1、第三章第三章 化工过程系统动态模化工过程系统动态模拟与分析拟与分析3.1 3.1 化工过程系统的动态模型化工过程系统的动态模型 3.1.1 3.1.1 化工过程系统的动态特性化工过程系统的动态特性 3.1.2 3.1.2 化工过程系统的动态模型化工过程系统的动态模型 3.1.3 3.1.3 确定性动态模型的数学处理确定性动态模型的数学处理3.2 3.2 连续搅拌罐反应器的动态特性连续搅拌罐反应器的动态特性 3.2.1 3.2.1 动态数学模型动态数学模型 3.2.2 3.2.2 模型的数学处理与应用（模型的数学处理与应用（）3.2.3 3.2.3 模型的数学处理与应用（模型的数学处理与应用（）
2、3.3 3.3 精馏塔的动态特性精馏塔的动态特性 3.3.1 3.3.1 动态数学模型动态数学模型 3.3.2 3.3.2 模型的数学处理与应用模型的数学处理与应用3.4 3.4 变压吸附过程的模拟与分析变压吸附过程的模拟与分析3.1 3.1 化工过程系统的动态模型化工过程系统的动态模型3.1.1 3.1.1 化工过程系统的动态特性化工过程系统的动态特性动态特性是化工过程系统最基本的特性之一。动态特性是化工过程系统最基本的特性之一。间歇过程、连续过程的开停工、间歇过程、连续过程的开停工、连续过程本征参数依时变化、连续过程本征参数依时变化、控制系统的合成、过程系统局部与全局特性分析控制系统的合成
3、、过程系统局部与全局特性分析 利用人为非定常态操作来强化过程系统性能和实利用人为非定常态操作来强化过程系统性能和实现技术目标等现技术目标等动态特性还可以用于辨识某些系统的结构、过程的机动态特性还可以用于辨识某些系统的结构、过程的机理和估计描述系统性能的模型参数，甚至作为诊断过理和估计描述系统性能的模型参数，甚至作为诊断过程系统运行故障的手段程系统运行故障的手段精细化学品生产中精细化学品生产中:间歇蒸馏、间歇反应、半连续反间歇蒸馏、间歇反应、半连续反应；应；连续过程的开、停工阶段连续过程的开、停工阶段;某些连续过程，某些连续过程，由于催化剂迅速失活或者催化剂在系由于催化剂迅速失活或者催化剂在系统
4、内循环的过程中次第经过处于不同操作条件的区域，统内循环的过程中次第经过处于不同操作条件的区域，如循环流化床催化反应器中的过程和催化剂迅速失活如循环流化床催化反应器中的过程和催化剂迅速失活的固定床催化反应器中的过程的固定床催化反应器中的过程；非线性过程系统的操作、设计和控制等工程实际问题，非线性过程系统的操作、设计和控制等工程实际问题，定态多重性、定态稳定性、参数敏感性等系统定性分定态多重性、定态稳定性、参数敏感性等系统定性分析的内容；析的内容；诸如间歇过程的优化、变压吸附、变温吸附、化学反诸如间歇过程的优化、变压吸附、变温吸附、化学反应器强制周期操作等人为非定态操作技术的发展应器强制周期操作等
5、人为非定态操作技术的发展;3.1.2 3.1.2 化工过程系统的动态模型化工过程系统的动态模型解决上述问题，最核心、最本质的知识，是如何科学地解决上述问题，最核心、最本质的知识，是如何科学地描述过程系统动态特性的规律，这意味着必需选择或者描述过程系统动态特性的规律，这意味着必需选择或者建立一种既能反映过程系统本质特性，又相对简单明了建立一种既能反映过程系统本质特性，又相对简单明了的数学模型。的数学模型。模模模模型型型型化化化化(Modeling)(Modeling)(Modeling)(Modeling)是是是是现现现现代代代代化化化化学学学学工工工工程程程程方方方方法法法法论论论论的的的的重
6、重重重要要要要组组组组成部分，尤其是过程动态学的核心。成部分，尤其是过程动态学的核心。成部分，尤其是过程动态学的核心。成部分，尤其是过程动态学的核心。根据对过程系统中状态变量分布特征的不同描述方式：根据对过程系统中状态变量分布特征的不同描述方式：集中参数模型集中参数模型 分布参数模型分布参数模型 多级集中参数模型多级集中参数模型根据建立模型的不同方法：根据建立模型的不同方法：统计模型统计模型 确定性模型确定性模型 介于两者之间的半经验模型介于两者之间的半经验模型模型的分类模型的分类根据对过程系统中状态变量分布特征的不同根据对过程系统中状态变量分布特征的不同描述方式描述方式集中参数模型集中参数模
7、型状态变量在系统中呈空间均匀分布状态变量在系统中呈空间均匀分布 （强烈搅拌的反应罐强烈搅拌的反应罐）分布参数模型分布参数模型状态变量在系统内呈非均匀，但一般是连续的空间分布状态变量在系统内呈非均匀，但一般是连续的空间分布（管式反应器）（管式反应器）多级集中参数模型多级集中参数模型一般用于描述多级串连、级内状态变量均匀分布的过程一般用于描述多级串连、级内状态变量均匀分布的过程（板式塔内的传质分离过程）（板式塔内的传质分离过程）根据建立模型的不同方法根据建立模型的不同方法统计模型（经验模型）统计模型（经验模型）由统计、关联输入输出数据而得，表达方式简单，由统计、关联输入输出数据而得，表达方式简单，
8、只需少量计算就能得到结果只需少量计算就能得到结果 弱点弱点:不能或者可以略作小范围的外推不能或者可以略作小范围的外推确定性模型（机理模型）确定性模型（机理模型）通过对系统或者系统内某个微元，列出质量、能通过对系统或者系统内某个微元，列出质量、能量和动量守恒关系式，系统（或微元）内外质量、能量和动量守恒关系式，系统（或微元）内外质量、能量和动量交换速率系数计算式，相关的相平衡关系，量和动量交换速率系数计算式，相关的相平衡关系，化学反应速率表达式和化学反应平衡常数计算式。化学反应速率表达式和化学反应平衡常数计算式。处理的是更一般的情况，模型普遍适用性更强。处理的是更一般的情况，模型普遍适用性更强。
9、化工过程系统确定性动态模型的数学表达形式化工过程系统确定性动态模型的数学表达形式人工智能技术人工智能技术人工智能技术推动了过程系统模型描述和性能模拟方人工智能技术推动了过程系统模型描述和性能模拟方法的进步。法的进步。突出反映在人工神经网络技术在过程系统性能模拟方突出反映在人工神经网络技术在过程系统性能模拟方面的应用。面的应用。对信息的处理响应速度快，自适应性强，具有自学习对信息的处理响应速度快，自适应性强，具有自学习能力等，在过程系统动态模拟与控制方面有独特的优能力等，在过程系统动态模拟与控制方面有独特的优势势3.1.3 3.1.3 确定性动态模型的数学处理确定性动态模型的数学处理正问题正问题
10、模型方程组的求解模型方程组的求解逆问题逆问题模型参数的估计模型参数的估计过程系统的定性分析过程系统的定性分析正问题正问题模型方程组的求解模型方程组的求解所有的参数（包括设计、物性、传递和操作参数等）都已所有的参数（包括设计、物性、传递和操作参数等）都已给定，利用模型来预测系统的状态分布及其在时间域的运给定，利用模型来预测系统的状态分布及其在时间域的运动（变化）情况。动（变化）情况。预测给定操作条件下系统的性能，对系统的操作性能预测给定操作条件下系统的性能，对系统的操作性能进行模拟；进行模拟；考察某些模型参数的变化对系统性能的影响，系统的考察某些模型参数的变化对系统性能的影响，系统的参变性能分析
11、；参变性能分析；在控制系统设计中利用模型来帮助在控制系统设计中利用模型来帮助“发生发生”系统的输系统的输入入输出关系输出关系逆问题逆问题模型参数的估计模型参数的估计已经从实验装置或生产装置上采集到在非定常条已经从实验装置或生产装置上采集到在非定常条件下系统状态变量随时间变化的信息，要求从中件下系统状态变量随时间变化的信息，要求从中估计出描述这一非定常态过程的模型中某些未知估计出描述这一非定常态过程的模型中某些未知参数的数值参数的数值-已知状态在时间域的运动情况，已知状态在时间域的运动情况，要求估计模型参数。要求估计模型参数。例：对CSTR的开工过程其中其中u、u0 分别代表任一时刻和起始时刻的
12、状态向量，分别代表任一时刻和起始时刻的状态向量，代表未知而且待估计的参数向量。代表未知而且待估计的参数向量。模型参数估计就是为了确定参数向量模型参数估计就是为了确定参数向量的最优值，使限制的最优值，使限制下的解最大限度地逼近已采集到的状态变量在不同时刻的下的解最大限度地逼近已采集到的状态变量在不同时刻的离散数据离散数据。其中其中 F称为最优化的目标函数，或评价函数。称为最优化的目标函数，或评价函数。udi,j代表第代表第i个状态变量在个状态变量在j时刻的采集数据。时刻的采集数据。uci,j代表第代表第i个状态变量在个状态变量在j时刻的模型计算值，即在时刻的模型计算值，即在j时时刻的解。刻的解。
13、最优化的目标函数被定义为在最优化的目标函数被定义为在M个离散时刻状态变量的采个离散时刻状态变量的采集值与模型计算值偏差的平方和。集值与模型计算值偏差的平方和。状态变量在不同时刻的采集值是已知的，因而状态变量在不同时刻的采集值是已知的，因而F F的值取决的值取决于求解时待定参数向量于求解时待定参数向量的取值，的取值，F F是是的函数。的函数。参数估计就是寻找参数估计就是寻找的最优值，使的最优值，使F达到全局最小值。达到全局最小值。过程系统的定性分析过程系统的定性分析于化工过程系统通常具有很强的非线性性质，于化工过程系统通常具有很强的非线性性质，因而有可能出现定常态多重性、定常态稳定性、因而有可能
14、出现定常态多重性、定常态稳定性、参数敏感性、自激振荡，甚至更复杂的时间序参数敏感性、自激振荡，甚至更复杂的时间序列结构。列结构。原则上都可以通过确定性模型来分析、处理。原则上都可以通过确定性模型来分析、处理。归结为动态微分方程（组）的定性分析，对应归结为动态微分方程（组）的定性分析，对应于现代应用数学中非常活跃的一个分支于现代应用数学中非常活跃的一个分支非线非线性分析或非线性现象与复杂性分析。性分析或非线性现象与复杂性分析。3.2 3.2 连续搅拌罐反应器的动态特性连续搅拌罐反应器的动态特性选择理由：选择理由：O通常采用集中参数模型，典型性；通常采用集中参数模型，典型性；O在模型的数学处理方法
15、方面，与其它类型的化工在模型的数学处理方法方面，与其它类型的化工过程系统集中参数模型也有相似性；过程系统集中参数模型也有相似性；O常常涉及到非线性系统的定性分析问题，也具有常常涉及到非线性系统的定性分析问题，也具有典型性，所运用的分析方法有普遍意义。典型性，所运用的分析方法有普遍意义。3.2.1 3.2.1 动态数学模型动态数学模型 例例例例3 31 1：敞口连续操作搅敞口连续操作搅拌罐的流量计算。拌罐的流量计算。进料量为进料量为Fi,原有料液高原有料液高度为度为H0，试求取自开工后，试求取自开工后排料量的变化关系。排料量的变化关系。设搅拌罐的横截面积设搅拌罐的横截面积为为A，排液量与罐中料液
16、的，排液量与罐中料液的高度成正比关系，即：高度成正比关系，即：FokH。FoFiH图图3-1.敞口搅拌罐示意图敞口连续操作搅拌罐的流量计算敞口连续操作搅拌罐的流量计算质量累积速率质量流入速率质量流出速率质量累积速率质量流入速率质量流出速率将初始化条件：将初始化条件：t=0时，时，H=H0代入式，并化简可得：代入式，并化简可得：排液量与时间的变化关系为：排液量与时间的变化关系为：-0.7-0.501图图3-2.搅拌罐中液位高度随时间的变化关系图搅拌罐中液位高度随时间的变化关系图例例32：搅拌槽内含盐量的动态模型：搅拌槽内含盐量的动态模型作盐组分的物料平衡，有：作盐组分的物料平衡，有：初始情况是槽
17、内盛有初始情况是槽内盛有V V0 0的水，把浓度为的水，把浓度为C Ci i的盐水以的盐水以恒定流量恒定流量F Fi i加入槽内，与此同时完全混合后的盐水以加入槽内，与此同时完全混合后的盐水以恒定流量恒定流量F Fo o排放，试求槽内盐水浓度排放，试求槽内盐水浓度C C的变化规律。的变化规律。作盐水溶液的总物料衡算关系，有：作盐水溶液的总物料衡算关系，有：表明有两项累积量，第一项是因浓度变化而引起的，表明有两项累积量，第一项是因浓度变化而引起的，第二项是由体积变化所引起的，这两项皆与求解有重第二项是由体积变化所引起的，这两项皆与求解有重要关系。要关系。积分，并利用初始条件积分，并利用初始条件
18、t=0t=0时，时，V VV V0 0，可以得出：，可以得出：其中，其中，B为积分常数。为积分常数。将初期条件：将初期条件：t=0时，时，C=0代入式，可以解出代入式，可以解出B，于是，于是可以化简为：可以化简为：上上式式是是普普遍遍情情况况下下例例32的的分分析析解解，但但其其中中隐隐含含有条件有条件FiFo。当当FiFo时，存在时，存在VV0，此时，问题的分析解为：，此时，问题的分析解为：FI=FoFI=5FoFI=2Fo小结小结以上例子通过一些理想化的假设，削减了过程的复杂以上例子通过一些理想化的假设，削减了过程的复杂性，使得该过程可以通过数学方式精确求解性，使得该过程可以通过数学方式精
19、确求解对于一般的连续搅拌罐式反应器，除总物料衡算和组对于一般的连续搅拌罐式反应器，除总物料衡算和组分物料衡算外，还存在着伴随化学反应的热效应以及分物料衡算外，还存在着伴随化学反应的热效应以及反应罐本身的热衡算。反应罐本身的热衡算。对于这种复杂的过程，是不太可能通过数学方法精确对于这种复杂的过程，是不太可能通过数学方法精确求解的，一般要通过数值方法进行积分运算，方可求求解的，一般要通过数值方法进行积分运算，方可求得过程的解。得过程的解。通常假定反应罐内处于通常假定反应罐内处于分子级理想混合，且为分子级理想混合，且为液相均相反应，因此可液相均相反应，因此可以认为反应混合物的以认为反应混合物的温温度
20、度和和组成组成在反应区里是在反应区里是均匀的，均匀的，进一步假定反应区的进一步假定反应区的容容积积不随时间变化，则加不随时间变化，则加料与排料的流量也可以料与排料的流量也可以认为是近似相等的，即认为是近似相等的，即Fin Fout=F。普遍性的普遍性的CSTR问题问题对于一个包含对于一个包含M个组分和个组分和N个反应的系统个反应的系统i组分质量守恒组分质量守恒其中，其中，V、F分别代表反应区容积和加料容积流量；分别代表反应区容积和加料容积流量；Ci、Ci,f分别代表反应器内和加料中第分别代表反应器内和加料中第i组分的浓度；组分的浓度；t表示时间；表示时间；其中，其中，T、Tf分别代表反应区内和
21、加料混合物的温度；分别代表反应区内和加料混合物的温度；U表示反应液体与冷却剂之间热交换的总传热系数；表示反应液体与冷却剂之间热交换的总传热系数；A表示反应液体与冷却剂之间的总传热面；表示反应液体与冷却剂之间的总传热面；Tc表示冷却剂平均温度；表示冷却剂平均温度；、Cp分别代表反应混合物的平均密度与比热容；分别代表反应混合物的平均密度与比热容；（Hj）表示第）表示第j个反应的热效应；个反应的热效应；Rj表示第表示第j个反应的速率；个反应的速率；Ri表示因化学反应引起的第表示因化学反应引起的第i个组分浓度的变化速率个组分浓度的变化速率反应区能量守恒反应区能量守恒其中，其中，i，j表示第表示第j反应
22、计量式中反应计量式中i组分的系数。组分的系数。初始条件的约束初始条件的约束式（式（式（式（3 3 3 320202020）（）（）（）（3 3 3 323232323）就构成所讨论的连续）就构成所讨论的连续）就构成所讨论的连续）就构成所讨论的连续操作搅拌罐反应器的动态数学模型。操作搅拌罐反应器的动态数学模型。操作搅拌罐反应器的动态数学模型。操作搅拌罐反应器的动态数学模型。+HINT运用化学反应工程课程中关于化学反应计量学的运用化学反应工程课程中关于化学反应计量学的知识，还可以对上述模型进行简化。知识，还可以对上述模型进行简化。仅对几个着眼组分写出质量守恒式（仅对几个着眼组分写出质量守恒式（32
23、0）,减减少模型涉及的常微分方程的个数。少模型涉及的常微分方程的个数。其它非着眼组分的浓度，可以利用其它非着眼组分的浓度，可以利用“在化学反应在化学反应过程中，所涉及的每一种元素的总原子数守恒过程中，所涉及的每一种元素的总原子数守恒”这一化学计量学基本原理，通过相应的代数方程这一化学计量学基本原理，通过相应的代数方程（组）来推算。（组）来推算。3.2.2 3.2.2 模型的数学处理与应用（模型的数学处理与应用（）上述动态数学模型的正问题在计算数学上是典型上述动态数学模型的正问题在计算数学上是典型的的常微分方程组的初值问题常微分方程组的初值问题常微分方程组的初值问题常微分方程组的初值问题，通常可
24、以利用，通常可以利用龙格龙格龙格龙格库塔法（库塔法（库塔法（库塔法（R-KR-KR-KR-K），基尔（），基尔（），基尔（），基尔（GearGearGearGear）法等通用程序来法等通用程序来求数值解。求数值解。3.2.2.1 3.2.2.1 3.2.2.1 3.2.2.1 应用应用应用应用1111开工过程分析开工过程分析开工过程分析开工过程分析计算开工过程所需要的时间计算开工过程所需要的时间计算开工过程所需要的时间计算开工过程所需要的时间：从给定的初始条从给定的初始条件出发，求模型的数值解，求取直至状态变量件出发，求模型的数值解，求取直至状态变量的每一个分量的每一个分量C Ci i、T T
25、接近定常值所需要的时间，接近定常值所需要的时间，就是近似的开工时间就是近似的开工时间研究初始条件对开工过程的影响：研究初始条件对开工过程的影响：研究初始条件对开工过程的影响：研究初始条件对开工过程的影响：改变不同的改变不同的初始条件，通过数值分析考察初始条件（开工初始条件，通过数值分析考察初始条件（开工条件）的不同对开工时间的影响，了解在开工条件）的不同对开工时间的影响，了解在开工过程中系统状态变化的经历与初始条件的相互过程中系统状态变化的经历与初始条件的相互关系，从而可以帮助制订适当的开工方案，达关系，从而可以帮助制订适当的开工方案，达到既缩短开工时间，又不致使开工过程出现某到既缩短开工时间
26、，又不致使开工过程出现某些工艺上不允许的温度和浓度些工艺上不允许的温度和浓度3.2.2.2 3.2.2.2 应用应用22动态响应的数字仿真动态响应的数字仿真在控制系统合成过程中，了解被控制对象的输入输出在控制系统合成过程中，了解被控制对象的输入输出关系是最基本的需要。关系是最基本的需要。传统的方法是在对象上进行实验测试，既耗费人力物传统的方法是在对象上进行实验测试，既耗费人力物力，还可能会干扰系统的正常操作力，还可能会干扰系统的正常操作.利用数字仿真技术来了解对象的动态响应特性，即输利用数字仿真技术来了解对象的动态响应特性，即输入输出关系，就要简单得多。入输出关系，就要简单得多。步骤步骤建立过
27、程系统的确定性动态数学模型；建立过程系统的确定性动态数学模型；确定考察哪些通道的输入确定考察哪些通道的输入输出关系，即确定输入变量；输出关系，即确定输入变量；把给定的定常状态作为初始条件，逐一考察每一个输入变把给定的定常状态作为初始条件，逐一考察每一个输入变量在设计值上下阶式改变某个百分数对状态变量（输出）量在设计值上下阶式改变某个百分数对状态变量（输出）的影响。的影响。通常把结果表示成状态变量瞬时值与定常值之间的偏差随通常把结果表示成状态变量瞬时值与定常值之间的偏差随时间的变化曲线，而将输入变量变化的百分数作为参变量时间的变化曲线，而将输入变量变化的百分数作为参变量3.2.3 3.2.3 模
28、型的数学处理与应用（模型的数学处理与应用（）系统的定态对应于令式（系统的定态对应于令式（320）、（）、（321）左端为）左端为零时，相应非线性代数方程组的解。如果有多重根，零时，相应非线性代数方程组的解。如果有多重根，就意味着系统有可能出现多重定态就意味着系统有可能出现多重定态即，在设计参数（像即，在设计参数（像V、A等）、物性参数（等）、物性参数（、Cp等）和操作参数（等）和操作参数（F，Ci,f,Tf等）都不变的情况下，我等）都不变的情况下，我们可以看到不只一个定常状态们可以看到不只一个定常状态至于实际上看到的是哪一个定态，取决于开工条件至于实际上看到的是哪一个定态，取决于开工条件定态的
29、局部稳定性定态的局部稳定性定态操作只是一种理想的操作状态。定态操作只是一种理想的操作状态。定态局部稳定性，是指由瞬时小干扰引起的对定常态的偏定态局部稳定性，是指由瞬时小干扰引起的对定常态的偏离，在扰动因素消失后，系统能自动回复原始定常态。离，在扰动因素消失后，系统能自动回复原始定常态。定态局部稳定性在工程上是非常重要的性质。因为，只有定态局部稳定性在工程上是非常重要的性质。因为，只有具有局部稳定性的定态，系统的状态始终在定常态附近小具有局部稳定性的定态，系统的状态始终在定常态附近小范围内波动，从而保证操作性能稳定不变。范围内波动，从而保证操作性能稳定不变。如果在给定的定态近旁，模型常微分方程组
30、的雅可必如果在给定的定态近旁，模型常微分方程组的雅可必矩阵的所有特征值都具有负实部，则该定常态是渐近矩阵的所有特征值都具有负实部，则该定常态是渐近稳定的。稳定的。例：定常态稳定性例：定常态稳定性假定讨论发生在假定讨论发生在CSTR中的一个均相一级不可逆放热反应中的一个均相一级不可逆放热反应 AB，反应速率可以表示为，反应速率可以表示为RkCA其中，其中，是反应速率常数，是反应速率常数，k0是指前因子，是指前因子，E是反应的活化能，是反应的活化能，R是通用气体常数。是通用气体常数。按照上述集中参数动力学系统定常态局部稳定性的一般原按照上述集中参数动力学系统定常态局部稳定性的一般原理，要使原始常微
31、分方程组雅可必矩阵所有特征值都具有理，要使原始常微分方程组雅可必矩阵所有特征值都具有负实部，必需同时满足下面两个不等式：负实部，必需同时满足下面两个不等式：其中，其中，TS、CA，S分别表示定常态下反应温度和分别表示定常态下反应温度和A组分浓度组分浓度定常态局部稳定性的判据定常态局部稳定性的判据3.2.3.3 3.2.3.3 状态空间状态空间（state space）分析分析状态空间分析是一种图解方法，可以非常直观地了解状态空间分析是一种图解方法，可以非常直观地了解非线性集中参数系统的一系列动态性质。非线性集中参数系统的一系列动态性质。以每一个独立变量作为一个座标轴定义的实数空间以每一个独立变
32、量作为一个座标轴定义的实数空间在这个空间内的一个点，表示一个在这个空间内的一个点，表示一个状态状态状态状态，或者说定义，或者说定义了一个状态向量，这个点也称为了一个状态向量，这个点也称为相点相点相点相点相点的轨迹称为相点的轨迹称为相轨线相轨线相轨线相轨线，简称轨线，它反映了从某个，简称轨线，它反映了从某个特定的初始状态出发，状态演变的历史特定的初始状态出发，状态演变的历史由众多的轨线构成、反映了在所关心的状态变量变化由众多的轨线构成、反映了在所关心的状态变量变化范围内，系统所有动态学定性特征的图形称为范围内，系统所有动态学定性特征的图形称为相轨线相轨线相轨线相轨线图图图图，简称相图，简称相图怎
33、样获得相图怎样获得相图假定讨论单个一级不可逆反应假定讨论单个一级不可逆反应AB的特殊情况。这时，的特殊情况。这时，只有一个着眼组分，设为只有一个着眼组分，设为A对于任意给定的某一初始条件（对于任意给定的某一初始条件（328），利用龙格库），利用龙格库塔或其它适当的求解常微分方程组初值问题的方法，可以塔或其它适当的求解常微分方程组初值问题的方法，可以得到式（得到式（326）、（）、（327）的数值解：）的数值解：t 0 t1 t2 tL t CA CA,0 CA,1 CA,2 CA,L CA,sT T0 T1 T2 TL Ts其中其中 下标下标S表示定常态（表示定常态（表示定常态（表示定常态（Steady StateSteady State）将将CA和和T的的瞬瞬时时数数据据标标注注在在相相平平面面上上并并连连成成标标注注了了运运动动方方向的光滑曲线就得到一条相轨线。向的光滑曲线就得到一条相
