1、23:01 23:01 第四节 高阶系统的时域分析第四节 高阶系统的时域分析第三章 时域分析法第三章 时域分析法23:01 23:01 项 目内 容教 学 目 的掌握高阶系统的阶跃响应时域表达形式，运动的五种模态，高阶系统近似为二阶系统的条件。教 学 重 点高阶系统的降阶处理方法以及 matlab 图形分析方法。教 学 难 点高阶系统复数域表达式的部分分式形式的推导。讲授技巧及注意事项尽可能将表达式转换过程中所使用的数学基础讲清楚，再将表达式和图形一一对应起来。3-4 高阶系统的时域分析高阶系统的时域分析23:01 23:01 描述系统的微分方程高于二阶的系统为高阶系统。工程上通常把高系采用点
2、的念适阶统闭环极概当地近似成低系（如二或三）行分析。阶统阶阶进原因：1、高系的算比困；阶统计较难2、在工程的多中，分究精确往设计许问题过讲往是不必要的，甚至是无意的。义23:01 23:01 1011110111()()()()()()()()nnnnnnmmmmmmdddac tac tac ta c tdtdtdtdddbr tbr tbr tb r tdtdtdt-+=+LL一、高阶系统的单位阶跃响应10111011()mmmmnnnnb sbsbsbsa sa sasa-+F=+LL进行拉氏变换可得：12211()()(2)mriiqrjkkkjkKszspssz ww=-=-+照23
3、:01 23:01 12211()1()()(2)mriiqrjkkkjkKszC sssspssz ww=-=-+照022112qrjkkjkjkkkAAB sCsspssz ww=+=+-+邋100()ALAs-=11111()()jqqqp tjjjjjjjjAALLA espsp-=-邋进行拉氏反变换：在单位阶跃信号下的响应：23:01 23:01 1222222()()(1)()(1)kkkkkkkkkkkkkkkCBB sLssz wz wz wwzz wwz-+=+-+-1222kkkkkB sCLssz ww-+2211kkkkwzwz-()12222()()kkkkkkkkk
4、kkkB sBCLsz wz wz wz ww-+-+=+-+222cos(1)sin(1)1kkkkttkkkkkkkkkkkCBB etetz wz wz wwzwzwz-=-+-kDsinkktkdkkA etz wwj-=+23:01 23:01 1011()()sinjkkqrp ttjkdkkjkc tLC sAA eA etz wwj-=+邋结论结论(性能分析性能分析)：1、高阶系统的时间响应，由一阶惯性子系统和二阶、高阶系统的时间响应，由一阶惯性子系统和二阶振荡子系统的时间响应函数项组成；振荡子系统的时间响应函数项组成；2、如果高阶系统所有闭环极点都具有负实部，随着、如果高阶系
5、统所有闭环极点都具有负实部，随着t 的增长，上式的第二项和第三项都趋于的增长，上式的第二项和第三项都趋于 0，系统的，系统的稳态输出为稳态输出为 A0。23:01 23:01 按照一阶和二阶暂态响应指数的衰减系数的正负值，将暂态响应的运动形式分为 5 个模态：jp te pj0nzw-0 一阶发散模态二阶收敛模态二阶等幅振荡模态二阶发散模态运动的模态运动的模态一阶模态23:01 23:01 012345600.10.20.30.40.50.60.70.80.91Im p u ls e R e s p o n s eT im e (s e c)A m p lit u d e零极点分布图：零极点分
6、布图：传递函数：传递函数：-pj0运动模态 1()AsspF=+()ptc tAe-=1()1ssF=+23:01 23:01 00.511.522.5024681 01 21 4Im p u ls e R e s p o n s eT im e (s e c)A m p lit u d e零极点分布图：零极点分布图：传递函数：传递函数：运动模态 2()AsspF=-()ptc tAe=1()1ssF=-pj023:01 23:01 051 01 52 02 53 0-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.811.2Im p u ls e R e s p o n s eT im
7、 e (s e c)A m p lit u d e零极点分布图：零极点分布图：传递函数：传递函数：运动模态 31122()()AsBssab+F=+()sin()atc tAebta-=+21()(0.2)1sss+F=+-ajb023:01 23:01 051 01 52 02 53 03 54 0-1.5-1-0.500.511.5Im p u ls e R e s p o n s eT im e (s e c)A m p lit u d e零极点分布图：零极点分布图：传递函数：传递函数：运动模态 41122()AsBssb+F=+()sin()c tAbta=+21()1sss+F=+j
8、b023:01 23:01 024681 01 21 41 61 82 0-8-6-4-2024681 01 2Im p u ls e R e s p o n s eT im e (s e c)A m p lit u d e零极点分布图：零极点分布图：传递函数：传递函数：运动模态 51122()()AsBssab+F=-+()sin()atc tAebta=+21()(0.1)1sss+F=-+ajb023:01 23:01 运动模态总结 j0j0j0j0j0012345600.10.20.30.40.50.60.70.80.91Im p u ls e R e s p o n s eT im
9、e (s e c)Amplitude00.511.522.5024681 01 21 4Im p u ls e R e s p o n s eT im e (s e c)Amplitude051 01 52 02 53 03 54 0-1.5-1-0.500.511.5Im p u ls e R e s p o n s eT im e (s e c)Amplitude024681 01 21 41 61 82 0-8-6-4-2024681 01 2Im p u ls e R e s p o n s eT im e (s e c)Amplitude051 01 52 02 53 0-0.8-0
10、.6-0.4-0.200.20.40.60.811.2Im p u ls e R e s p o n s eT im e (s e c)Amplitude23:01 23:01 1011()()sinjkkqrp ttjkdkkjkc tLC sAA eA etz wwj-=+邋结论结论 3：响应曲线的类型由闭环极点决定：响应曲线的类型由闭环极点决定 如果有一个闭环极点位于如果有一个闭环极点位于 s 右半平面，右半平面，则由它决定的模态是发散的，在其他模态则由它决定的模态是发散的，在其他模态(位于位于 s左半平面的极点决定左半平面的极点决定)，随，随 t 的推移最终趋于其对的推移最终趋于其对应
11、的稳定值的时候，它的作用就会显现出来，导应的稳定值的时候，它的作用就会显现出来，导致整个系统对外显示是发散的。致整个系统对外显示是发散的。23:01 23:01 1011()()sinjkkqrp ttjkdkkjkc tLC sAA eA etz wwj-=+邋结论结论 4：响应曲线的形状和闭环极点和零点有关。：响应曲线的形状和闭环极点和零点有关。对于稳定的系统，闭环极点负实部的绝对值越大(极点距虚轴愈远)，则其对应的响应分量(模态)衰减的越迅速，否则，衰减的越慢。(和极点有关)在留数的计算过程中，要用到 C(s),而 C(s)中包含有闭环的零点，因此不可避免地要影响到留数的值，而留数的数值
12、实际上就是指数项的系数。(和零点有关)()()iiispAC s sp=-23:01 23:01 a.a.零极点相互靠近，则对零极点相互靠近，则对 A Ai i的影响就越小，且的影响就越小，且离虚轴较远离虚轴较远(衰减速度快衰减速度快)，对，对 c(t)影响越小；影响越小；b.b.零极点很靠近，对零极点很靠近，对 c(t)几乎没影响；几乎没影响；c.c.零极点重合偶极子，对零极点重合偶极子，对 c(t)无任何影响；无任何影响；d.d.极点极点 pj j附近无零点，且靠近虚轴，则此极点附近无零点，且靠近虚轴，则此极点对对 c(t)影响大。影响大。()()iiispAC s sp=-进一步理解进一
13、步理解 高系的瞬特性主要由系函阶统态统传递数中那些靠近而又离零点的点虚轴远极(主导极点)定。来决23:01 23:01 主点导极1、离最近虚轴;2、附近有零点存在没;3、其他所有点离极远虚轴(的距与虚轴离都在此点的距离的五倍以上极与虚轴)。5 j主导极点主导极点二、高阶系统的二阶近似23:01 23:01 周围没有闭环零点：其输出响应的模态在总的响应中占的比重大(没有其它零点把它的作用抵消掉)；原因：离虚轴近：由此极点决定的指数项衰减缓慢，等其它闭环极点随时间的推移作用消失后，其作用仍然存在，并逐渐显现出来；其它闭环极点远离虚轴：其它闭环极点决定的模态和主导极点决定的模态相比衰减很快。高系的瞬
14、特性主要由系函阶统态统传递数中的主点定。导极决23:01 23:01 偶极子：偶极子：j 5偶极子 作用：通过增加含有零点的微分环节使某些通过增加含有零点的微分环节使某些极点的作用减小或消失；或者增加含有极点的惯性极点的作用减小或消失；或者增加含有极点的惯性环节使某些零点的作用减小或消失。环节使某些零点的作用减小或消失。定义：定义：一对非常靠近的零、极点会使该极一对非常靠近的零、极点会使该极点的对应留数很小，其在系统动态响应中的作用近点的对应留数很小，其在系统动态响应中的作用近似相互抵消，这对零极点叫做偶极子。似相互抵消，这对零极点叫做偶极子。23:01 23:01 高阶系统单位阶跃响应类似于
15、二阶响应高阶系统单位阶跃响应类似于二阶响应051 01 52 02 53 000.0 50.10.1 50.20.2 50.30.3 50.4S t e p R e s p o n s eT im e (s e c)A m p lit u d ett1()G sr(t)c(t)321()234G ssss=+23:01 23:01 高系的主点常常是共阶统导极点，因此高系可以常用轭复数极阶统主点成的二系近似。相导极构阶统来的性能指可按二系的各指应标阶统项估。在高系，常利标来计设计阶统时用主点的念系，导极概来选择统参数使系具有期的一共主统预对轭复数导点，就可以近似的用二系极这样阶的性能指系。统标来
16、设计统23:01 23:01 高阶系统的降阶简化思路：高阶系统的降阶简化思路：1、去除传递函数中影响较小的极点；去除传递函数中影响较小的极点；2、利用偶极子概念的零极点抵消作用，最终降为、利用偶极子概念的零极点抵消作用，最终降为二阶或三阶系统。二阶或三阶系统。注意保持系统稳态放大倍数不变，即注意保持系统稳态放大倍数不变，即(0)不变或不变或 A0不变。不变。23:01 23:01 例：例：已知系统的传递函数如下，试讨论系统简化的 已知系统的传递函数如下，试讨论系统简化的可能性。可能性。)10)(1(10)(sssGj-1-10s=-1 为主导极点，忽略极点为主导极点，忽略极点s s=-10=-
17、10 的影响。为了保的影响。为了保持持 G(0)(0)值不变，应将系统简化为：值不变，应将系统简化为：11)(ssG简化前后稳态增益不变23:01 23:01 012345600.10.20.30.40.50.60.70.80.91 S y s t e m:u n t it le d 2 S e t t lin g T im e (s e c):4.0 2 S y s t e m:u n t it le d 1 S e t t lin g T im e (s e c):3.9 1 S y s t e m:u n t it le d 2 R is e T im e (s e c):2.2 2 S
18、 y s t e m:u n t it le d 1 R is e T im e (s e c):2.2 S t e p R e s p o n s eT im e (s e c)A m p lit u d e11()1G ss210()(1)(10)G sss指令：step(tf(1,1,1),hold onstep(tf(10,conv(1,1,1,10)23:01 23:01 例：例：已知系统的传递函数如下，试讨论系统简化的 已知系统的传递函数如下，试讨论系统简化的可能性。可能性。21()(5)(0.81)G ssss=+jws0P=-5.0000 -0.4000+0.9165i -0.
19、4000-0.9165i指令：P,Z=PZMAP(g)23:01 23:01 051 01 500.0 50.10.1 50.20.2 50.30.3 5S t e p R e s p o n s eT im e (s e c)A m p lit u d e321()s+5.8s+5s+5G s=20.2()0.81G sss=+系统传递函数可近似为系统传递函数可近似为20.2()0.81G sss=+21()(5)(0.81)G ssss=+23:01 23:01 例：例：已知系统的传递函数如下，试讨论系统简化的 已知系统的传递函数如下，试讨论系统简化的可能性。可能性。324()(5)(23
20、4)sG sssss+=+指令：P,Z=PZMAP(g)P=-5.0000 -1.6506 -0.1747+1.5469i -0.1747-1.5469iZ=-4-5-4.5-4-3.5-3-2.5-2-1.5-1-0.50-2-1.5-1-0.500.511.52P o le-Z e r o M a pR e a l A x isI m a g in a r y A x ispzmap(g)23:01 23:01 051 01 52 02 53 03 500.0 50.10.1 50.20.2 50.30.3 5S t e p R e s p o n s eT im e (s e c)A m
21、 p lit u d e324()(5)(234)sG sssss+=+去掉偶极子后的曲线与原曲线的比较：321()234G ssss=+23:01 23:01 051 01 52 02 53 03 500.0 50.10.1 50.20.2 50.30.3 5 S y s t e m:g 2 S e t t lin g T im e (s e c):2 2.4 S y s t e m:g 1 S e t t lin g T im e (s e c):2 1 S y s t e m:g 2 R is e T im e (s e c):0.7 2 1 S y s t e m:g 1 R is e
22、 T im e (s e c):0.9 3 9 S t e p R e s p o n s eT im e (s e c)A m p lit u d e去掉非主导极点和偶极子后的曲线与原曲线的比较：324()(5)(234)sG sssss+=+321.65064()2341.6506 5sG ssss+=+23:01 23:01-1j0附加零点主导极点92.04.0j-1j0附加极点主导极点92.04.0j例：例：2 阶系统的传递函数阶系统的传递函数为为 18.01)(2sssG附加零点后的传函为附加零点后的传函为 18.01)(2ssssG附加极点后的传函为附加极点后的传函为)1)(18.
23、0(1)(2ssssG23:01 23:01 051 01 500.511.5S t e p R e s p o n s eT im e (s e c)A m p lit u d e21()0.81G sss221()0.81sGsss321()(0.81)(1)G ssss三个系统的稳态增益相等。23:01 23:01 从变化中理解高阶系统的动态响应：从变化中理解高阶系统的动态响应：1.附加闭环零点使系统响应加快，附加闭环零点使系统响应加快，tr减小，超调量减小，超调量增大。相当于增大。相当于 2 阶系统的阻尼系数变小。阶系统的阻尼系数变小。2.附加闭环极点使系统响应变慢，附加闭环极点使系统响应变慢，tr增加，超调量增加，超调量减小。相当于减小。相当于 2 阶系统的阻尼系数增加。阶系统的阻尼系数增加。21()0.81G sss=+321()(0.81)(1)G ssss=+221()0.81sG sss+=+05101500.511.5Step ResponseTime(sec)A m p lit u d e23:02 23:02 011()sinjkkqrp ttjkdkkjkc tAA eA etz wwj-=+邋高阶系统单位阶跃响应时域表达形式小结五种模态响应曲线的类型和形状与零极点之间的关系高阶系统二阶近似的条件和方法
