1、 4.5 4.5 周期信号周期信号 的傅立叶变换 的傅立叶变换 欧拉公式欧拉公式欧拉公式欧拉公式一、虚指数信号和正余弦信号的傅立叶变换一、虚指数信号和正余弦信号的傅立叶变换)()(cos000t)()(sin000jt0000jj0jj01cos(ee)21sin(ee)2 jttttttwwwwww-=+=-12()d w00j0j01 e2()1 e2()ttwwpd wwpd ww-传+传而已知而已知而已知而已知根据频移性质根据频移性质根据频移性质根据频移性质所以可得所以可得所以可得所以可得0(2)0()F()F0()0()00()00()()/Fj频谱图：频谱图：频谱图：频谱图：te0
2、jt0cost0sin 频率为频率为0，频谱为频谱为0 处的处的冲激冲激 频率为频率为 0，频谱是频谱是 0 处的处的冲激冲激 傅立叶变换得到的是双边密度谱，必须是在频率轴傅立叶变换得到的是双边密度谱，必须是在频率轴上对称的两个频率才能合成一个物理上的频率分量上对称的两个频率才能合成一个物理上的频率分量。物理含义：物理含义：类似于直流信号，都是只含某一个频率的频率分量，类似于直流信号，都是只含某一个频率的频率分量，所以它们的密度频谱都是冲激函数。所以它们的密度频谱都是冲激函数。注意：注意：一、虚指数信号和正余弦信号的傅立叶变换 一、虚指数信号和正余弦信号的傅立叶变换 设 设 设 设 f f(t
3、 t)是以为 是以为 是以为 是以为 T T 周期的周期信号，则周期的周期信号，则周期的周期信号，则周期的周期信号，则其中其中其中其中则有则有则有则有说明：说明：说明：说明：周期信号的傅立叶变换由无穷多个冲激函数组成，这些冲激函周期信号的傅立叶变换由无穷多个冲激函数组成，这些冲激函周期信号的傅立叶变换由无穷多个冲激函数组成，这些冲激函周期信号的傅立叶变换由无穷多个冲激函数组成，这些冲激函数位于 数位于 数位于 数位于 n n 0 0 处，每一冲激的强度为傅立叶系数乘以 处，每一冲激的强度为傅立叶系数乘以 处，每一冲激的强度为傅立叶系数乘以 处，每一冲激的强度为傅立叶系数乘以 2 2。二、一般周
4、期信号的傅立叶变换二、一般周期信号的傅立叶变换ntnneFtf0j)(T2022j-0)(1TTtnndtetfTFnnntnnnFeFtf)(2)(0j0举 例【例】冲激串函数【例】冲激串函数【例】冲激串函数【例】冲激串函数 T T(t)t)(tTt0)1(TT2TT20)(2)(nnTnFtF222,1)(1TTTTdtetTFtjnTn)()()(2)(nnTnnTt)(0T222周期为周期为=2=2/T/T举 例【例】周期函数的频谱【例】周期函数的频谱【例】周期函数的频谱【例】周期函数的频谱t0TT2TT2)(tft0T)(1tf)(tTt0TT2TT2周期函数 ，其中：周期函数 ，其
5、中：为第一个周期，为第一个周期，为冲激串。为冲激串。)()()(1ttftfT)(1tf)(tT若 ，根据时域卷积定理：若 ，根据时域卷积定理：)()(11jFtf)()()(1jFjF周期函数的傅里叶周期函数的傅里叶变换的一般公式变换的一般公式举 例【例】【例】【例】【例】周期矩形脉冲信号的傅里叶变换周期矩形脉冲信号的傅里叶变换)(jF20)(tfT2t20T1)2()()(1SatGtf第一个周期：第一个周期：nnnSaSajFjF)()2()()2()()()(1故信号的频谱为：故信号的频谱为：显然这是显然这是 T=2T=2 的频谱图的频谱图T2三、傅立叶系数与傅立叶变换的关系三、傅立叶
6、系数与傅立叶变换的关系 例：例：试求周期矩形脉冲试求周期矩形脉冲试求周期矩形脉冲试求周期矩形脉冲(幅度为 幅度为 幅度为 幅度为 1 1、宽度为、宽度为、宽度为、宽度为 、周期为、周期为、周期为、周期为 T)T)的傅立叶变的傅立叶变的傅立叶变的傅立叶变换。换。换。换。t()Tft01TT2解：解：单脉冲信号单脉冲信号单脉冲信号单脉冲信号由傅立叶级数与傅立叶变换的关系，有由傅立叶级数与傅立叶变换的关系，有由傅立叶级数与傅立叶变换的关系，有由傅立叶级数与傅立叶变换的关系，有)2(Sa)()(00Ftft0()f t0122)2(Sa)2(Sa1)(10000nTnTFTFnnntnntnnTenTeFtf00j0j)2(Sa)(t()Tft01TT22t0()f t0122)(0F024624nF024624T()F0246240所以有所以有所以有所以有nnTnnnnTtf)()2(Sa)()2(Sa2)(00000频谱图频谱图频谱图频谱图三、傅立叶系数与傅立叶变换的关系三、傅立叶系数与傅立叶变换的关系
