1、 2.3 等腰三角形的等腰三角形的 性质性质定定理理（1 1）有有 _ 的三角形的三角形 叫做等腰三角形叫做等腰三角形A AC CB B腰腰腰腰底边底边顶角顶角底角底角底角底角 (1)（3）从图形的对称性来说从图形的对称性来说，等腰三角形等腰三角形是是 _ 图形图形,它的它的对称轴是对称轴是 _ 顶角平分线所在的直线。顶角平分线所在的直线。(2)底边和腰相等的等腰三角形底边和腰相等的等腰三角形 是是 _ 三角形三角形？等边等边两边相等两边相等轴对称轴对称 已知已知:在在 ABC中，中，AB=AC求证求证:C=BACBD“等腰三角形的两个底角相等等腰三角形的两个底角相等”ACB 已知：如图，已知
2、：如图，ABC 中，中，AB=AC求证：求证：C=BD证明：作底边证明：作底边 BC 上的中线上的中线 AD AB=AC (已知）AD=AD （公共边）BD=CD (中线的定义）ABD ACD B=C （全等三角形 对应角相等）(SSS)在ABD 和 ACD 中等腰三角形的两个底角相等等腰三角形的两个底角相等 等腰三角形的性质等腰三角形的性质定理定理 1 等腰三角形的两个底角相等等腰三角形的两个底角相等.也可以说成“也可以说成“在同一个三角形中在同一个三角形中,等边对等角等边对等角”用符号语言可表示为：用符号语言可表示为：在在 ABC 中中 AB=AC B=CACB运用等腰三角形性质定理可以进
3、行运用等腰三角形性质定理可以进行简单的计算、推理、判断、简单的计算、推理、判断、.例例 1 如图如图,在在 ABC 中中,AB=AC,A =50,求 求 B ,C的度数的度数.BCA解解:AB=AC,B=C(等腰三角形的两个底角相等)A+B+C=180,A=50 1802ABC 18050652=BA底角底角顶角顶角底角底角顶角顶角 （2 2）等腰三角形的一个底等腰三角形的一个底角是角是 7 70 0，则其顶角是则其顶角是_ （3）如果如果等腰三角形的一个等腰三角形的一个内内角等于角等于 70 那么它的底角度数那么它的底角度数 _.（1）如图，在如图，在 ABC 中，中，AB=AC，外角外角
4、ACD=100，则则 B=_ ABCD100 （4）如果等腰三角形中一个角是另一个角的两如果等腰三角形中一个角是另一个角的两倍，倍，那么它的底角是那么它的底角是 _ 度度小结：当等腰三角形中遇“角”的计算问题，小结：当等腰三角形中遇“角”的计算问题，需对各种可能的情况分类讨论需对各种可能的情况分类讨论804070 或 5572 或 45 ACB 推论 推论 等边三角形的各角都相等等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于并且每一个角都等于60 解：ABC 是等边三角形 AB=BC=ACC=A=B（同一个三角形中等边对等角）推论也可以和定理、定义、性质、基本事实推论也可以和定理、定义、性质、基本
5、事实 一 样作为推理、论证的依据一 样作为推理、论证的依据 A=B=C=1803=60如何求等边三角形如何求等边三角形 ABC 的内角 度数？的内角 度数？A+B+C=180 已知已知 AEF 是等边三角形，是等边三角形，点点 B,E，F,C 在同一直线上，在同一直线上，且且 BE=EF=FC，求求 BAC 的度数的度数。ABCEF ABCDE“等腰三角形等腰三角形 两腰上的中线两腰上的中线 _”“等腰三角形等腰三角形 两腰上的高线 两腰上的高线 _ ”“等腰三角形等腰三角形 两底角的平分两底角的平分线线 相等吗”相等吗”？相等 相等 已知：如图，在已知：如图，在 ABC 中，中，AB AC，
6、BD,CE 分别是分别是 ABC,ACB的平分的平分线。线。求证：求证：BD=CEABCDE例例 2 求证求证“等腰三角形两底角的平分线相等”“等腰三角形两底角的平分线相等”等腰三角形两底角的平分线相等等腰三角形两底角的平分线相等 已知：如图，在已知：如图，在 ABC 中，中，AB AC，BD,CE 分别是分别是 ABC,ACB的平分的平分线线求证：求证：BD=CEABCDE证明：AB=AC ABC=ACBBD,CE 分别是分别是 ABC,ACB的平分线的平分线2121(等边对等角）ECB=DBC BCE CBD(ASA)BD=CE(全等三角形对应边相等）ECB=ACB,DBC=ABC 等腰三
7、角形底角的平分线相等 如图，在如图，在 ABC 中，中，AB=AC，P 为为 BC 的中点，的中点，点点 D,E 分别在 分别在 AB,AC 上，上，AD=AE 求证：求证：PD=PE.PD=PE.ABCPDE小结：小结：等腰三角形的性质定理等腰三角形的性质定理-两个底角相等两个底角相等 （或等边对等角）为两个角相等又（或等边对等角）为两个角相等又增加了一种证明方法增加了一种证明方法 等腰三角形等腰三角形的主要特征的主要特征 从角看从角看-从边看从边看-从“三从“三线”看线”看-从整体看从整体看-分类思想 分类思想-在 解决在 解决等腰三角形等腰三角形问题中问题中 有着重要 的作用 有着重要
8、的作用 两边相等两边相等两个底角相等两个底角相等两腰上的中线相等两腰上的中线相等两腰上的高线相等两腰上的高线相等 两底角平分线相等两底角平分线相等是轴对称图形是轴对称图形 （1）已知等腰三角形 ABC 中，A=70求 B 的度数 ABCF （2）已知）已知 ABC 中，中，AB=AC,且且BC=BF=AF 求求 A 的度数的度数13解：BF=AF BF=BC 23+2+C=180 AB=AC 1=A 2=C ABC=C+2+2=180设 A=则 1=2=1+A=2 3=2-=A=36 C=ABC=2（等边对等角）（等边对等角）ABCABCABCFF(1)FA=FB BC=BF (2)FA=FB
9、 CB=CF(3)FA=FB FB=FCF结论：A=36A=22322（3）从等腰三角形纸片的 底角 顶点出发，将其剪成两个）从等腰三角形纸片的 底角 顶点出发，将其剪成两个等腰三角形，求原等腰三角形纸片的顶角度数等腰三角形，求原等腰三角形纸片的顶角度数5=1807=180顶角顶角71800提示：等腰三角形，遇到边提示：等腰三角形，遇到边不确定时要分类讨论不确定时要分类讨论 问题延伸问题延伸 2：从等腰三角形纸片的：从等腰三角形纸片的顶点出发顶点出发，将其剪成两个等腰三角形，将其剪成两个等腰三角形，求出此等腰三角形纸片的顶角度数求出此等腰三角形纸片的顶角度数课后再思考：课后再思考：ABC（2）
10、在）在 ABC 中，中，AB=AC，AB 的中垂线与的中垂线与 AC所在的直线所在的直线相交所得的锐角是相交所得的锐角是 42，求，求 BEFABCEFB=66B=24在没有明确等腰三角形的具体形状时，我们在没有明确等腰三角形的具体形状时，我们要考虑顶角是锐角，直角或钝角的情形。要考虑顶角是锐角，直角或钝角的情形。4242等腰三角形的顶角的等腰三角形的顶角的外角等于底角的外角等于底角的 2 倍倍知识提升二知识提升二：请你判断ABCDE (1)如 图（1），若 AD=AE,则 C=B （）(2)如图（2），若 AE=EC，则 BE 平分 ABC ()ABCE（1）（2）“等边对等角”是指“在同一
11、个三角形中，等边对等角”是指“在同一个三角形中，相等的边所对相等的边所对的角相等”的角相等”(3)如图（3)在 ABC 中，BC=BA ,则 A=C（）（3）CAB 将一把等腰三角尺和一个重锤如将一把等腰三角尺和一个重锤如图放置，就能检查一根讲台边沿是图放置，就能检查一根讲台边沿是否水平，你知道为什么吗？否水平，你知道为什么吗？请你思考请你思考 等腰三角形一条腰上的高与另一条腰的夹角是 50，试求出它顶角的度数挑战自己挑战自己：提示：等腰三角形遇“高线”问题中，要考虑高线在三角形内部和外部两种情形。5050顶角顶角 140顶角是顶角是 40 1 1）等腰三角形等腰三角形一个性质定理一个性质定理：本节课的我们学习了 2 2）等腰三角形等腰三角形一个推论：一个推论：简称：等边对等角 等边三角形的每个内角都等于60 利用利用等腰三角形的性等腰三角形的性质定理质定理 可进行简单的 推理，推理，计算计算。4)分类思想分类思想:在数学解题中起着非常重要的作用3）两底角相等两底角相等
