1、届湖南省师大附中高三上学期第次四月考试文科数学试题解析版湖南师大附中2018届高三月考试卷(四)数学(文科) 命题人、审题人：彭萍苏萍曾克平本试卷分第卷(选择题)和第卷(非选择题)两部分，共8页。时量120分钟。满分150分。第卷一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的(1)已知集合A，则满足ABB的集合B可以是(C)(A) (B)x|1x1(C) (D)x|x0【解析】x211，0y，A.则满足ABB的集合BA，故B可以是.故选C.(2)已知，cos， 则tan等于(A)(A) (B)7 (C) (D)7【解析】因为，sin ，
2、则tan ，tan，故选A.(3)已知a0，b0，ab8, 当2a4b取得最小值时a的值为(D)(A)2 (B)2 (C)3 (D)4【解析】2a4b2a2b2228，当且仅当a2b时取等号，结合a0，b0，ab8，可得a4，b2.(4)已知直线a，b，平面，且a，b，则“ab”是“”的(C)(A)充要条件 (B)充分不必要条件 (C)必要不充分条件 (D)既不充分也不必要条件【解析】根据题意，分两步来判断：当时，a，且，a，又b，ab，则ab是的必要条件；若ab，不一定，当b时，又由a，则ab，但此时不成立，即ab不是的充分条件，则ab是的必要不充分条件，故选C.(5)Sn为等差数列an的前
3、n项和，S936，S13104，等比数列bn中，b5a5，b7a7，则b6等于(D)(A)4 (B)4 (C)4 (D)4【解析】在等差数列an中，S99a536，S1313a7104，b54，b78，bb5b732，b64.(6)在ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知a4，b2，sin 2Asin B，则c边的长为(D)(A)2 (B)3 (C)4 (D)2或4【解析】由sin 2Asin B得2sin Acos Asin B，由正弦定理知，24cos A2，cos A，再由余弦定理a2b2c22bccos A，解得c2或4.(7)已知直线l1：x2y10，直线l2：ax2y2
4、a0，其中实数a1，5则直线l1与l2的交点位于第一象限的概率为(A)(A) (B) (C) (D)【解析】设事件A为“直线l1与l2的交点位于第一象限”，由于直线l1与l2有交点，则a1.联立方程组解得x，y， 直线l1与l2的交点位于第一象限，则x0，y0，解得1a0，又a1，5，P(A)，即直线l1与l2的交点位于第一象限的概率为.故选A.(8)设x，y满足则zx210xy225的最小值为(B)(A)12 (B)13 (C)16 (D)26【解析】由题意作出不等式组表示的平面区域，zx210xy225y2表示点(5，0)到可行域内的点的距离的平方，由图形分析可知所求最小值为点(5，0)到
5、直线3x2y20的距离的平方为13.(9)如图，在四棱锥CABOD中，CO平面ABOD，ABOD，OBOD，且AB2OD12，AD6，异面直线CD与AB所成角为30，点O，B，C，D都在同一个球面上，则该球的表面积为(B)(A)72 (B)84 (C)128 (D)168【解析】因ABOD，CDO就是异面直线CD与AB所成角为30，而OD6，CO平面ABOD，故COODtan 302，在直角梯形ABOD中，可求OB6，以OB、OC、OD为相邻三条棱补成一个长方体，则该长方体的外接球半径即为所求球的半径，则该球的表面积为84.(10)已知双曲线C：1的左、右焦点分别是F1、F2，正三角形AF1F
6、2的一边AF1与双曲线左支交于点B，且4，则双曲线C的离心率为(D)(A)1 (B)(C)1 (D)【解析】由题意，F1(c，0)，A(0，c)，设B(x，y)，则4，(c，c)4(cx，y)，xc，y，代入双曲线方程可得1，9e428e2160，e.故选D.(11)已知函数yf(x)的周期为2，当x1，1时 f(x)x2，那么函数yf(x)的图象与函数y|lg x|的图象的交点共有(A)(A)10个 (B)9个 (C)8个 (D)1个【解析】作出两个函数的图象如下，函数yf(x)的周期为2，在1，0上为减函数，在0，1上为增函数，函数yf(x)在区间0，10上有5次周期性变化，在0，1、2，
7、3、4，5、6，7、8，9上为增函数，在1，2、3，4、5，6、7，8、9，10上为减函数，且函数在每个单调区间的取值都为0，1，再看函数y|lg x|，在区间(0，1上为减函数，在区间1，)上为增函数，且当x1时y0; x10时y1，再结合两个函数的草图，可得两图象的交点一共有10个，故选：A.(12)已知函数f的图象与函数yg的图象关于y轴对称，若函数yf与函数yg在区间上同时单调递增或同时单调递减，则实数m的取值范围是(B)(A)4，) (B)(C) (D)【解析】函数yg|2xm|，当两个函数在区间上同时单调递增时，必有在区间上f2xm，gm，且，解得m2；当两个函数在区间上同时单调递
8、减时，必有在区间上fm2x，gm，且，此时m无解，综上所述，m2.参考答案 选择题答题卡题号(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)(9)(10)(11)(12)答案CADCDDABBDAB第卷本卷包括必考题和选考题两部分第(13)(21)题为必考题，每个试题考生都必须作答第(22)(23)题为选考题，考生根据要求作答二、填空题：本题共4小题，每小题5分(13)为了解高中生用电脑输入汉字的水平，随机抽取了部分学生进行每分钟输入汉字个数测试，右图是根据抽样测试后的数据绘制的频率分布直方图，其中每分钟输入汉字个数的范围是50，150，样本数据分组为50，70)，70，90)，90，110)
9、，110，130)，130，150已知样本中每分钟输入汉字个数小于90的人数是36，则样本中每分钟输入汉字个数不小于70个且小于130个的人数是_90_【解析】设在50，70)内的频数为k，由频率分布直方图可知，在70，90)内的频数为2k.由3k36，得k12.因为在90，110)内的频数为3k；在110，130)内的频数为k，则5kk603090. (14)若直线l1：yx关于直线l的对称直线为l2：xy20，则直线l的方程为_xy10_(15)已知梯形ABCD中，ADCB，ABCD2，BC1，BAD，点E在边BC上运动，则取值范围是_3，6_【解析】方法一：坐标法；方法二：是在上的投影与
10、|的乘积(16)已知直线ymx与函数f(x)的图象恰好有3个不同的公共点，则实数m的取值范围为_(，)_【解析】做出f(x)的图象，可知m0时，直线ymx与f(x)只有一个交点，不符题意；当m0时ymx与y2，x0)必有两不等正实根，即方程x22mx20必有，解得m.三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤(17)(本小题满分12分)某年级教师年龄数据如下表：年龄(岁)人数(人)221282293305314323402合计20()求这20名教师年龄的众数与极差；()以十位数为茎，个位数为叶，作出这20名教师年龄的茎叶图；()现在要在年龄为29岁和31岁的教师中选2位教师参加学校有关
11、会议，求所选的2位教师年龄不全相同的概率【解析】()年龄为30岁的教师人数为5，频率最高，故这20名教师年龄的众数为30，极差为最大值与最小值的差，即402218.3分()7分 ()设事件“所选的2位教师年龄不全相同”为事件A.年龄为29，31岁的教师共有7名，从其中任选2名教师共有21种选法，3名年龄为29岁的教师中任选2名有3种选法，4名年龄为31岁的教师中任选2名有6种选法，所以所选的2位教师年龄不全相同的选法共有21912种，所以P(A).12分(18)(本小题满分12分)在几何体ABCDE中，BAC，DC平面ABC，EB平面ABC, ABAC2，且AE与平面ABC所成角为，CD1.(
12、)设平面ABE与平面ACD的交线为直线l，求证：l平面BCDE；()设F是BC上的点，且DFEF，求证：平面AFD平面AFE；()在()的条件下，求三棱锥EFDA的体积【解析】()DC平面ABC，EB平面ABC，DCEB，又DC平面ABE，EB平面ABE，DC平面ABE，l平面ABE平面ACD，则DCl，又l平面BCDE，CD平面BCDE，所以l平面BCDE. 5分()设CFx，在DEF中，因为FDFE，所以DF2EF2DE2，即：1x2(2x)222(2)21 得x，所以F为BC的中点由DC平面ABC，AF平面ABC，DCAF，又ABAC，F是BC的中点，AFBC，又DCBCC，DC平面BC
13、DE ，BC平面BCDE，AF平面BCDE，AFFD，又AFFEF，FD平面AFE，又FD平面AFD，故平面AFD平面AFE.9分()VEFDAVAEFDSEFDAF1.12分(19)(本小题满分12分)f(x)对任意xR都有f(x)f(1x).()求f和ff的值；()数列an满足：anf(0)fff(1)，数列an是等差数列吗？请给予证明；()令bn，Tnbbb，证明Tn2.【解析】()因为ff，所以2f，所以f.令x，则ffff.2分()anf(0)fff(1)，又 anf(1)fff(0)，两式相加2anf(0)f(1)f(0)f(1)，所以an，所以an1an，故数列an是等差数列.8
14、分() bn，Tnbbb11122.12分(20)(本小题满分12分)已知椭圆C：1(ab0)的短轴的一个顶点与两个焦点构成正三角形，且该三角形的面积为.()求椭圆C的方程；()设F1、F2是椭圆C的左右焦点，若椭圆C的一个内接平行四边形的一组对边过点F1和F2，求这个平行四边形面积的最大值(20)【解析】()椭圆C：1(ab0)的短轴的一个顶点与两个焦点构成正三角形，且该三角形的面积为，依题意解得a2，b，c1，椭圆C的方程为：1.4分()设过椭圆右焦点F2的直线l：xty1与椭圆交于A，B两点，则整理，得：(3t24)y26ty90，由韦达定理，得：y1y2，y1y2，6分|y1y2|，S
15、OABSOF2ASOF2B|OF2|y1y2|，椭圆C的内接平行四边形面积为S4SOAB，10分令m1，则Sf(m)，注意到Sf(m)在1，)上单调递减，Smaxf(1)6，当且仅当m1，即t0时等号成立故这个平行四边形面积的最大值为6.12分(21)(本小题满分12分)已知f(x)xln x，g(x)x2ax3.()求函数f(x)在t，t2(t0)上的最小值；()对一切x(0，)，2f(x)g(x)恒成立，求实数a的取值范围；()证明：对一切x(0，)，都有ln x成立【解析】()f(x)xln x，f(x)ln x1当x，f(x)0，f(x)单调递减，当x，f(x)0，f(x)单调递增.2
16、分0t时，f(x)minf；t时，f(x)在t，t2上单调递增，f(x)minf(t)tln t; f(x)min4分()2f(x)g(x)恒成立，ax2ln x恒成立，令h(x)x2ln x，则h(x)1，6分由h(x)0，得x13，x21，x(0，1)时，h(x)0；x(1，)时，h(x)0.x1时，h(x)min1034.a4.实数a的取值范围是(，4.8分()对一切x(0，)，都有ln x成立，xln x，f(x)，由()可知f(x)xln x(x(0，)的最小值是，当且仅当x时取到.10分设m(x)，(x(0，)，则m(x)，x(0，1)时，m(x)0，x(1，)时，m(x)0，m(
17、x)maxm(1)，从而对一切x(0，)，ln x成立.12分【点评】考查了利用导函数判断函数的单调性，利用导数求函数的最值，根据单调性对参数的分类讨论求函数的最值分类讨论思想的应用请考生在第(22)(23)两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。做答时请写清题号。(22)(本小题满分10分)选修44：极坐标与参数方程已知曲线C的极坐标方程是4cos .以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l的参数方程是(t是参数)()将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程；()若直线l与曲线C相交于A、B两点，且|AB|，求直线的倾斜角的值【解析】()cos x
18、，sin y，2x2y2，曲线C的极坐标方程是4cos 可化为：24cos ，x2y24x，(x2)2y24.5分()将代入圆的方程(x2)2y24得：(tcos 1)2(tsin )24，化简得t22tcos 30.8分设A、B两点对应的参数分别为t1、t2，则|AB|t1t2|，|AB|，.cos .0，)，或.直线的倾斜角为或.10分(23)(本小题满分10分)选修45：不等式选讲已知a0，b0，且ab1.()若abm恒成立，求m的取值范围；()若 |2x1|x2|恒成立，求x的取值范围【解析】()a0，b0，且ab1，ab，当且仅当ab时“”成立，由abm恒成立，故m；5分()a，b(0，)，ab1，(ab)59，故|2x1|x2|恒成立，则|2x1|x2|9，8分当x2时，不等式化为12xx29，解得6x2，当2x，不等式化为12xx29，解得2x，当x时，不等式化为2x1x29，解得x12，综上所述x的取值范围为6，12.10分
