1、9.5 绝对收敛和条件收敛级数的性质绝对收敛和条件收敛级数的性质引引 言言 对于任意项级数，我们给出对于任意项级数，我们给出绝对收敛绝对收敛与与条件收敛条件收敛的概念，无论是绝对收敛级数的概念，无论是绝对收敛级数还是条件收敛级数还是条件收敛级数,都具有本章第二节所都具有本章第二节所给出的给出的1-41-4个性质个性质,除此而外除此而外,对于这两种对于这两种不同的不同的收敛级数收敛级数,还具有各自不同的重要还具有各自不同的重要性质性质.本节分别进行简单介绍和讨论本节分别进行简单介绍和讨论.3/2/202419.5 绝对收敛和条件收敛级数的性质绝对收敛和条件收敛级数的性质定理定理1:即即即即一一.
2、绝对收敛和条件收敛级数的性质绝对收敛和条件收敛级数的性质此此定定理理揭揭示示的的规规律律？3/2/202429.5 绝对收敛和条件收敛级数的性质绝对收敛和条件收敛级数的性质则这样的级数与原来级数的收敛性有如下结论则这样的级数与原来级数的收敛性有如下结论:3/2/202439.5 绝对收敛和条件收敛级数的性质绝对收敛和条件收敛级数的性质证明：证明：做与（做与（2）结论相反的反面假设：）结论相反的反面假设：3/2/202449.5 绝对收敛和条件收敛级数的性质绝对收敛和条件收敛级数的性质更序级数：更序级数：一个级数把一个级数把它的项重新排列它的项重新排列后后 得到的得到的新级数新级数称为原来级数的
3、称为原来级数的更序级数更序级数。下面的定理下面的定理2将涉及到一个概念将涉及到一个概念3/2/202459.5 绝对收敛和条件收敛级数的性质绝对收敛和条件收敛级数的性质定理定理2：证明：证明：(绝对收敛级数可重排性绝对收敛级数可重排性)3/2/202469.5 绝对收敛和条件收敛级数的性质绝对收敛和条件收敛级数的性质3/2/202479.5 绝对收敛和条件收敛级数的性质绝对收敛和条件收敛级数的性质3/2/202489.5 绝对收敛和条件收敛级数的性质绝对收敛和条件收敛级数的性质证毕证毕3/2/202499.5 绝对收敛和条件收敛级数的性质绝对收敛和条件收敛级数的性质注意：注意：定理对定理对条件
4、收敛级数条件收敛级数不一定成立不一定成立.如莱布尼茨级数如莱布尼茨级数两者虽然都收敛，但其和数却不同两者虽然都收敛，但其和数却不同.3/2/2024109.5 绝对收敛和条件收敛级数的性质绝对收敛和条件收敛级数的性质关于条件收敛级数关于条件收敛级数,有如下性质有如下性质:黎曼定理黎曼定理:证明思路证明思路:(略略)3/2/2024119.5 绝对收敛和条件收敛级数的性质绝对收敛和条件收敛级数的性质二二.级数的乘法运算级数的乘法运算:解决的问题是在什么条件下解决的问题是在什么条件下,两个级数相乘可以像两个级数相乘可以像有有限和限和一样逐项相乘一样逐项相乘.3/2/2024129.5 绝对收敛和条
5、件收敛级数的性质绝对收敛和条件收敛级数的性质通常用通常用“对角线法对角线法”或或“正方形法正方形法”排排列列.将数列用加号相连，就组成无穷级数将数列用加号相连，就组成无穷级数.对对角角线线法法3/2/2024139.5 绝对收敛和条件收敛级数的性质绝对收敛和条件收敛级数的性质正正方方形形法法3/2/2024149.5 绝对收敛和条件收敛级数的性质绝对收敛和条件收敛级数的性质定理定理3 (柯西定理柯西定理):3/2/2024159.5 绝对收敛和条件收敛级数的性质绝对收敛和条件收敛级数的性质证明证明:3/2/2024169.5 绝对收敛和条件收敛级数的性质绝对收敛和条件收敛级数的性质3/2/20
6、24179.5 绝对收敛和条件收敛级数的性质绝对收敛和条件收敛级数的性质3/2/2024189.5 绝对收敛和条件收敛级数的性质绝对收敛和条件收敛级数的性质证毕证毕3/2/2024199.5 绝对收敛和条件收敛级数的性质绝对收敛和条件收敛级数的性质梅尔腾斯（梅尔腾斯（Mertens）定理：）定理：定理定理2和定理和定理3指出，指出，绝对收敛级数绝对收敛级数具有和具有和普通有限项和数相仿的两个运算性质普通有限项和数相仿的两个运算性质-交换交换律和分配律律和分配律成立成立.3/2/2024209.5 绝对收敛和条件收敛级数的性质绝对收敛和条件收敛级数的性质例例作业：作业：p 43、1 3/2/202421
