1、完整word版全国数学联赛金牌教练高中奥数辅导第十二讲联赛训练之直线圆圆锥曲线平面向量全国高中数学联赛 金牌教练员讲座兰州一中数学组第十二讲：联赛训练之直线 圆圆锥曲线 平面向量一，基础知识导引,直线与圆1,两点间的距离公式：设 Pi(Xi,yi),P2(X2,y2),RP2 . (x_X2)_(yy2)2 ;2,线段的定比分点坐标公式:设 P(xi, yj F2(x2, y2)，点 P(x, y)分 PP 的比为3,直线方程的各种形式4,(1), I1/I2AB2 AB 0且 A1C2 A2C1 0(或 k15,两直线的到角公式与夹角公式7,圆的方程2 2 2 2 D，一般方程：x y Dx
2、 Ey F 0,其中D E 4F 0,圆心为（半径为-D2 E2 4F .2x a Rcos（3）,参数方程： ，其中圆心为（a,b）,半径为R.y b Rsi n二 ，圆锥曲线椭圆双曲线抛物线定义与两个定点的距离的与两个定点的距离的与个疋点和一条疋和等于常数差的绝对值等于常数直线的距离相等2 x2.2 12 x2y_ -2 y2px22标准方程abab2(或x2py)222 2（或一-乙1)2 1力(或-丄 1)2 . 2 1 /baabxacosxasecx2pt2参数方程ybsi nybta ny2ptxbsi nxbta nx2pt（或)（或)（或c丄2）yacosyasecy2pt2
3、焦占八 、八、(c,0)或(0, c)(c,0)或(0, c)（号,0）或(0,_P)2正数a,b,c,p的关系2 c(a2 ,2a bb 0)2 c(a2 ,2a b0,b 0)离心率c ,c ,e1e1e1aa准线a2 2t aa2 a2x卫（或y卫）x_(或 y )x-(或 y )22c cc c渐近线b by-x(或 x - y)a aPF-| a exPF-aPFx卫x。2IPF2I a exPF2ex a（或PFy号）2焦半径（或PF-a ey0(PF-ey a,PF2I a ey。)|PF2(点Pey。a),在左或下支)统一定义到定点的距离与到定 直线的距离之比等于定值的点的集合
4、,(注:焦点要与对应 准线配对使用)二，解题思想与方法导引1,函数与方程思想 2,数形结合思想.3,分类讨论思想.4,参数法. 5,整体处理三，习题导引,选择题x y x yl1,在平面直角坐标系中，方程 1(a,b为相异正数),所表示的曲线是2a 2bA,三角形 B,正方形 C,非正方形的长方形 D,非正方形的菱形一 5 42,平面上整点(坐标为整数的点)到直线y x 的距离中的最小值是35.34 34 1 1A, B, C, D,;170 85 20 302 03,过抛物线y 8(x 2)的焦点F作倾斜角为60的直线，若此直线与抛物线交于 A,B两点，弦 AB的中垂线与x轴交于P点,则线段
5、PF的长等于16 8 16 门 o -A, B, C, 3 D, 8. 33 3 32 24,若椭圆 1上一点P到左焦点的距离等于它到右焦点距离的 2倍，则P点坐标为36 20A, (3. 15) B,( 3, 一15) C,(3, .15) D, ( 3, .15)2 25,过椭圆 笃 占 1 (a b 0)中心的弦AB, F(c,0)是右焦点，则 AFB的最大面积为a bA, bcB, abC,acD,b22 26,已知P为双曲线 1上的任意1占八、,F1,F2为焦点,若 F1PF2，则 S f.,pf2a bA, b2 cot 1B, absi nC,b2 a2tan-D, (a2 b2
6、 )sin222,填空题7,给定点P(2,3),Q(3,2),已知直线axy20与线段PQ(包括P,Q在内)有公共点则a的取值范围是 8,过定点F (a,0) (a 0)作直线l交y轴于Q点，过Q点作QT FQ交x轴于T点,2 2x y9,已知椭圆2 1(a b 0)与直线x y 1交于M,N两点，且OM ON ,(O为a bMN，且 MN是MF1和MF2的等比中项则MN的值等于2 211,已知点A为双曲线x y 1的左顶点，点B和点C在双曲线的右分支上，ABC是等边三角形，则ABC的面积等于 .2 2 2 212,若椭圆1 (m n 0)和双曲线1(a 0, b 0)有相同的焦点m n a
7、bF2,P为两条曲线的一个交点，则PFj|PF2的值为,解答题PAB,射线OP与x轴正向成一角，直线AP,BP的斜率3适合条件kAP kBP 0.(1),求证:过A,B的直线的斜率k是定值；(2),求PAB面积的最大值.14,已知 AOB (为常数且0 ),动点P,Q分别在射线OA,OB上使得 POQ23的面积恒为36设 POQ的重心为G,点M在射线OG上,且满足OM OG .2(1),求OG的最小值;(2),求动点M的轨迹方程.215,过抛物线y 2px(p为不等于2的素数)的焦点F,作与x轴不垂直的直线l交抛物线于M,N两点，线段MN的垂直平分线交 MN于P点，交x轴于Q点.(1),求PQ
8、中点R的轨迹L的方程；(2),证明：L上有无穷多个整点，但L上任意整点到原点的距离均不是整数 四，解题导引1,D 令y x,得 y x a,令 y x得x y b ,由此可见，曲线必过四个点：(a,a),（a, a）,（b,b）,（ b, b）,从结构特征看，方程表示的曲线是以这四点为顶点的四边形 ，易知它是非正方形的菱形.即 PF= I631彳b21 m12亠3 2 11 2,得2_有-a (2 -3a22a32 a2,解得2a 62 2延长NM与椭圆 1的右准线I : x16 128相交于D,设M(x,y),则V3 寸3 2 2 一过A( 1,0)点，故方程为y x ，代入双曲线方程x y
9、 1,得点B的坐标为3 3(2, . 3)，同理可得C的坐标为(2, .3),所以 ABC的面积为2 (1)-、3 33.12,m a 不妨设 P 为第一象限的一点，则 PF1 PF2 2/m , PF1 PF2 2xla ,.得PFi 7a 斥，PF2 Vm Va,于是 PR PF2 m a.13,:(1)证明：易知直线OP的方程为y 、,3x,将此方程代入3x2 y2 6,可求得交点P(1, J3) 由题意可设直线 PA,PB的方程分别为.3 k(x 1)和 y,3 k(x 1),分别与椭圆方程联立，可求得A,B的横坐标分别为Xak2 2 3k 3,Xbk2 2、, 3k 3从而yAk(2
10、 6) 3 y 3,yBk( 2、3k63 k23,所以kABYb YaXb Xa12k 3 k23 k2 4：3k.3(定值).3 k23 k2不妨设直线AB的方程为y 、.3xb，与椭圆方程联立，并消去y得6x22、3bx +2(b 6) 0，有 AB2 2 2 2(Xa Xb) (Ya Yb) 4(Xa Xb) 4(XaXb)24XaXb 2 2 2 4 2=4(亍)3(b 6) -b 16点P到战线AB的距离d所以 S2pab 1 E2 4 4(16-b2)=32 2 2轨12 b2)右巳32 3,当且仅当b2 12 b2,即b、6 时,(S PAB )max 、3 14,解(1),以
11、0为原点，AOB的平分线为x轴建立直角坐标系，则可设P(acos,asin )2 2Q(bcos，,OG2 Xg2bsi n 3).J(acos 3 2l(asin 3 2診2 b2)是 OPQ的重心G(Xg,Yg)的坐标为XgYg2Yg1 22ab abcos9 9又已知S OPQbcos 0)2bsin 0)2-ab(cos2 -9 24abcos .9 2absin 36,得 ab 竺sin1(a b)cos ,3 21(a b)sin3 2sin2)=(a2 b2) - abcos2 9 9OG4 72 2 cos9 sin 2x236cot -216cot - 4cos236 tan
12、 2215,解:(1)抛物线y2y由y则X1而PQ代入(2),设 M (x, y)，则由 OMx，代入ab丄,bsin cos2 2sin2，故 OG minb)cos- 0, y 詁=扣 b)72,并整理得sin1(x 0),这就是所求动点 M的轨迹方程.2 px的焦点为2pxp 得 k2x2 (pk2k(x f)X2叭空，得 XPkXi(号,o) ,设I的直线方程为y k(x -P) (k1 2 22p)x ;pkx2 pk2 2 p2 2k21I，故 PQ的斜率为 ,PQ的方程为ykya 0 得 xqpk2 2p2k23pk2 2p2k20).0，设M,N的横坐标分别为-p k(气尹舟)
13、.设动点R的坐标(x, y),则12 ( Xp xQ )1：(yp ya)2_pk2，因此p(x p_2k2p 2p) 2 4y (y 0),k故PQ中点R的轨迹L的方程为4y2p(x p)(y 0).(2),显然对任意非零整数t，点(p(4t2i), pt)都是l上的整点，故l上有无穷多个整点.反设L上有一个整点(x,y)到原点的距离为整数m,不妨设x 0, y 0,m 0 ,则2 2 2x y m (i)24y p(x p)(ii)，因为p是奇素数汙是ppm,令 x px1, y py1,m pm1,则有2X14y12y,从(ii)可推出p x,再由(i)可推出2yiXi(iii)(iv)由(iii),(iv)得 / 2LJ 厲2,于是(8x1 1)2 (8g)2 17,即4(8x1 1 8m1)(8x1 1 8mi) 17 于是 8x1 1 8mi 17,8x1 1 8m1 1 ,得x1 mi 1,故y 0 ,有y py1 0但L上的点满足y 0 ,矛盾！因此丄上任意点到原点的距离不为整数
