1、泛函与变分原理导引泛函与变分原理导引Hongxin Zhang2007-06-14State Key Lab of CAD&CG,ZJU内容提要内容提要?变分命题与一般极值问题变分命题与一般极值问题?泛函的极值问题与欧拉方程，变分法基本定理?自然边界问题?拉格朗日乘子法变分命题与一般极值问题变分命题与一般极值问题?历史上有很多有名的极值问题，其求解方法可统称为变分法?两点间的最短连线问题?最速下降线问题?短程线问题?两点间的最短连线问题两点间的最短连线问题?为什么“任意两点间的最短连线是连接两端的直线”？Oxyy=y(x)两点间的最短连线问题两点间的最短连线问题?为什么“任意两点间的最短连线是
2、连接两端的直线”？?问题的假设：?二维平面空间，一点是坐标原点(0,0)，一点在(a,b)?两点间的连接曲线是 y=y(x)?曲线的弧长微元是或?曲线的总弧长是222dddsxy=+2dd1ddysxx=+2 1/20(1)dasyx=+s是标量，是y(x)的一个广义函数，称为泛函，可记为s(y)两点间的最短连线问题两点间的最短连线问题?问题的数学描述：找出具有曲线y(x)使得?同时必须满足端点约束条件(constraint condition)2 1/20min(1)dayyx+(0)00()yxy abxa=最速降线最速降线(brachistochrone)问题问题?由伯努利于310多年前
3、以公开信的形式提出?问题描述：?设有两点A、B不在同意铅垂线上，在A、B两点间连接一条曲线，有一重物沿去曲线从A到B受重力作用自由下滑。若忽略摩擦力，问怎样的曲线使得从A到B的自由下滑时间最短？?该曲线被称为最速降线?显然不是直线段oxyABP(x,y)v最速降线最速降线(brachistochrone)问题问题?问题的设定：?设点A与原点重合，点B的坐标是(a,b)，重物从A点下落到P(x,y)点时，其速度是v?重物质量是m，加速度是g?从A到P点时：?失去的势能是 mgy?获得的动能是 mv2/2?由能量守恒oxyABP(x,y)v2vgy=最速降线最速降线(brachistochrone
4、)问题问题?推导：?用s表示从点A到点P点的弧长，则?因此可知?从点A到点B的总时间是oxyABP(x,y)vd2dsvgyt 2d1dd12d2sytdxgyxgy=+2001dd1d2daayTtxgyx=+最速降线最速降线(brachistochrone)问题问题?变分命题描述?从点A到点B的总时间是?T是y(x),y的泛函?满足oxyABP(x,y)v2001dd1d2daayTtxgyx=+(0)0,()yy ab=变分命题变分命题(I)?变分命题的实质是求泛函的极值问题?注释：?在泛函的积分端点上，y(x)的数值已定，即y(0)=0,y(a)=b.这种变分被称为边界已定的变分，是一
5、种最常见的变分。?在定义中y必须存在，至少是分段连续。?这种变分除端点为定值的端点条件端点条件外，并无其他约束条件，是最简单的变分问题。测地线测地线(geodesic line)问题问题?设(x,y,z)=0为一已知曲面，求曲面(x,y,z)=0上所给任意两点A、B间长度最短的曲线，这个最短曲线就被称为测地线，或称为短程线。?球面（如地球表面）上任意两点的测地线即为通过两点的大圆测地线测地线(geodesic line)问题问题?设定：与两点间的曲线长度为?其中 y=y(x),z=z(x)满足(x,y,z)=0?变分命题：选取函数y(x),z(x)?在满足(x,y,z)=0的条件下?使泛函L最
6、小2122dd1dddxxyzLxxx=+111(,)A x y z222(,)B xyz变分命题变分命题(II)?与前两个问题的区别：?测地线问题中有两个待定函数?两个待定函数必须满足落在曲面上这一约束条件?这种变分被称为约束变分约束变分(constrained variation),或者称为条件变分条件变分(conditional variation)变分命题变分命题(II)?第一类变分问题：?被积函数包括一阶导数的变分问题?满足端点约束条件?在所有的足够光滑函数y(x)中，求使以下泛函为极值?第二类变分问题：?两个待定函数：y(x)，z(x)?满足约束条件：(x,y,z)=0?满足端点约
7、束条件?在所有的足够光滑函数y(x)，z(x)中，求使以下泛函为极值()(,)dyF x y yx=(,)(,)dy zF x y y z zx=变分命题变分命题(III)?函数：f(x)是变量变量x的实函数实函数，即在其定义域内，任一x值都有一个实数f(x)与之对应?泛函：(y)是函数函数y(x)的泛函泛函，即在其定义域内，任一函数y(x)都有一个实数(y)与之对应?变分命题：寻找y(x)使得泛函(y)取极值?变分方法：设使泛函取得极值的函数y(x)存在，通过变分法求得这个极值函数y(x)所需满足的微分方程变分命题变分命题(III)?对函数而言，一阶导数为零的极值条件给出的是相对相对极大或相
8、对相对极小，而不是绝对极大或绝对极小?在变分法中，泛函的极值条件给出的也只是相对极大或相对极小?导数为零只是必要条件变分法中的符号变分法中的符号?给定函数函数y(x)?宗量：x?函数：y(x)?宗量的增量：x?函数的增量：?y y(x+x)-y(x)?当两点无限接近：?xdx，ydy?略去高阶微量：?dyy(x)dx?当在x处取得函数极值?dy0?给定泛函泛函(y)?宗量：y?泛函：(y)?函数的变分：y?泛函的变分：?(y+y)-(y)?在计算时可以展开(y+y)中的被积函数只保留线性项?当在y处取得泛函极值?0函数y(x)在定义域内与y(x)+y(x)处处无限接近函数曲线的接近度函数曲线的
9、接近度?在定义域x 内，给定两条函数曲线y(x)和y1(x)?零阶接近度?在每一点处y(x)和y1(x)纵坐标都很接近；y(x)-y1(x)处处很小?一阶接近度?在每一点处同时y(x)和y1(x)的斜率也很接近；y(x)-y1(x)处处很小?二阶接近度?y”(x)-y”1(x)处处很小函数曲线的接近度函数曲线的接近度?当泛函的被积函数是F(x,y,y)时，函数y要求有一阶接近度?可取y，y都是同级的微分量?当泛函的被积函数是F(x,y,y,y”)时，函数y要求有二阶接近度?可取y，y，y都是同级的微分量第一类变分问题第一类变分问题?设函数y(x)是下式的极值解?且满足端点条件?设其邻近的函数y
10、(x)+y(x)也满足端点条件?因此端点变分满足?泛函的变分为()(,)dyF x y yx=12(),()yy yy=()()0yy=()()(,)(,)dyyyF x yy yyF x y yx=+=+内容提要内容提要?变分命题与一般极值问题?泛函的极值问题与欧拉方程，变分法基本定理泛函的极值问题与欧拉方程，变分法基本定理?自然边界问题?拉格朗日乘子法第一类变分问题第一类变分问题?根据微量计算规则，设y(x)和y(x)+y(x)是有一阶接近的曲线?引入简写符号?可得(,)(,)(,)(,)F x yy yyF x y yF x y yyF x y yyyy+=+(,),(,),(,)yyF
11、F x y yFF x y yFF x y yyy=yyFFyFy=+第一类变分问题第一类变分问题?泛函的变分为：?下面将证明函数y(x)的导数的变分等于函数y(x)的变分的导数，亦即导数和变分两种运算可以互换运算顺序：d dyyF xFyFyx=+()yy=第一类变分问题第一类变分问题?证明?Hint：图中G点纵坐标有计算方法?其一从C点的纵坐标计算?其二从F点的纵坐标计算()yy=d(d)ddyyxyyxyyyxyx+=+d()dd()ddyyyyxyyyxyxx+=+第一类变分问题第一类变分问题?由上页结论：?对等式右边的第二部分进行分部积分有?根据端点约束条件上式第二部分等于0，由此得
12、d()dyyF xFyFyx=+d()d()d|dyyyFyxFy xFyx=+dddyyFFy xx=可进一步简化变分法基本预备定理变分法基本预备定理?如果函数F(x)在线段(x1,x2)上连续，且对于满足以下一般条件的任意选定的函数y(x)，有?则在线段上(x1,x2)上?变分y(x)的一般条件为：?至少一阶可微；?在线段(x1,x2)的端点处；?|y(x)|或|y(x)|及|y(x)|021()()d0 xxF xy xx=()0F x=变分法基本预备定理变分法基本预备定理?证明：采用反证法。假设F(x)在点处不等于零。选取附近小邻域使得在此区域内F(x)不改变正负号。xx=xx=12,
13、x x如图选取y(x)使得1122221212()0,;()()(),nny xxxx xxxy xk xxxxxxx=变分法基本预备定理变分法基本预备定理?可见构造函数满足所设条件。但是容易验证?与条件矛盾，所以?得证22112212()d()()()d0 xxnnxxF y xxF x k xxxxx=()0F x 变分法基本预备定理变分法基本预备定理(多变量版本多变量版本)?如果函数F(x,y)在定义域s上连续，设z(x,y)在s域的边界上为零，|z(x,y)|，|zx|，|zy|，还满足至少一阶或更高阶可微，且?则在定义域s上(,)(,)d dy0sF x yz x yx=(,)0F
14、x y=变分问题的欧拉方程变分问题的欧拉方程?由预备定理可知?如果展开?其中F(x,y,y)必须具有二阶偏导数，y(x)也必须具有二阶偏导数。由此把由此把变分问题变分问题转化为转化为微分方程微分方程求解求解d0,dyyFFxx=ddyFx2220yFFFFyyx yy yyx=变分法求解变分法求解(1)最短连线问题最短连线问题?其变分极值问题为?略去y的高次微量得?分部积分，并利用y(0)0，y(a)0，得1/21/222001()d1dyyxyx=+1/202d01yyxy+=+()1/202dd0d1yy xxy=+变分法求解变分法求解(1)最短连线问题最短连线问题?由变分法预备定理，给出
15、以下微分方程?积分得?由端点约束条件即得()1/22d0d1yxy=+()1/221yconsty+yconstbyxa=变分法求解变分法求解(2)最速降线问题最速降线问题?可得泛函的变分为?把y，y作为微量展开1/21/22200111()d1+d2()2aaTyyxyxg yygy=+1/21/2222 1/21/2221()1(1 11()2yyyyyyyyyyyyOyy+=+变分法求解变分法求解(2)最速降线问题最速降线问题?略去高次微量得?进行分部积分，并利用边界条件1/221/202111d022(1)ayyTyyxyygyy+=+202111dd02d2(1)ayyTy xyyx
16、gyy+=+=+变分法求解变分法求解(2)最速降线问题最速降线问题?由变分法预备定理，给出以下微分方程?该方程可改写为?进一步化简得2211d02d(1)yyyyxyy+=+222d10d(1)yyxyyy+=+2d(1)xyyd10=+变分法求解变分法求解(2)最速降线问题最速降线问题?两边积分可得?进一步做变量代换，令ycot t 有?而?积分可得2(1)yyC+=22sin(1 cos2)21CCyCtty=+2d2sin cos dd2sind(1 cos2)dcotyCtt txCt tCttyt=1(2sin2)2CxttC=+变分法求解变分法求解(2)最速降线问题最速降线问题?代入端点条件 y(0)=0，x(0)=0，则得C1=0.?再做变量代换?可解得最速降线的参数表示?这是一组摆线（圆滚线）簇，以C/2为滚圆半径，常数C是由圆滚线通过点P(x1,x2)这个条件来决定。因此，摆线就是最速降线。2t=(sin)2(1 cos)2CxCy=泛函变分问题的一般求解步骤泛函变分问题的一般求解步骤1.从物理上建立泛函及其条件2.通过泛函变分，利用变分法基本预备定理求得欧拉方程3.
