1、六年级下册数学知识点总结几何初步知识十、几何初步知识279什么叫做几何学和几何图形？几何学是数学的一门分科,它是研究物体的形状、大小和相互位置关系的科学,也就是研究现实客观世界空间形式和数量关系的一门科学.在我们的周围世界里,各种物体都具有形状、大小和相互之间的位置关系.例如：课桌的桌面是长方形的,魔方的每个面是正方形的,各种车轮的形状是圆的.魔方有大小之分,魔方的面的大小也是不一样的；汽车有大小,自行车也有大小,同样是车轮,大小也不相同.还应该看到,物体与物体之间,有着相互位置关系.例如：上下关系、前后关系和左右关系等.公元前338年,希腊数学家欧几里得总结了劳动人民在实践中获得的几何知识,
2、并加以系统整理,按照图形在平面或空间的形式,在几何学中分出了“平面几何”和“立体几何”两个分支.由于几何学是研究物体的形状、大小和相互位置关系的科学,根据研究结果加以抽象概括,便产生了几何图形.几何图形是由点、线、面结合而成的,也是点、线、面的集合.一个图形所有的点,都在同一平面内,这样的图形叫做“平面几何图形”,如长方形、正方形、三角形、梯形和圆等图形,都是平面几何图形.如果一个图形的点不全在同一平面内,这个图形就叫做“立体几何图形”,如长方体、圆柱体和圆锥体等图形,都属于立体几何图形.280什么叫做点、线、面、体？ 点：在平面上只有位置,没有大小（即没有长、宽、高）,不可分割的.线和线相交
3、于一个点.也可以理解为“点”是“线”的界限.在几何中,用大写字母表示点.如,图中的A点、B点、C点.线：如果两个面相交,就会交出一条线来.也就是面和面相交于线.一张纸对折起来的痕迹就是“线”.也可以理解为“线”是“面”的界限.线有直线和曲线等.如：长方体相邻的两个面相交于一条线（也就是长方体的一条棱）,就是直线.圆柱体的侧面和一个底面相交的一条线,就是曲线.线只是面与面相交的界限,它没有大小（即粗细）,只有长短,或者说,线只有长,而没有宽和高.面：任何物体都占一定的空间,都是用它的表面和周围分割开来.因此,可以说“体”是由“面”围成的.如：课本的封面、黑板的面、粉笔的截面、水桶的侧面和底面等都
4、是“面”.也可以理解为“面”是“体”的界限.由于面是物体的表面,如果放弃物体的本身,只单独想象物体的表面,这样的面就是几何的面.几何里的面是没有厚度的（即：高）,所以,面只有长和宽,而没有高.体：当我们只研究一个物体的形状、大小而不研究它的其它性质（如颜色、重量、硬度等）的时候,我们就把这个物体叫做几何体,简称“体”.例如：一块砖与一个和砖完全一样的纸盒,虽然它们的颜色、重量、硬度以及制作材料都不同,只要它们的形状、大小都相同,就可以认为它们是完全相等的两个几何体.就上述的砖和纸盒来说,它们是两个相同的长方体.281直线、射线和线段有什么不同？直线、射线和线段是易于混淆的三个概念,它们之间也是
5、有联系的,直线是基础,射线和线段是直线概念的发展.它们也是有区别的,这是它们之间的主要方面.首先看直线,一点在空间沿着一定方向和相反方向运动,所成的图形就是直线.一张纸的折痕、双手拉紧的线,都给人以直线的形象.我们把直线看作可以向两方无限延伸的,直线是无头无尾的,即是没有端点的.直线可以用表示它上面任意两点的两个大写字母来表示.例如,直线AB,或直线BA；也可以用一个小写字母表示一条直线.例如,直线l（如下图）.经过一点,可以画无数多条直线,但是,经过两点却只能画出一条直线,这就是直线的基本性质.除此之外,两条直线相交,只有一个交点.其次看射线,在直线上某一点一旁的部分叫做射线.这一点叫做射线
6、的端点.射线的另一端是可以无限延伸的,因此,没有端点.射线只有一个端点；是一条半直线.类似探照灯光和手电筒所射出的光线,都可以看作射线的实际例子.射线通常用表示它的端点和射线上另外一点的两个大写字母来表示,并且把表示端点的字母写在前面.例如,以点O为端点的射线,可以在射线上再取一点A,记作：射线OA（如图）.最后再看线段,直线上任意两点间的部分叫做线段.具有一定长度的拉直了的细绳,可看作线段的实际例子.线段是有长短的,因此可以进行度量.线段通常用表示它的两个端点的大写字母来表示.例如,线段AB,或者线段BA.也可以用一个小写字母表示.例如,线段a（如下图）.在连结两点的所有线中,线段最短.这就
7、是线段的基本性质.282什么叫做“角”？几何中所指的“角”的定义是：从一点画出的两条射线所组成的图形,叫做“角”.这里所说的点（即两条射线的端点）,叫做角的“顶点”,构成角的两条射线,叫做角的“边”.角的大小与两边的长短无关,只与角两边的相互位置关系有关.这一点,在初学时很容易混淆,必须引起注意.角用符号“”来表示.如：从图2中可以看到：角也可以看作由一条射线绕着它的端点旋转而成的.一个角一般有以下三种表示方法：（1）用“”与三个大写字母表示角.如：图3中的角记作：AOB；图4中的角记作：BOC,AOB,AOC.（2）用“”与一个大写字母表示角.这里所指的一个大写字母,应该是角顶上的字母.而且
8、这种用一个大写字母表示角的方法,只适用于单个的角.如图3,用O来表示,如果是具有共同顶点的两个或两个以上的角时,则不能用这种方法来表示角.如图4,如果用O来表示,就表述不清到底O表示哪个角.（3）用“”与一个小写希腊字母或一个数字表示角.例如：下图中的角分别记作：1、2、.283几何中的角可分为哪几种？（1）周角：一条射线绕着它的端点,按逆时针方向旋转,转到这条射线回到它的原来的位置时,就形成了一个周角.如图图中的OA绕它的端点O按逆时针方向旋转,转到这条射线又回来的位置,形成了一个周角.一个周角等于360,一个周角是一个平角的2倍.（2）平角：一条射线绕着它的端点,按逆时针方向旋转,转到和原
9、来位置成为一条直线,这时所成的角,叫做平角.如图图中的射线OA绕它的端点O,按逆时针方向旋转,转到射线OB的位置上（射线OA与射线OB构成一条直线）,形成一个平角.一个平角等于180度,记作180.（3）优角：一个大于平角又小于周角的角,叫做优角.优角在小学数学教材中没有出现,但在教学中常常遇到学生提出这样的问题：比周角小又比平角大的角叫什么角？ 181的角是什么角等等.如图优角大于180,小于360.（4）直角：等于平角一半的角,叫做直角.如图直角通常记作“RT”.直角的大小通常用d来表示,这样,平角等于2d,周角等于4d.（5）钝角：一个比平角小又比直角大的角叫做钝角.如图钝角的度数大于9
10、0,小于180.（6）锐角：小于直角的角叫做锐角.如图锐角小于90.（7）余角：当两个锐角AOB与BOC之和等于一个直角AOC时,其中一个角BOC叫做另一个角AOB的余角.这两个角叫做互为余角.如图（8）邻角：当两个角有一个公共的顶点,有一条公共的边, 这两个角另外两条边在公共边的两侧,这两个角叫做互为邻角.如图图中的OC是AOC与COB的公共边,AOC是COB的邻角；BOC也是COA的邻角.（9）补角：两个角的和等于平角,这两个角叫做互为补角.也就是说,其中任一个角是另一个角的补角.如图图中的1是2的补角,2是1的补角,或者说,1与2互为补角.（10）对顶角：把一个角的两边分别向相反方向延长
11、,这两条延长线所夹的角,叫做原角的对顶角.如图图中的AOD与BOC、AOB与DOC；两对顶角是相等的.图中的AOD=BOC；AOBDOC；.（11）三线八角：两条直线被第三条直线所截,所得的八个角,叫做三线八角.图中的l1、l2、l3 和1、2、3、4、5、6、7、8就是三线八角.按上述八个角的相互位置,给以下列不同名称：同位角：当形成三线八角时,如果有两个角分别在两条直线的同一方,并且在第三条直线的同一旁,这样的一对角,叫做同位角.如图中的1与5、2与6、4与8、3与7都是同位角.内错角：如果两个角都在两直线的内侧,并且在第三条直线的两侧,那么这样的一对角叫做内错角.图中的6与6、4与5都是
12、内错角.外错角：如果两个角都在两直线的外侧,并且在第三条直线的两侧,那么这样的一对角叫做外错角.图中的1与8、2与7都是外错角.同旁内角：如果有两个角都在两条直线的内侧,并且在第三条直线的同旁,那么这样的一对角,叫做同旁内角.图中的3与5、4与6都是同旁内角.同旁外角：如果有两个角都在两条直线的外侧,并且在第三条直线的同旁,那么这样的一对角,叫做同旁外角.图中的1与7、2与8都是同旁外角.284垂直和垂线有什么不同？垂直和垂线是两个不同的概念.垂直的含义是：两条直线相交成直角,这两条直线叫做互相垂直.图中的直线AB与直线CD相交于O,并且它们所成的角等于90,因此,直线AB与CD互相垂直.在两
13、条相互垂直的直线中,其中一条直线叫做另一条直线的垂线.它们的交点叫做垂足.垂直通常用符号“”来表示.如图中的AB垂直于CD,可记作ABCD,读作AB垂直于CD.有时为了把垂足也表示出来,也可以写作 ABCD于O,读作： AB垂直于CD于O点.垂线还具有以下两个性质：（1）经过一点且只有一条直线垂直于已知直线；（2）从直线外一点到这条线上的各点所连结的线段中,和这条直线垂直的线段最短.画垂线时的要点是什么？通常画垂线所借助的工具有两种：一种是借助“三角板”画垂线；另一种是借助“直尺、圆规”来画垂线.用三角板画一条直线的垂线,一般所给的条件有两种：（1）过直线外一点画这条直线的垂线.（2）过直线上
14、的一点画这条直线的垂线.如图：例如：已知点P是直线AB外的一点,用三角板过P点作PO垂直于AB.如图,把三角板一条直角边靠在直线AB上（即把三角板的一条直角边与直线AB重合）,并沿AB移动,使另一条直角边靠上P点,固定住三角板,并用铅笔沿着这另一条直角边画一条直线PO,直线PO与直线AB交于O点,这样,PO就是直线AB的垂线.用一个三角板作垂线时,往往在接近垂足O点处的一段不容易作得很好.可以采用另一种方法,如图所示：用两个三角板,把一个三角板（如虚线中的三角板）先固定住,然后把另一个三角板与它靠紧,再拿去第一个三角板,固定住第二个三角板,用铅笔沿着第二个三角板的一条边（靠上P点的一条边）画一
15、条直线PO.这种方法的关键是第二个三角板靠P点的一条边与直线AB相交,因此,在垂足O处,可以画得准确些.又如：已知点P是直线AB上的一点,用三角板过P点作PC垂直于直线AB.如图：如图,把三角板的一条直角边靠在直线AB上,沿着AB移动,使另一条直角边靠上P点（即直角顶点靠上P点）时,把三角板固定,并且用铅笔沿这另一条直角边画一条直线PC与直线AB相交于P点,则PC是AB的垂线.与上例相同,也可以按图所示,用两个三角板,当第一个三角板的一条直角边靠在直线AB上,沿AB移动到另一条直角边靠上P点时,固定住三角板,把第二个三角板的一条边与它靠紧,然后拿掉第一个三角板,用铅笔沿第二个三角板靠P点的一边
16、画一条直线PC,则PC是AB的垂线.用直尺和圆规画一条直线的垂线时,通常有两种情况：（1）过直线AB外的一点P作AB的垂线.（2）过直线AB上的一点P作AB的垂线.如图：如图,以P为圆心,以大于P到AB的距离为半径作弧,交AB于E、PD,PD交AB于O,则PD是AB的垂线,垂足为O.如图,以P点为圆心,以任一长为半径作弧交AB于E、F；以E、的垂线,垂足为P.285平行与平行线有什么关系？平行与平行线是两个不同的概念,它们之间又有着内在的联系.平行的概念是指直线与直线、直线与平面、平面与平面之间的位置关系.当线与线、线与面、面与面平行时,其共同特点是没有公共点.但一组直线平行,除了直线之间没有
17、公共点之外,这组直线必定在同一个平面上.通常用“”表示平行.平行线的概念是指在同一平面内,两条不相交的直线,叫做平行线.如图：直线AB与CD,无论怎样把它们向两方无限地延长出去,这两条直线是永远不会相交的.类似这样的两条直线,就是平行线.可记作 ABCD,读作AB平行于CD.平行线具有以下几个性质：（1）经过直线外一点,且只有一条直线平行于这条直线.（2）在同一平面内,如果两条直线都平行于第三条直线,那么这两条直线平行.（3）两条平行线被第三条直线所截,它们的同位角相等.（4）两条平行线被第三条直线所截,它们的内错角相等.（5）两条平行线被第三条直线所截,它们的同旁内角互补.（6）如果一条直线
18、和两条平行线中的一条垂直,那么它也垂直于平行线中的另一条.依据上述平行线的性质,可以对两条直线是否为平行线进行判定.286画平行线时的要点是什么？画平行线时,通常借助的工具是直尺和三角板.其画法的要点是：先把三角板靠在直尺上（如下图）.把三角板顺着直尺滑动,沿着三角板的其它一边,在滑动的不同位置上作两条直线（如图中AB和CD）,这两条直线就是平行线.一般情况下,需要通过直线外一点,作已知直线的平行线.其画法的要点是：先把三角板的一条边靠在直线上（如图）：三角板所靠的直线为AB,再把直尺贴在三角板的另一边上,然后再把直尺与三角板一起沿着直线AB移动,使直尺边靠在点P上,这时,固定住直尺,把三角板
19、沿着直尺推到与原直线AB靠在一起的一边的点P上,最后用铅笔在这条边上画一条直线CD,这样,直线CD过P点,并且与直线AB平行.287长方形、正方形、菱形都是平行四边形吗？回答这个问题,首先明确一下平行四边形的意义及其性质,才能对此做出肯定或否定的判定.平行四边形的意义是：平面上两组对边分别平行的四边形,叫做平行四边形.根据平行四边形的意义,图中四边形ABCD的两组对边 ABCD；ADBC,因此,四边形 ABCD是个顶点时,要用大写字母依次顺序标出.平行四边形的性质是判定平行四边形的主要依据.这些性质有：（1）对边相等.即：AB=CD,ADBC.（2）邻角互补.即：AB=B+C=180.（3）对
20、角相等.即：A=C；B=D.（4）对角线互相平分.即：AO=OC；BO=OD.根据上述意义和性质,可以对问题做出判定：长方形两组对边分别平行,符合平行四边形的意义,也具备其性质,因此,长方形也属于平行四边形.同时,长方形的四个角都是直角.正方形本身就是特殊的长方形,除了四条边都相等外,具备了长方形的一切特征,因此,正方形也属于平行四边形.菱形的四条边也相等,也具备了平行四边形的意义和性质, 因此,也属于平行四边形.一般情况下,为了突出本身的特征,上述三种图形分别叫它们为长方形、正方形和菱形,从实质上划分,也可以说它们都是特殊的平行四边形.288三角形应该如何分类？由于三角形是由不在同一直线上的
21、三条线段所围成的封闭图形,因此,三角形必有三条边和三个角.三角形通常用符号“”来表示.三角形的分类方法,一般是按“角”和“边”来划分的,角是根据内角的大小,边是根据边的长短.按内角大小来划分,可分为三类：（1）锐角三角形：每个角都是锐角（小于90）的三角形,叫做锐角三角形.左图中的三角形的三个角都是锐角,所以,ABC是锐角三角形.（2）直角三角形：有一个内角是直角的三角形,叫做直角三角形.左图中ABC的内角A是直角,因此,这个三角形是直角三角形.（3）钝角三角形：有一个内角是钝角的三角形,叫做钝角三角形.左图中ABC的内角A是钝角,因此,这个三角形是钝角三角形.钝角三角形与锐角三角形的合称,叫
22、做斜三角形.如果按三角形的边的长短来划分,也可分为三类：（1）不等边三角形：三条边互不相等的三角形,叫做不等边三角形.左图中ABC的三条边互不相等,所以,这个三角形是不等边三角形.（2）等边三角形：三条边都相等的三角形,叫做等边三角形.左图中的ABC三条边都相等,所以,这个三角形是等边三角形.（3）等腰三角形：有两条边相等的三角形,叫做等腰三角形.左图中的ABC的两条边是相等的,即AB=BC,所以,这个三角形是等腰三角形.由于等边三角形ABC中,AB=BC=AC,任选两边都相等,符合等腰三角形的条件,所以,等边三角形也是等腰三角形.上述三角形分类情况如下图所示：289什么叫做“勾股定理”？勾股
23、定理是关于直角三角形边与边之间的关系的定理,即：在直角三角形中,两条直角边的平方和等于斜边的平方.如果把一个直角三角形的两条直角边分别记为a、b,把斜边记为c,那么它们之间的关系式是：a2+b2=c2在我国古代,把直角三角形叫做勾股形.如图：一般都把直角三角形中,短的一条直角边叫做“勾”,长的一条直角边叫做“股”,斜边叫做“弦”.所以,我国古代把边与边关系所形成的定理,叫做勾股定理（如图1）.图（2）中的直角三角形ABC中,勾AB=3,股BC=4,弦AC=5.按照勾股定理,所揭示三条边的关系为：3242=52这就是我国最古的算书周髀算经（约成书于公元前一世纪左右）一开始就指出的：“勾三、股四、
24、弦五”.这是直角三角形的三条边长都是整数时的例证.古希腊数学家毕达哥拉斯（公元前572年-公元前497年）证明了这个定理.所以在国外,常把这个定理称为毕达哥拉斯定理.290怎样推导三角形的面积公式？在认识三角形特征的基础上,推导出三角形的面积公式,既是教学的自然发展,也是教学的重点.推导三角形的面积公式,一般有以下三种方法：（1）将两个全等的直角三角形转化成长方形：采用这种方法,可让学生动手实践,先准备一张长方形纸,事先量出它的长和宽,并计算出面积.在课堂上,用剪刀沿长方形的对角线剪开,形成两个全等的直角三角形.如图：通过剪完后的观察,启发学生找出长方形的长相当于三角形的底,长方形的宽相当于三
25、角形的高,而长方形面积则等于两个三角形的面积.由此推导出公式：同理,也可以将两个全等的等腰三角形转化成正方形进行推导.（2）将两个全等的锐角三角形转化成平行四边形：这是一种通常的推导三角形面积的方法.先剪出两个全等的锐角三角形,将这两个三角形一正一反地组成平行四边形.然后对照进行推导.如图：转化成平行四边形后,可以观察到：平行四边形的底与三角形的底一样,平行四边形的高与三角形的高也一样,由于平行四边形是两个全等三角形组成,因此,平行四边形面积等于两个三角形面积.由此可推导出公式：也可以将两个全等的锐角三角形转化成长方形进行推导.如图：由图中看到：长方形的长和宽所对应的是三角形的底和高,长方形面
26、积相当于两个全等三角形面积.其公式推导同（1）.（3）将一个三角形转化成长方形：顶点处于同一水平线上,通过割、补即可将这个三角形转化成长方形.如图：这种图形割补的演示方法,也可以让学生动手实践进行剪拼.从图形割补可观察到：三角形转化为长方形后,面积大小没有任何改变,长方形的长相当于三角形的高,长方形的宽相当于三角形底的一半（已割去长方形面积= 长 宽 三角形高 三角形底的一半三角形面积= 高 底2运用交换律得：底 高2291三角形的中线、三角形的中位线以及三角形的高线有什么区别？这是三个完全不同的概念.三角形的中线是指：连结三角形的一个顶点和这个顶点对边的中点的一条线段,叫做三角形的一条中线.
27、下图中,D是BC的中点,AD则是ABC的中线.由于三角形有三个角,也必然有三个顶点,每个顶点都可以与这个顶点对边的中点连结成一条线段,因此,每个三角形有三条中线.三角形的中位线是指：三角形两边中点的连线,叫做三角形的一条中位线.左图中,D、E分别是三角形ABC的边AB、AC的中点,在D与E之间作一连线,则DE是ABC的一条中位线.三角形的中位线平行于第三边,并且等于第三边的一半.同理,三角形有三条中位线.三角形的高线是指：从三角形的一个顶点到它的对边所在的直线作垂线,顶点到垂足之间的线段叫做三角形的高线.简称三角形的高.左图中,ADBC于D,线段AD是ABC的一条高线.同理,三角形中有三条高线
28、.应该注意的是：（1）直角三角形中,有两条高线与直角边重合.（2）钝角三角形中,有两条高线在三角形之外.如图中的钝角三角形ABC,的一个内角C是钝角,则AD是BC边上的高线,BE是AC边上的高线.但它们分别与AC、BC的延长线相交于三角形ABC的形外.292四边形应该怎样分类？由四条线段围成的封闭图形叫做四边形.如果没有一组对边平行的四边形,就叫做任意四边形.在小学中所涉及的四边形,都是凸的四边形,即：如果延长四边形的任何一边,而整个四边形都在这边延长线的同旁,那么这样的四边形就叫做凸四边形.四边形在教材中包括以下八种（如下图）：从上图中可以看到这些都属于四边形的范畴之内,但各自的名称不相同.
29、1是任意四边形；2是平行四边形；3是长方形；4是正方形；5是菱形；6是直角梯形；7是等腰梯形；8是一般梯形.如果把上面图形归类概括,则四边形可做如下分类：293怎样认识三角形的三个内角和是180？三角形的三个内角和是180,这是三角形内角和的性质.在几何初步知识的教学中,这是一个重要的内容.要通过量一量、折一折、想一想和算一算等实践活动,让学生在掌握内容的同时,培养和发展学生的推理判断能力.教学前,先布置课前作业,要求每个学生剪出六个三角形,即：按角分有直角三角形、锐角三角形、钝角三角形；按边分有等边三角形、不等边三角形和等腰三角.形固定,但数据不做统一要求,这样剪出来的三角形是大小不一的.教师谈话后,先让学生量一量.如：拿出一个直角三角形,让学生量出另外一个角的度数,并报出来,教师立即报出第三个角的度数,然后让学生进行测量核实（用量角器）.如此重复数次,就可以激起学习的兴趣和教学中的悬念.在此基础上,全体学生一起动手测量自制的六个三角形三个内角的度数,并把它们加起来,初步明确：无论是什么样的三角
