1、数学建模与软件实现 第 7 章 相关性分析 相关性分析是指分析两个随机变量之间是否存在一定的关系.相关分析可以发现变量间的共变关系（包括正向的和负向的共变关系），一旦发现了共变关系就意味着变量间可能存在两种关系中的一种：（1）因果关系(两个变量中一个为因、另一个为果);（2）存在公共因子（两变量均为果，有潜在的共因）.很多时候，我们需要寻找这些因果关系，或者是寻找公共因子.相关性研究是非常有用的，它是许多深入研究必备的初始阶段工作.衡量随机变量相关性的度量主要有三种：pearson 相关系数、spearman 相关系数、kendall相关系数.7.1 Pearson（皮尔逊）相关系数线形相关分
2、析（皮尔逊）相关系数线形相关分析 对于二维随机变量(,)X Y，根据数学期望性质，若X和Y相互独立，且和存在，则有 EXEY()()()0EXEXYEYE XYEX EY 所以当时，必有()()0EXEXYEYX和Y不相互独立.定义 7-1 设(,)X Y为二维随机变量，称()()EXEXYEY 为随机变量X，Y的协方差（Covariance），记为，即(,)Cov X Y(,)()()Cov X YEXEXYEY 特别地(,)()()Cov X XEXEXXEXDX(,)()()Cov Y YE YEYYEYDY 故方差，是协方差的特例.DXDY 从定义中看到，协方差和变量的量纲有关.我们将
3、随机变量标准化，得*XEXXDX，*YEYYDY*(,)XY的协方差为ov(,)()()CX YD XD Y.定义 7-2 设(,)X Y为二维随机变量，称ov(,)()()CX YD XD Y为随机变量X，的 Pearson 相关系数（Pearson correlation coefficient）或标准协方差（Standard covariance），记为YXY，即 ov(,)()()XYCX YD XD Y 定理 7-1 设，()0D X()0D YXY为(,)X Y的相关系数，则 （1）如果X，Y相互独立，则0XY；（2）1XY；（3）1XY的充要条件是存在常数使,a bP YaXb1
4、(0a).相关系数XY描述了随机变量X，Y的线性相关程度，XY愈接近 1，则X与Y之间愈接近线性关系.0XY为正相关，0XY为负相关.一般用下列标准对相互关系进行判定:（1）0.95XY，X与Y存在显著性相关；（2）0.8XY，X与Y高度相关；（3）0.50.8XY，X与Y中度相关；（4）0.30.5XY，X与Y低度相关；（5）0.3XY，X与Y关系极弱，认为不相关；（6）0XY，X与Y无显性相关.1第 7 章 相关性分析 2 可以证明:（1）当两个随机变量不线性相关时，它们并不一定相互独立，它们之间还可能存在其他的函数关系.（2）若(,)X Y服从二维正态分布，X与不相关和YX与Y相互独立是
5、等价的，且概率密度中的参数就是X和Y的相关系数.即,X和Y相互独立的充要条件是0.定义 7-3 若对随机变量X和Y进行了次随机试验,得到样本(,n)iiX Y(1,2,)in,且11niiXXn,11niiYnY,则随机变量X和对于这组样本的相关系数 r 为 Y12211()()()(niiinniiiiXXYYr)XXYY 例 7-1 某地 29 名 13 岁男童身高（cm）、体重（kg）和肺活量（ml）的数据如下表，试对该资料中各因素做相关分析.表 7-1 测试数据 编号 身高（cm）体重(kg)肺活量(ml)编号身高（cm）体重(kg)肺活量(ml)1 135.1 32.0 1750 1
6、6 153.0 47.2 2350 2 139.9 30.4 2000 17 147.6 40.5 2000 3 163.6 46.2 2150 18 157.5 43.3 2250 4 146.5 33.5 2500 19 155.1 44.7 2750 5 156.2 37.1 2750 20 160.5 37.5 2400 6 156.4 35.5 2000 21 143.0 31.5 1750 7 167.8 41.5 2150 22 149.4 33.9 2250 8 149.7 31.0 1500 23 160.8 40.4 2750 9 145.0 33.0 2500 24 15
7、9.0 38.5 2500 10 148.5 37.2 2250 25 158.2 37.5 2000 11 165.5 49.5 3000 26 150.0 36.0 1750 12 135.0 27.6 1250 27 144.5 34.7 2250 13 153.3 41.0 2750 28 154.6 39.5 2500 14 152.0 32.0 1750 29 156.5 32.0 1750 15 160.5 47.2 2250 解（1）数据探索 先做散点图和 Q-Q 图，看到变量间基本符合线性相关关系，变量的分布符合正态分布.这里只给出肺活量和身高的散点图、身高的标准 Q-Q 图
8、，其余略.数学建模与软件实现 图 7-1（a）肺活量和身高的散点图 图 7-1（b）身高的标准 Q-Q 图 下面作相关性分析.（2）建立 SPSS 数据文件.在数据文件中定义变量名：身高为 height，体重为 weight，肺活量为 vc，按顺序输入相应数值，建立数据文件,如图 7-2 所示.图 7-2 数据文件的变量试图 （3）点击主菜单“分析”项，在下拉菜单中点击“相关”项，在右拉式菜单中点击“双变量.”项，系统打开相关分析主对话框.（4）在对话框左侧的变量列表中选“身高”、“体重”和“肺活量”点击向右按钮使之进入“变量”框；在“相关系数”框中选择相关系数的类型，共有三种：Pearson
9、 为通常所指的相关系数，Kendells tau-b 为非参数资料的相关系数，Spearman 为非正态分布资料的 Pearson相关系数替代值，本例选用 Pearson 项；在“显著性检验”框中可选相关系数的单侧（One-tailed）或双侧（Two-tailed）检验，本例选双侧检验.如图 7-3.图 7-3 相关分析主对话框 （5）输出结果及分析 输出结果如表 7-2 所示.表 7-2 相关性分析结果 相关性 身高（cm）体重（kg）肺活量（ml）3第 7 章 相关性分析 4 Pearson 相关性 1.719*.507*显著性（双侧）.000.005 身高（cm）N 29 29 29
10、Pearson 相关性.719*1.634*显著性（双侧）.000 .000 体重（kg）N 29 29 29 Pearson 相关性.507*.634*1 显著性（双侧）.005.000 肺活量（ml）N 29 29 29*.在.01 水平（双侧）上显著相关.SPSS 软件中，相关性检验的零假设为“0:H0”.身高和体重的相关系数为，0.719r 0.00p，所以身高和体重中度相关，结果有统计学意义；身高和肺活量的相关系数为，0.507r 0.005p，所以身高和体重中度相关，结果有统计学意义；体重和肺活量的相关系数为，0.634r0.00p，所以身高和体重中度相关，结果有统计学意义；相关系
11、数计算两个变量之间的关系，分析两个变量之间线性相关的程度.但是，有时因为第三个变量的作用，使得相关系数不能反映两个变量间真正的线性程度.例如，上例中，我们得出肺活量和身高与体重均存在中度的线性关系，但实际上，对相同体重的人分析身高和肺活量，却没有线性关系.这种情况下，我们可以对变量进行偏相关分析.在偏相关分析中，系统可按用户的要求对两相关变量之外的某一或某些影响相关的其他变量进行控制，输出控制其他变量影响后的相关系数.例 7-2 对例 7-1 中的数据作偏相关性分析 解 使用 SPSS 操作过程如下:（1）点击主菜单“分析”项，在下拉菜单中点击“相关”项，在右拉式菜单中点击“偏相关.”项，打开
12、偏相关分析主对话框.（2）选“身高”和“肺活量”入“变量”框；选“体重”作为控制变量，；在“显著性检验”框中选双侧检验.图 7-4 偏相关分析主对话框 （3）输出结果及分析 输出结果如表 7-4 所示.表 7-4 偏相关分析结果 相关性 控制变量 肺活量（ml）身高（cm）相关性 1.000.096 显著性（双侧）.627 体重（kg）肺活量（ml）df 0 26 数学建模与软件实现 相关性.096 1.000 显著性（双侧）.627.身高（cm）df 26 0 身高和肺活量的相关系数为0.0960.3r0.627p，所以接收不相关的假设，认为身高和肺活量无显著的线性关系.此例说明体重因子影响
13、了身高和肺活量之间相关性的分析.7.2 Spearman（斯皮尔曼）秩相关系数单调性相关分析（斯皮尔曼）秩相关系数单调性相关分析 为了使用 Pearson 线性相关系数必须假设数据是成对地从正态分布中取得的，并且数据至少在逻辑范畴内是等间距的.如果这两个条件不符合，一种方法就是采用 Spearman 秩相关系数来代替 Pearson 线性相关系数进行相关性分析.7.2.1 秩秩 “秩”即按数据大小排定的次序号，又称秩次号.编秩就是将观察值按顺序由小到大排列，并用序号代替原始变量值本身.用秩次号代替原始数据后，所得某些秩次号之和，即按某种顺序排列的序号之和，称为秩和.设有以下两组数据：A 组 4
14、.7 6.4 2.6 3.2 5.2 B 组 1.7 2.6 3.6 2.3 3.7 两组各有 5 个变量值.现在依从小到大的顺序将它们排列起来，并标明秩次，结果如下：A 组 2.6 3.2 4.7 5.2 6.4 B 组 1.7 2.3 2.6 3.6 3.7 秩次 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 原始值中有两个“2.6”，分属 A、B 组，它们的秩次应是 3 和 4，然而它们的数值本来是同样大小的，哪组取“3”，哪组取“4”呢？我们将它们的平均数（3+4）/2=3.5，作为“2.6”的秩次，称为“平均秩次”.这样两组所得的秩次及秩和如下：A 组 3.5 5 8 9 10 秩和为
15、35.5 B 组 1 2 3.5 6 7 秩和为 19.5 上面 A 组和 B 组中各有五个原始值，按顺序排列：最小值设为 1，再按绝对值大小对余下的变量逐个排序，最大值为两组变量个数之和 10.依次可得 1，2，3.5，3.5，5，6，7，8，9，10.这10个序号即是秩次.A组秩和等于3.5+5+8+9+10=35.5，B组秩和等于1+2+3.5+6+7=19.5.从两组的原始变量值也可以初步看出：A 组偏大，B 组偏小.现在得出的秩和也是 A 组大于 B组，与由变量值所观察到的结果一致.7.2.2 秩相关系数秩相关系数 Spearman 秩相关系数通常被认为是排列后的变量秩次之间的 Pe
16、arson 线性相关系数.定义 7-4 若对随机变量X和Y进行了n次随机试验，得到样本(,)iiX Y(1,2,)in，设iX、iY的秩次分别为和且ipiq1nipp1in,1nin1iqq,iidpqi.则随机变量X和Y对于这组样本的秩相关系数s为 12211()()()(niiisnniiiipp qqppqq)如果没有相同的秩次，则s可由下式计算 2261(1isdn n)随着X和Y越来越接近严格单调的函数关系，Spearman秩相关系数在数值上会越来越大.当X、Y有严格单调递增的关系时，它们之间的 Spearman 秩相关系数为 1；反之，当X、Y有严格单调递减的关系时，Spearman 秩相关系数为-1.Spearman 秩相关系数为 0 表示随着X的增加,没有增大或减小的趋势.Y 5第 7 章 相关性分析 6 7.3 Kendall（肯德尔）相关系数（肯德尔）相关系数 Kendall 相关系数又称作和谐系数，也是多列变量等级相关系数.Kendall(肯德尔)相关系数有时也称为评价者信度.一个评价者对个对象评价的秩之和为12NN(1)/2N N，所有K个评价者对所有对象评价的
