1、 1 2005 年四川省数学建模竞赛 艾滋病疗法评价及疗效预测模型 张慧勇 四川大学 摘要:本文研究了艾滋病的疗法评价及疗效预测的问题。艾滋病（AIDS）是当前人类社会最严重的瘟疫之一，评价治疗艾滋病方法的优劣，预测继续治疗的效果对于治疗艾滋病有非常重要的意义。问题 1，通过分析、统计数据，做出 CD4 比值与时间、HIV 数量与时间的散点图，根据散点图用三次多项式拟合 CD4 比值的曲线，用负指数函数拟合 HIV 的曲线；由 HIV拟合曲线得出治疗 10 周，HIV 就能被控制在稳定值 2.84；已知患者开始时 CD4 数量 Q，通过 CD4 比值曲线求出 t 时刻的比值 f(t)，就能预测
2、出 t 时刻患者的 CD4 数量 f(t)*Q。问题 2，本文建立了两个评价疗效模型：多元回归模型、灰色关联度模型，两个模型都做出疗效 4 最优的评价。本文还建立了三个预测模型：多元回归模型、灰色预测模型、BP 神经网络模型，并都对疗法 4 进行了预测，其中灰色预测模型能画出疗效与时间的关系曲线图，看出疗效 4 能确保患者体内 CD4 数量不减少，患者应继续治疗。问题 3，考虑 4 种疗法的费用，本文继续沿用问题 2 中的灰色关联度模型，但对其中的评价值矩阵 H 进行修改，对此引入了效益函数 f=f(CD4,money,),表示患者的贫富程度，且 f 函数是的增函数；用此修改后的灰色关联的模型
3、来评价 4 种疗法，大致结果是：比较大时，疗法 4 最优；比较小时疗法 1 最优；本文在建立模型求解问题时，十分注重数据信息的挖掘，有的模型用 CD4 的比值，有的模型用 CD4 的差值，能很好地反映疗法对患者的疗效；问题三中的灰色关联度模型引入了自定义的效益函数，十分好地解决了评价带有费用的疗效的问题。关键词：曲线拟合、回归模型、灰色关联度、灰色预测、效益函数 2 一、问题的重述 艾滋病（AIDS）是当前人类社会最严重的瘟疫之一，它是由艾滋病病毒（HIV）引起的。这种病毒破坏人的免疫系统，使人体丧失抵抗各种疾病的能力，从而严重危害人的生命。人类免疫系统的 CD4 细胞，作为一种识别因子，能帮
4、助辅助 T 细胞识别其它细胞的感染信号，对于艾滋病病毒（HIV）感染来说，它是病毒进入和破坏细胞功能的重要的识别因子，当 CD4 被 HIV 感染而裂解时，其数量会急剧减少，HIV 将迅速增加，导致 AIDS 发作，因此，在 AIDS 的治疗疗法评价及疗效预测中，CD4 是一个很重要的指标。AIDS 治疗的目的，是尽量减少人体内 HIV 的数量，同时产生更多的 CD4，至少要有效地降低 CD4 减少的速度，以提高人体免疫能力。而迄今为止人类还没有找到能根治 AIDS 的疗法，目前的一些 AIDS 疗法不仅对人体有副作用，而且成本也很高，因此，对 AIDS 的治疗疗法评价及疗效预测是一个需要的问
5、题。解决的基本问题：1、利用附件 1 的数据，预测继续治疗的效果，或者确定最佳治疗终止时间。2、利用附件 2 的数据，评价 4 种疗法的优劣（仅以 CD4 为标准），并对较优的疗法预测继续治疗的效果，或者确定最佳治疗终止时间。3、已知艾滋病药品的主要供给商对不发达国家提供的药品价格，如果病人需要考虑4 种疗法的费用，对 2 中的评价和预测（或者提前终止）有什么改变。二、基本假设 1、题中所给出的数据真实，能反映现实情况；2、最佳治疗终止时间是指：CD4 的浓度(个/l)达到某值的初始时间；3、治疗有效果是指：HIV 的数量降低，同时产生更多的 CD4 细胞，至少能有效地降低 CD4 减少的速度
6、；4、问题 2 中疗法的优劣评价，仅以 CD4 为标准；5、在疗法 1 中，以日用量 600mg zidovudine 或 400mg didanosine 按每月交替服用，1 个月按 30 天计算，且在第 1 月中，每日服用 600mg zidovudine；6、在测试过程中，忽略病人年龄的变化；7、处于同一年龄段的病人，生理状况一致。三、问题 1 的分析、建模与求解 1、问题的分析 通过分析统计数据，做散点图，拟合出疗效与时间的曲线，就能解决此问题，预测继续治疗的效果，或者确定最佳治疗终止时间。2、建立数学模型 3 1）对个别测试的 CD4(和 HIV)的时刻调整 由于有个别测试 CD4（
7、和 HIV）的开始时刻并不是第 0 周，故将其开始时刻调整为第 0 周。即：设某个体第一次测试的时刻为0t，若00t，则将其各次测试时刻均减去0t。2）调整 CD4 的值为相对第 0 周测试时的比值 我们认为服用药物后的 CD4 值的改变可以反映出疗效的好坏，由于所给出的 CD4 浓度值差异很大（最小值为 0，最大值为933 0.2/l个），故对其处理如下：规定第 0 周 CD4 的调整值（4(0)CD）为 1，第 i 周的调整值（4()CDi）为相应原始值（4iCD）与第 0 周原始值（04CD）的比值，即044()4iCDCDiCD。3）统计 统计第 i 周调整值4()CDi总和 sumC
8、D4(i)和测试人数 numCD4(i)，用三项移动平均法的思想，令 4(1)4()4(1)4()4(1)4()4(1)sumCDisumCDisumCDimeanCDinumCDinumCDinumCDi 用4()meanCDi的值代替4()sumCDi。统计第 i 周 HIV 的测得值总和 sumHIV(i)与测试人数 numHIV(i)，用三项移动平均法的思想，令 (1)()(1)()(1)()(1)sumHIV isumHIV isumHIV imeanHIV inumHIV inumHIV inumHIV i 用()meanHIV i的值代替()sumHIV i。4）作图、拟合 由于
9、 numCD4(i)=20 时对应meanCD4(i)的散点图，根据图形做 3 次多项式拟合。用 MATLAB 中的 polyfit 函数得到：拟合多项式系数：0.00030.0201 0.44140.7203a 拟合曲线：320.00030.02010.44140.7203yxxx 相关系数的平方：rsquare=0.9839 残差平方和：S=0.1540 由此认为拟合比较好 散点图、拟合曲线及置信区间如下图：4 图 1：CD4 比值的曲线拟合图 同样由于 numHIV(i)=20 时对应 meanHIV(i)的散点图，根据散点图确定用负指数函数来拟合。拟合曲线方程 213kxyk ekgg
10、 用 Matlab 求得：k1=3.4668,k2=0.4673,k3=2.8365 0.46733.46682.8365xye 残差平方和：S=0.0966 由残差平方和与拟合曲线图看出拟合结果比较好 图 2：HIV 的曲线拟合图 5 3、预测治疗效果 由图 1 可知在 0 到 45 周治疗效果比较好，并能推测出继续治疗 10 周左右疗效也应比较好，但拟合曲线模型不能预测更长时间治疗效果。由图 2 可知，治疗 10 周后 HIV 数量趋于稳定值 k3；若某艾滋病患者测试开始时 CD4 数量为0Q（*0.2/l）第 i 周后 CD4 数量为：32i0Q0.2(0.00030.02010.441
11、40.7203)Qiii（/l）我们认为在 HIV 降低到稳定值 k3 的前提下，CD4 浓度(个/l)上升到某值（根据文献2，CD4 数量达到=350/l，就可以停药观察）的时间为最佳终止时间，因此解方程()iQ i，求出 i 就得到最佳终止时间，即在第 i 周终止治疗。4、模型评价及改进 该模型建立思路比较简单，曲线拟合效果较好，在对数据处理中用了三项移动平均法，可以剔除数据中的偶然因素；该模型不能够预测较长时间的疗效；可以考虑通过某函数，将 CD4 浓度的改变量与 HIV 值结合在一起，进行综合考虑。四、问题 2 的分析、建模与求解 回归模型 1、疗法评价 1）对附件 2 的数据处理 为
12、了反映某种疗法的疗效，我们将附件 2 所给出的 CD4 值（为 log(countCD4+1)）进行处理。规定第 0 周 CD4 变化值（04CD）为 0，第 i 周的变化值（4iCD）为相应测得值（4iCD）与第 0 周测得值的差值，即0444iiCDCDCD。2）评价 4 种疗法的优劣及较优疗法预测的多元回归模型 令10jx采用第j种疗法否则，j=1，2，3，4 5x表示治疗时间（单位：周），6x表示年龄（单位：岁），y 表示相应的疗效（即：4iCD），建立多元回归方程：2201 122334455667586yxxxxxxxx 通过求出1234,中的最大值，则对应的疗法最优。3）疗法评价
13、结果 利用 MATLAB 函数 regress（程序见附录）求得：6 0.138240.0659900.129860.315160.00241 0.001410.000360.00001 统计量 F=46.0257 1(8,5027)1.94F(=0.05)，知回归模型成立。比较(1,2,3,4)ix i 前系数i得，4321，由此可知对于所有年龄段的人，第 4 种疗法最优，第 3 种疗法次之，第 1 种疗法最差。2、预测疗效 用多元回归模型对最优疗法 4 进行预测，则方程为 22055667586yxxxx（56,x x含义与以上一致）将采用疗法 4 病人的数据代入上述方程，用 MATLAB
14、 函数 regress 求得：1.16280.03050.05730.00090.0007 且的置信区间都不包括 0，知方程中 y（疗效）与治疗时间及年龄的一次项、二次项都有线性关系。统计量 F=10.84651(4,1292)2.37F,知回归模型成立。将病人的治疗时间及年龄代入上述多元回归方程，就可预测其采用疗法 4 的治疗效果。3、模型评价及改进 该回归模型能够对疗法优劣做出评价及疗效预测，但相关系数较低，可以通过对每一个点的残差置信区间的分析来剔除一些异常点，以此提高其回归的显著性。灰色模型 1、基于灰色关联度的方法评价 4 种疗法的优劣 1）考虑年龄与不同疗法疗效的关系和各个年龄段统
15、计量的多少，将年龄分段为:1 2 3 4 5 age=25 25age=35 35age=45 45age=55 55age 表 1：年龄段的划分 2）数据处理 为了反映疗效，规定第 0 周 CD4 的测得值（04CD）为 0，第 i 周的变化量（4iCD）为相应测得值（4iCD）与第 0 周测得值的差值，即0444iiCDCDCD。已知 1300 多名病人大约每隔 8 周测试的 CD4 浓度,为了数据处理方便，将第8(i-1)(i=1,2,3,4,5,6)周附近进行测试治疗的数据都归入第 8(i-1)周。3)对某一个具体的年龄段，选定母系列和比较序列 7 定义评价值矩阵6 4H，其中的元素i
16、jh(i=1,2,3,4,5,6;j=1,2,3,4)表示该年龄段的采用第 j 种疗法病人在第 8(i-1)周的8(1)4iCD的平均值。令014maxiijjhh，则母序列0ih(i=1,2,6)是构造出来的最理想评判值序列。由1234,iiiih hhh分别构成 4 个子序列（比较序列）。4）计算关联度 子序列中每个数值与母序列中相应数值的关联系数为：()()jjabv iib，其中0()|jijiihh，14 16minmin()jjiai ，14 16maxmax()jjibi ，=0.5。把关联系数取均值得到关联度：611(),(1,2,3,4),6jjiuv ij 关联度表示疗法评判值序列和理想评判值序列相关联的程度，数值越大，表明疗法越好（对于该年龄段的人来说）。5)模型的求解 利用 MATLAB 编程计算得到各个年龄段的各关联度：1 2 3 4 age=25 0.5577 0.6697 0.5957 0.9583 25age=35 0.5033 0.5147 0.6013 0.9988 35age=45 0.4745 0.5827 0.8700 0.8505 45age
