1、立体图形上的最短路径问题第8讲 立体图形上的最短路径问题_、方法技巧解决立体图形上最短路径问题：1基本思路：立体图形平面化，即化曲”为“直”2.“平面化”的基本方法：（1）通过平移来转化例如：求A、B两点的最短距离，可通过平移，将楼梯“拉直”即可（2）通过旋转來转化例如：求4、C两点的最短距离，可将长方体表面展开，利用勾股定理即可求图1 图2例如：求小蚂蚁在圆锥底面上点A处绕圆锥一周回到A点的最短距离 可将圆锥侧面展开，根据“两点之间，线段最短”即可得解Af(3)通过轴对称来转化例如：求圆柱形杯子外侧点到内侧点4的最短距离，可将杯子(圆柱)侧面展开， 作点A关于杯I】的对称点根据“两点之间，线
2、段最短”可知即为最短距 离=3储备知识点：(1)两点之间，线段最短 (2)勾股定理4.解题关键：准确画出立体图形的平面展开图二、应用举例类型一通过平移来转化【例题1】如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别等于5，3伽和lcmA和B是这个台阶的两个相对的端点，A点上有一只蚂蚁，想要到B点去吃可I I的食物，请 你想一想，这只蚂蚁从A点出发，沿着台阶面爬到3点，最短线路是多少？【答案】13c?n【解析】试题分析：只需将其展开便可直观得出解题思路，将台阶展开得到的是一个矩形，蚂蚁要从B点到4点 的最短距离，便是矩形的对角线，利用勾股定理即可解出答案.试题解析：解：展开图如图所示，AB =
3、a/52 + 122 =l3cm所以，蚂蚁爬行的最短路线是13cm类型二通过旋转来转化【例题2】如卞图，正四棱柱的底面边长为5cm,侧棱长为&加，一只蚂蚁欲从正四棱柱底 面上的A点沿棱柱侧面到点处吃食物，那么它需要爬行的最短路径的长是多少？D1【答案】2741677?【解析】试题分析：解这类题应将立体图形展开，转化为平面图形，把空间两点的距离转化为平面上两点河的距 离，利用“同一平面内两点间的最短路线是连接这两点的线段”进行计算.试题解析：解：如图1,设蚂蚁爬行的路径是AECf （在面ADDW上爬行是一样的）.将四棱柱剪开铺平 使矩形AAEE与BBCC相连，连接AC使E点在川匸上（如图2）AC
4、= yjAB+BC）2 +CC2 = a/102 +82 = 2冈（cm）所以这只蚂蚁爬行的最短路径长为2 顷加【难度】一般【例题3】如下图所示,圆柱形玻璃容器高18cm,底面周长为60cm,在外侧距下底lc/n的 点S处有一蜘蛛，与蜘蛛相对的圆柱形容器的上I I外侧距开I I处1CM的点F处有一苍蝇， 试求蜘蛛捕获苍蝇充饥所走的最短路线的长度.【答案】346777【解析】试题分析：展开后连接SF,求出SF的长就是捕获苍蝇的最短路径，过点S作SE丄CD于E,求出 SE、EF,根据勾股定理求出SF即可.试题解析：解：如下图所示，把圆柱的半侧面展开成矩形，点S, F各自所在的母线为矩形的一组对边
5、上下底面圆的半周长为矩形的另一组对边.该矩形上的线段SF即为所求的最短路线. 过点S作点F所在母线的垂线，得到R应EFSF =如 + (18-1-1尸=346777【难度】较易【例题4 （2015 -红河期末）如下图，有一圆锥形粮堆，其主视图是边长为6/的正三角形ABC,粮堆母线AC的中点P处有一老鼠正在偷吃粮食，此时小猫正在B处，它要沿圆锥侧面到达P处捕捉老鼠，则小猫所经过的最短路程是 m （结果不取近似值）【答案】3巧【解析】试题分析：求小猫经过的最短距离，首先应将其侧面展开，将问题转化为平面上两点间的距离的问题, 根据展开图中扇形的弧长与圆锥底面周长相等可求展开图的扇形圆心角度数，故可得
6、出展开 图中ZBAP = 90,即可用勾股定理求出小猫经过的最短距离3P长.试题解析：解：作出圆锥侧面展开后的扇形图如下图，设该扇形的圆心角度数为，由展开扇形圆弧长等于底面圆周长，可得n；rAC = 7r-BC,180再由 AC=BC = 6m,可得2180。,故在展开的平面图形中，ZAC = -x 180 = 902点B到P的最短距离为BP = Jab? + 4P =+ 3【难度】一般类型三通过轴对称来转化【例题5】桌上有一个圆柱形玻璃杯（无盖），高为12厘米，底面周长18厘米，在杯I】内 壁离杯1丨3厘米的A处有一滴蜜糖，一只小虫从桌上爬至杯子外壁，当它正好爬至蜜糖相 对方向离桌面3厘米的
7、B处时，突然发现了蜜糖，问小虫至少爬多少厘米才能到达蜜糖所 在位置？【答案】15厘米【解析】试题分析：把圆柱展开，得到矩形形状，4、3的最短距离就是线段34的长，根据勾股定理解答即可试题解析：解：如图所示，作人点关于杯I】的对称点/T则 B4 = Jy + 122 =15 厘米B【难度】较易 三、实战演练 类型一通过平移来转化1.如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为20d加、3d川、2dm. A和B是这 个台阶上两个相对的端点，点A处有一只蚂蚁，想到点B处去吃可II的食物，则蚂蚁沿着 台阶面爬行到点B的最短路程为d【答案】25dm【解析】试题分析：先将图形平面展开，再根据勾股定理进
8、行解答试题解析：解：如图，三级台阶平面展开图为长方形，长为20加,宽为（2+3）好加, 则蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程是此长方形的对角线长.设蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程为人加”，由勾股定理可得x2=20-+ （2+3） x3p,解得x=25.即蚂蚁沿着台阶面爬行到点B的最短路程为25dm.20【难度】较易 类型二通过旋转来转化2.（2015 陕西）有一个圆柱形油罐，已知油罐周长是12m,高AB是5加，要从点A处开 始绕油罐一周造梯子，正好到达A点的正上方B处，问梯子最短有多长？【答案】13加【解析】试题分析：把圆柱沿43侧面展开，连接AB,再根据勾股定理得出结论试题解析：解：展开图如图所
9、示，AC = l2m, BC = 5mAB = Vac2 + BC2 = 7122+52 = 13？丘 12 C【难度】较易3.有一个圆柱体，如图，高4,底面半径5cm, A处有一小蚂蚁，若蚂蚁欲爬行到C处蚂 蚁爬行的最短距离.答案716+25（7）【解析】试题分析：圆柱展开就是一个长方形，根据两点之间线段最短可求 试题解析：解：4 = 4, BC为底面周长的一半，即BC = 5 AC = J AB + BC2 =曲+（5 兀丫 = J16 + 25 亦（c7）【难度】较易4.葛藤是一种刁钻的植物，它的腰杆不硬，为了争夺雨露阳光，常常绕着树干盘旋而上，它 还有一手绝招，就是它绕树盘升的路线总是
10、沿最短路线-螺旋前进的，难道植物也懂得数学？ 阅读以上信息，解决下列问题：（1） 如果树干的周长（即图中圆柱体的底面周长）为30（7,绕一圈升高（即圆柱的高）40口”, 则它爬行一周的路程是多少？（2） 如果树干的周长是80s?,绕一圈爬行lOOcw,它爬行10圈到达树顶，则树干高多少？【答案】（1）50（77?： （2） 6m【解析】试题分析：（1） 如下图，将圆柱展开，可知底面圆周长，即为AC的长，圆柱的高即为BC的长，求 出AB的长即为葛藤树的最短路程（2） 先根据勾股定理求出绕行1圈的高度，再求出绕行10圈的高度，即为树干高试题解析：解：（1）如图，OO的周长为30cm,即AC=30c
11、m高是 40cm,则 BC=40cm,由勾股定理得AB = y/AC2+BC2 = 50伽故爬行一周的路程是50c/?（2） OO 的周长为 80cw,即 AC=SQcm绕_圈爬行 lOOc/n,则 AB=100cnh 高 BC=6Qcm树干高=60x 10=600c/?=6/?7故树干高6m【难度】一般5.（2015 江阴市）如图，一个无盖的正方体盒子的棱长为2, BC的中点为只蚂蚁 从盒外的B点沿正方形的表面爬到盒内的M点，蚂蚁爬行的最短距离是（）A. 、/B JF7 C 1 D 2 + J?【答案】B【解析】试题分析：根据已知得出蚂蚁从盒外的B点沿正方形的表面爬到盒内的M点，蚂蚁爬行的最
12、短距离是 如图的长度，进而利用勾股定理求出试题解析：解：蚂蚁从盒外的点沿正方体的表面爬到盒内的M点蚂蚁爬行的最短距离是如图BM的长度无盖的正方体盒子的棱长为2, 的中点为M 4/ = 2 + 2 = 4 側=1A 5M = /42+l2 =y/n故选：BAi M p,已 C1oB C【难度】较易6已知0为圆锥顶点，OA. OB为圆锥的母线，C为OB中点，一只小蚂蚁从点C开始沿 圆锥侧面爬行到点A,另一只小蚂蚁绕着圆锥侧面爬行到点B,它们所爬行的最短路线的痕 迹如右图所示，若沿OA剪开，则得到的圆锥侧面展开图为（）【答案】C【解析】试题分析：要求小蚂蚁爬行的最短距离，需将圆锥的侧面展开，进而根据
13、“两点之间线段最短”得出结 果，再利用做对称点作出另一只小蚂蚁绕着圆锥侧面爬行到点它们所爬行的最短路线. 试题解析：解：TC为OB中点,一只小蚂蚁从点C开始沿圆锥侧面爬行到点A侧面展开图B0为扇形对称轴，连接AC即是最短路线.另一只小蚂蚁绕着圆锥侧面爬行到点B,作出C关于0A的对称点，再利用扇形对称 性得出关于B0的另一对称点，连接即可.故选C【难度】一般7. （2014 枣庄）图所示的正方体木块棱长为&加，沿其相邻三个面的对角线（图中虚线） 剪掉一角，得到如图的几何体，一只蚂蚁沿着图的几何体表面从顶点4爬行到顶点万的 最短距离为CM.【答案】（30+3拆）脑【解析】试题分析：要求蚂蚁爬行的最
14、短距离，需将图的几何体表面展开，进而根据“两点之河线段最短”得出结果试题解析：解：如答图，易/BCD是等腰直角三角形，厶4仞是等边三角形,在 R3CD 中，CD = JBC? + BD? = 6y/2cm ,在 RtAAC 中,AE = VAC2 CE2 = 3品cm 9从顶点A爬行到顶点B的最短距离为（3/2+3V6）C7H【难度】一般8个圆锥的母线长为0A=8,底面圆的半径尸2,若一只小蚂蚁从A点出发，绕圆锥的侧 面爬行一周后又回到A点，则蚂蚁爬行的最短路线长是 （结果保留根式）【答案】82【解析】解：设圆锥的展开图扇形0AA的中心角ZAQA1度数为”,则2x2x;r=竺空，解得：7? =
15、 90 180即 ZAQA = 90在心404中，根据勾股定理AASy/2【难度】一般9如图，圆锥的主视图是等边三角形，圆锥的底面半径为假若点B有一只蚂蚁只能沿 圆锥的表面爬行，它要想吃到母线AC的中点P处的食物，那么它爬行的最短路程是多少？【答案】25【解析】试题分析：根据圆锥的主视图是等边三角形可知，展开图是半径是4的半圆，点B是半圆的一个端点, 而点P是平分半圆的半径的中点，根据勾股定理就可求出两点3和P在展开图中的距离， 就是这只蚂蚁爬行的最短距离试题解析：解：设圆锥的展开图的圆心角为”，兀x 4贝iJ2x2x = ,解得：77 = 180180即 ZC4Cr = 180在展开图中，5
16、4丄CC, 54 = 4, AP = 2由勾股定理得，BP=jn压=2书点评：本题主要考查了圆锥的侧面展开图的计算，正确判断蚂蚁爬行的路线，把曲面的问题 化为平面的问题是解题的关键【难度】较难10.(1)图，一个无盖的长方体盒子的棱长分别为BC = 3cm , AB = 4cm , = 5cw , 盒子的内部顶点G处有一只昆虫甲，在盒子的内部顶点4处有一只昆虫乙(盒壁的厚度忽 略不计)假设昆虫甲在顶点q处静止不动，请计算A处的昆虫乙沿盒子内壁爬行到昆虫甲c处的最短路程，并画出其最短路径，简要说明画法（2）如果（1）问中的长方体的棱长分别为AB=BC = 6cm, AA, = 14cm ,如图，
17、假 设昆虫甲从盒内顶点G以1厘米/秒的速度在盒子的内部沿棱CC向下爬行，同时昆虫乙从 盒内顶点4以3厘米/秒的速度在盒壁的侧面上爬行，那么昆虫乙至少需要多长时间才能捕 捉到昆虫甲？【答案】（1） AtEtC；就是最短路径（2） 5秒【解析】解：（1）如图二，将上表面展开，使上表面与前表面在同一平面内，即4、人、Q三点共线，AA + AD = 5 + 3 = 8DG = 4根据勾股定理得 如图三，将右侧面展开，使右侧面与下面在同一平面内，即A、d三点共线AB+码=4 + 5 = 9, BG = 3 根据勾股定理得AC严侦如图四，将右侧面展开，使右侧面与前表面在同一平面内，即4、3、C三点共线.A
18、3+3C = 4+3 = 7, CC严 5根据勾股定理得AC严帀I V74 V80 /90:.最短路程是fl4cniEr*A 4 E 3 C图四在图四中，:山BEsCCBE _ AB：tCCACBE 4 20 = , l5L =5 7 7如图一，在BB、上取一点使BE = 9连接AE, EC、, AtEtC；就是最短路径(2)如图五，设ClF = x,则AF = 3x, CF = 5-x在RbACF中，根据勾股定理得AF2 = AC2 + CF2 即：(3x)2=(6 + 6)2+(14-x)217解得：人=5,禺=一- 2Vx0x = 5所以，昆虫至少需要5秒才能捉到昆虫甲.图五点评：在长方
19、体中，经过它的表面，从一个顶点到另一个与它相对的顶点的最短距离是：在 长、宽、高中，以较短的两条边的和作为一条直角边，最长的边作为另一条直角边，斜边即 为最短路线长【难度】较难11如图，A是高为10。加的圆柱底面圆上一点，一只蜗牛从A点出发，沿30。角绕圆柱侧 面爬行，当他爬到顶上时，他沿圆柱侧面爬行的最短距离是()【解析】试题分析：将圆柱侧面展开，连接43,根据三角函数求出的长即可试题解析：解：根据题意得，BC = 10cm , ABAC = 30 AB = BC Sin30 = 10- = 20cm2故选B【难度】一般12如图，是一个长4加，宽3加，高2加的有盖仓库，在其内壁的A处（长的四
20、等分）有一 只壁虎，B处（宽的三等分）有一只蚊子，则壁虎爬到蚊子处最短距离为（ ）A. 4.8 B V29 C. 5 D 3 + 2a/2【答案】C【解析】有两种展开方法：长方体展开成如图所示，连接A根据两点之间线段最短，AB = y/52 + 22 = V29：将长方体展开成如图所示，连接4、B,则AB = yl32+42 =5/29；3A故选C【难度】较易13.(2015-2016 内蒙古包头)如图,长方体的长为15 cm,宽为10cm,高为20cm点B 距离C点5 cw, 一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点需要爬行的最短距离【答案】25【解析】试题分析：要求正方体中两点之间的最短
21、路径，最直接的作法就是将正方体展开，然后利用两点之间线 段最短解答.试题解析：解：如图：(1) AB = y/Bff + AD2 = a/152 + 202 = 25(2) 4B = JAE + BE = J10, + 25?二5何；(3) AB = VAC2 + BC2 = /302 + 52 = 537 R CA所以需要爬行的最短距离是25.【难度】较难14.已知：如图，一个玻璃材质的长方体，其中AB= &BC=4,BF = 6,在顶点E处有一 块爆米花残渣，一只蚂蚁从侧面BCSF的中心沿长方体表面爬行到点E.则此蚂蚁爬行的 最短距离为.R S: 、歹 曰CA S【答案】V109【解析】试
22、题分析：要求蚂蚁爬行的最短距离，需要将立体图形转化为平面图形，将、0（设面BCSF的中心 为点0）所在的两个面展开，但展开图并非只有一种，而是两种，需要利用“两点之间，线 段最短”，来一一求出线段E0的长度，然后比较两种情况的结果，找出最短路径 试题解析：解：设面BCSF的中心为点0,根据题意，最短路径有下列两种情况：如图1,沿SF把长方体的侧面展开，蚂蚁爬行的最短距离=J（8+6 一 2）+（4一2=5书如图2,沿BF把长方体的侧面展开,蚂蚁爬行的最短距离=J（ 8 + 4 一 2） + （6 一 2） = V109且 B C图2 5x/55/109故此蚂蚁爬行的最短距离是V109【难度】较
23、难15.如图，圆柱形容器中，高为12皿底面周长为1皿在容器内壁离容器底部0.3加的点B 处有一蚊子，此时一只壁虎正好在容器外壁，离容器上沿03与蚊子相对的点A处，则壁 虎捕捉蚊子的最短距离为加（容器厚度忽略不计）.【答案】1.3加【解析】试题分析：将容器侧面展开，建立A关于EF的对称点2,根据两点之间线段最短可知的长度即为所求试题解析：解：要求壁虎捉蚊子的最短距离，实际上是求在EC上找一点P,使刊+PB最短，过点A作C的对称点/V,连结AB.则与的交点P就是所求的点P因为两点之间，线段最短，/矽的长即为壁虎捕捉蚊子的最短距离T底面周长为1/H/. 4 ）= 0.5?，BD 1.2？AB = y
24、jAD+BD2 = V0.52 +1.22 =l.3mD【难度】一般类型三通过轴对称来转化16.只蚂蚁欲从圆柱形桶外的A点爬到桶内的B点处寻找食物，已知点A到桶I I的距离AC 为12肋,点B到桶I I的距离BD为8cm CD的长为15,那么蚂蚁爬行的最短路程是多少？【答案】25cm【解析】试题分析：如图，作点B关于CD的对称点万,，连结AB交CD于点P,连结则最短路线应该是沿AP、阳即可试题解析：解：如下图所示，作点B关于CD的对称点连结AB交CD于点P,则蚂蚁的爬行路线AtPtF为最短，且AP+PB = AP+P在R仏AEB中，AE = CD = 15, EB = ED+DBAC-BD = 12 + 3 = 20由勾股定理知43= 25所以，蚂蚁爬行的最短路程是25伽A E【难度】一般
