是矩阵 A 的秩,r=r(A),线性方程组 Ax=b 有解的充要条件是,在有解的情况下:,b.当 r(A)n 时,有无穷多解,并且自由未知量的个数是 n r(A),齐次线性方程组为 Ax=O,即,显然零向量必为它的解,称为零解.,推论,3.当 m n 时,必有非零解,t 为何值时线性方程组,解,有解?并求解.,方程组有无穷多解.,例4,有解?并求解.,当 t=1 时,方程组可变换为,解,自由未知量为 3 2=1 个,设为 x3,则方程组的解为,其中 x3 为任意实数,t 为何值时线性方程组,例4,用高斯消元法解线性方程组,解,所以,
