1、刚体定轴转动习题解答习题3-1 一汽车发动机曲轴的转速在 12s内由每分钟1200转匀加速地增加到 每分钟2700转，求：（1）角加速度；（2）在此时间内，曲轴转了多少转?解：(1) “ = 40二(rad / s) 2 = 90二(rad/s)匀变速转动e en 3 9 0圈)2n3-2 一飞轮的转动惯量为 J ,在t =0时角速度为-0，此后飞轮经历制动过程。阻力矩 M的大小与角速度的平方成正比，比例系数 K .0。求:（）当二0.3时，飞轮的角加速度;（2）从开始制动到 - -3所需要的时间。解：（1）依题意2J鲁(rad/s2)t0dt3-3如图所示， 发电机的轮 A由蒸汽机的轮B通过
2、皮带带动。两轮半径RA =30cm , RB =75cm。当蒸汽机开动后，其角加速度 :B = 0.8 nrad/s2,设轮与皮带之间没有滑动。求（ 1）经过多少秒后发电机的转速达到nA =600rev/min ? （ 2 ）蒸汽机停止工作后一分钟内发电机转速降到 300rev/min，求其角加速度。解：(1 )；.-： a = - at ；B = - Bt因为轮和皮带之间没有滑动，所以 A、B两轮边缘的线速度相同，即3-4 一个半径为R = 1.0m的圆盘，可以绕过其盘心且垂直于盘面的转轴转动。一根轻绳绕在圆盘的边缘，其自由端悬挂一物体。若该物体从静止开始匀加速下降，在 At = 2.0s内
3、下降的距离h = 0.4m。求物体开始下降后第3秒末，盘边缘上任一点的切向加速度与法向加速度。2h 2解：物体下落的加速度 a 2 =0.2(m/s2)(t J又at =a = R：，得圆盘的角加速度 ：=0.2(rad/s2)第3秒末，圆盘的角速度 = t = 0.6(rad /s )所以 at =0.2(m/s2) a* = 2R = 0.36(m/s2)3-5 一个砂轮直径为 0.4m，质量为20kg，以每分钟900转的转速转动。 撤去动力后，一个工件以100N的正压力作用在砂轮边缘上， 使砂轮在11.3s内停止，求砂轮和工件的摩擦系数(忽略砂轮轴的摩擦)。解：M = J ：p 2兀00
4、 30 ( . / ) | 1 *d 门 2、又国0 = =30ir(rad / s) , J = m i =0.4(kg m )60 2 、2 丿得 -0.167径轴转动时，求圆环对轴的转动惯量 J。解：方法一：设过环心且垂直于圆环所在平面的轴线为 Z轴，过环心的两条互相垂直的直径分别为 x轴和y轴,根据垂直轴定理 Jz=Jx，Jy由对称性可知Jx =Jy，又Jz =mR2得 J=Jx=Jy=mR22方法二：dm =，dl = Rd，其中2兀RdJ =dm(Rsin 日 j = R3sin2 日2 3 2 3 1 2J0 Rsin WR 丁3-7如图所示，长为2L的匀质细棒，质量为M，未端固
5、定一质量为 m的质点，当它绕过棒中点的水平轴转动时，求转动惯量 J。1 n 2解：J =JM - Jm ML mL33-8如图所示，从质量为 M，半径为R的匀质薄圆板上挖去一个半径 为r的圆孔，圆孔的中心位于半径的中点。 求此时圆板对于原板中心且与板 面垂直的轴线的转动惯量。解：可以把带孔的圆板看成均匀的完整圆板减去一个跟圆孔大小一致的圆板，即J = J圆板- J孔板-M J%22 R 43-9如图所示，把两根质量均为 m，长为丨的匀质细棒一端焊接相连，其夹角“ -120，取连接处为坐标原点， 两个细棒所在的平面为 Oxy平面, 求此结构分别对Ox轴、Oy轴、Oz轴的转动惯量。解:（ 1）Jx
6、 =J左x J右X，其中 J右X=03-10如图所示，在边长为a的正六边形的六个顶点上各固定一个质量为m的质点，设这正六边形放在 Oxy平面内，求：（1 ）对Ox轴、Oy轴、Oz解：(1) Jx =2 0 4 m(弓=3ma2Jy =1 0 2 m(-)2 2 (3a)2 1 m(2a)2=9ma22 2Jz =1 0 2 ma2 2 (.3a)2 1 m(2a)2 =12ma2(2) J =2 ma2 4 m(a)2 =3ma2y 2或根据平行轴定理Jy：=Jy-6m a2 =3ma23-11匀质圆盘质量为 m、半径为R，放在粗糙的水平桌面上，绕通过盘心的竖直轴转动，初始角速度为 0，已知圆
7、盘与桌面的摩擦系数为 J，问经过多长时间后圆盘静止?解：可以把圆盘看成由许许多多的小圆环组成， 其中半径为r、宽度dr 的质量为dm = ；dS = 2二;rdr ，其中二=m， 兀R受到的摩擦力矩为dM 二dmgr 二 -2 二七gr2dr2mgR所以整体圆盘受到的摩擦力矩为RM = j2二七gr2dr =二七gR3 3又 M 二 J ： , J = 1 mR22:d _M _ 4弋常量吊量dt J 3R3-12如图所示，斜面倾角为 二，位于斜面顶端的卷扬机鼓轮半径为 r、转动惯量为J、受到的驱动力矩 M，通过绳索牵引斜面上质量为 m的物体,物体与斜面间摩擦系数为 ，求重物上滑的加速度。绳与
8、斜面平行，不计绳质量。 M -Tr = J0解：T 一 Pmgcos。mgsin=maa = r P(M -umgcos-mgsin r)rJ mr23-13如图所示，两物体质量分别为 叶和m2，定滑轮的质量为 m、半径为r，可视作均匀圆盘。已知m2与桌面间的滑动摩擦系数为 ，求m下落的加速度和两段绳子中的张力各是多少？设绳子和滑轮间无相对滑动， 滑轮轴受的摩擦力忽略不计。解:mr2r2(gga 二2m +2m2 +mT2 = Jkm2g m2a =2(1 Q -k)m1m2 -kmmg2| 2m2 m3-14如图所示的飞轮制动装置， 飞轮质量m = 600kg，半径R = 0.25m , 绕
9、其水平中心轴 O转动，转速为900rev/min。闸杆尺寸如图示， 闸瓦与飞轮 间的摩擦系数亠-0.40，飞轮的转动惯量可按匀质圆盘计算，现在闸杆的F =100N，问飞轮将在多长时间内停止转动一端加一竖直方向的制动力 在这段时间内飞轮转了几转?解：设作用在飞轮上的压力为 N，则有N 0.5 =F (0.5 0.75)，得 N =250(N)口 2兀汉900 cc / , 、 0 _0又 0 30 二（rad/s）,所以 t - ： 7.07（s）又v -匚卫，得n 53（转）2P 2兀3-15如图所示，长为I , ?质量为M的匀质细棒可绕过其端点的水平轴在竖直面内自由转动， 现将棒提到水平位置
10、并由静止释放， 当棒摆到竖直位置时与放在地面上质量为 m的物体相碰。设碰后棒不动，物体与地面的摩擦系数为J，求碰撞后物体经过多少时间停止运动？又角动量守恒得心肌，有v=豈=m1 2 M 又J=1ML，即二硕廊3-16质量为M、半径为R的水平转台，可绕过中心的竖直轴无摩擦地 转动。质量为 m的人站在转台的边缘，人和转台原来都静止。当人沿转台 边缘走一周时，求人和转台相对地面转过的角度。解：以人和转台组成的系统为研究对象，设人相对于转盘的角速度为 ，转台相对地的角速度为 ，由角动量守恒得2 1 2mr ( - MR 移项得2 1 2 2 mr ( MR mr ) 2即2 d Z1 m2 2ddmr
11、 ( MR mr )dt 2 dt两边消去dt，并积分的2二 2 1 2 2 0 mr d 二 0 (? MR mr )d解得2mr2mr2 2 MR23-17质量为M、半径为R的水平转台，可绕过中心的竖直轴无摩擦地转台中心向边缘走去，求转台转过的角度随时间 t的变化函数。解：以人和转台组成的系统为研究对象， 其角动量守恒。设某一时刻t人 运行到距轴心ut处，由角动量守恒得1 2 1 2 2 22MR -(2MR mUt)3-18如图所示，一质量为 m的小球由一绳索系着，以角速度 o在无摩擦的水平面上， 作半径为r0的圆周运动。在绳的另一端作用一竖直向下的 拉力后，小球作半径为 ro/2的圆周
12、运动试求：（1）小球新的角速度；（2） 拉力所作的功。(2) A = AE =丄 m(时 “) m(cd0r0)2 = mrfeo02 2 2 23-19如图3-30所示，A与B两飞轮的轴杆可由摩擦啮合器使之连接，A轮的转动惯量JIO.Okg m2，开始时B轮静止，A轮以m=600rev/min的转速转动，然后使 A与B连接，因而B轮得到加速而 A轮减速，直到两轮 的转速都等于n =200rev/min为止.求：（1）B轮的转动惯量；（2）在啮合过 程中损失的机械能。解：（1）由角动量守恒 J 1（J1 J2） 3-20长L = 0.40m的匀质木棒，质量M = 1. o kg，可绕水平轴 O
13、在竖直面内转动，开始时棒自然下垂，现有质量 m = 8.0g的子弹以v = 200m/s 的速率从A点射入棒中，设 A点与0点距离为L ,求（1 ）棒开始运动时的角速度；（2 ）棒的最大偏角。解：由角动量守恒定律 mv? L ML2 mi3L 4 3 14 丿3 mv41 i z 3 f l 3（2） - ML2 m L 2 二 Mg ? （1 一cost） mg： L（1 一 cost）j - 94 123-21如图所示，一扇长方形的均质门，质量为 m、长为a、宽为b，转轴在长方形的一条边上。 若有一质量为 m0的小球以速度 v0垂直入射于门面的边缘上，设碰撞是完全弹性的。求： （1）门对轴
14、的转动惯量；（2）碰撞后球的速度和门的角速度； （3）讨论小球碰撞后的运动方向。解：（1） dm = ；dS 二二adx2 2dJ = x dm 二- ax dxb 2 1 3 1 2J ax dx ab mb0 3 3（2）设碰撞后，门的角速度为 ，小球的速度大小为 V,方向与v0同向联立解得2m0v0b 6m0v0J m0b (m 3m0)b2(m0b -J)v0 3m0-mv _ ” _ V。J mob 3m0 m(3) m : 3m0, v 0 ,与 v0 同向m - 3m0, v : 0，与v0反向，小球反弹回来3-22如图所示，空心圆环可绕竖直轴 00 自由转动，转动惯量为 J ,
15、环的半径为R，初始角速度为 0。质量为m的小球静止于环的最高点 A，由于微扰，小球向下滑动。求： （1）当小球滑到 B点时，环的角速度、小球相对于环的速度各为多少？（ 2）小球滑到最低点 C点时，环的角速度、小环相对于环的速球度各为多少？解得J 0J mR2At C J 0 = J C解得以地面为参考系，取 B点为重力势能零点，则由机械能守恒定律，有1 2 1 2 1 2L BAt CJ 0 mgR J B mvB2 2 21 2 1 2 1 2J，2 mgR J C mvC2_mgR2 2 2其中VB为小珠在B点相对于地的速度，它的竖直分量即为小珠相对环的速度Vb，它的水平分量即为环 B点的线速度R b，因此有卜2 2 2Vb Vb (R b)（环其中VC为小珠在C点相对于地的速度，也就是小珠相对环的速度上C点的线速度为零）联立上面各式解得Vb -J-R2J mR22Rg2AtB J1：；。= (J mR )b
