1、随机数学答案随机数学答案【篇一：第1章工程随机数学基础习题_答案】t习题 1 1写出下列随机试验的样本空间。 （1）记录一个班级一次概率统计考试的平均分数（设以百分制记分）。 解：以n表示该班的学生数，总成绩的可能取值为0,1,2,3,.,100n，所以试验的样 本空间为 i s?|i?0,1,2,.,100n. n （2）同时掷三颗骰子，记录三颗骰子点数之和。 4,5,.,18 解：s?3, （3）生产产品直到有10件正品为止，记录生产产品的总件数。 解：设在生产第10件正品前共生产了k件不合格品，样本空间为 11,12,. s?10?k|k?0,1,2,.或写成s?10, （4）对某工厂出
2、厂的产品进行检查，合格的记上“正品”，不合格的记上“次品”，如 连续查出2个次品就停止检查，或检查4个产品就停止检查，记录检查的结果。 s?00,100,0100,0101,0110,1100,1010,1011,0111,1101,1110,1111. （5）在单位正方形内任意取一点，记录它的坐标。 解：s?(x,y)|0? x?1,0?y?1 （6）实测某种型号灯泡的寿命。 解：s?x|x?0 2设a，b，c为三事件，用a，b，c的运算关系表示下列各事件，。 （1）a发生，b与c不发生。 （2）a与b都发生，而c不发生。 （3）a，b，c中至少有一个发生。 （4）a，b，c都发生。 （5）
3、a，b，c都不发生。 （6）a，b，c中不多于一个发生。 （7）a，b，c至少有一个不发生。 （8）a，b，c中至少有两个发生。 解：以下分别用d(i?1,2,.,8)表示(1),(2),.,(8)中所给出的事件。注意到一个事件 i 不发生即为它的对立事件的发生，例如事件a不发生即为发生。 （1） （2） a发生，b与c不发生，表示a,同时发生，故d1 d1?a?b?c。 ?a或写成 a与b都发生而c不发生，表示a,b,同时发生，故d2?ab或写 成d2? ab?c。 （3） 由和事件的含义知，事件a?b?c即表示a,b,c中至少有一个发 生，故d3? a?b?c。 也可以这样考虑：事件“a,
4、b,c至少有一个发生”是事件“a,b,c都 不发生”的对立事件，因此d?。 3 也可以这样考虑：事件“a,b,c中至少有一个发生”表示三个事件中 恰有一个发生或恰有两个发生或三个事件都发生，因此，d3又可写成 d3?a?b?ab?a?abc。 （4） d4?abc。 （5） d?。 5 （6） “a,b,c中不多于一个发生”表示a,b,c都不发生或a,b,c中恰有 一个发生，因此d6?a?。 又“a,b,c中不多于一个发生”表示“a,b,c中至少有两个不发生”，亦即a,b,c中至少有一个发生，因此又有d6? ?。 又“a,b,c中不多于一个发生”是事件g?“a,b,c中至少有两个发生”的对立事
5、件，而事件g可写成g?ab?bc?ca，因此又可将 d6写成 d6?ab?bc?ca?ab?bc?ca。 （7） “a,b,c中不多于两个发生”表示a,b,c都不发生或a,b,c中恰有 一个发生或a,b,c中恰有两个发生。因此， d7?a?ab?a?。又“ a,b,c中不多与两个发生”表示a,b,c中至少有一个不发生，亦即 ,中至少有一个发生，即有d7?。又“a,b,c 中不多于两个发生”是事件“a,b,c三个都发生”的对 立事件，因此又有d 7 ?abc。 （8） d?ab?bc?ca，也可写成 8 d8?abc?bc?a?ab。 3 从1、2、3、4、5这5个数中，任取其三，构成一个三位数
6、。试求下列事件的概率： （1）三位数是奇数；（2）三位数为5的倍数； （3）三位数为3的倍数； （4）三位数小于350。 解 （1）构成三位数有a5种情况，而三位数是奇数则要求最后一位为1，3，5三个数 之一，有c3，余下的两位数则在剩余的四个数字之间选择一个，有a4。则三 12c3a43 位数是奇数的概率如下：? 3 a55 2 a41 （2）三位数为5的倍数，则最后一位必然为5，有：3? a55 3 12 （3）三维数为3的倍数，则必有一个3，另外为：1，2；1，5；2，4；4，5。共4 3 4?a32 种组合。 ?3 a55 （4）首位为1，2，最后两位有4，3种选择，首位为3，最后两位
7、有3，3种选择。 1211 c2a4?a3a311 ?3 a520 4某油漆公司发出17桶油漆，其中白漆10桶、黑漆4桶、红漆3桶，在搬运中所有标签脱落，交贷人随意将这些油漆发给顾客。问一个定货4桶白漆、3桶黑漆和2桶红漆的顾客，能按所定颜色如数得到定货的概率是多少？ 解： e：在17桶油漆中任取9桶给顾客。以a表示事件“顾客取到4桶白漆，3桶 黑漆与2桶红漆”，则有n(s)? ?17?10?4?3? ?，故 ,n(a)?9?4?3?2? ?17?252。 ?9?2431? p(a)?n(a)/n(s)? ?10?4?3? ?4?3?2? 5在1700个产品中有500个次品、1200个正品。任
8、取200个。 （1）求恰有90个次品的概率；（2）求至少有2个次品的概率。 11090cc解：（1）1200500? 200c1700 （2）以a表示事件“没有取到次品”，以b表示事件“取到一个次品”。以c表示 事件“至少有两个次品”。 2001199 ccc12005001200则有p(c)?1?p(a)?p(b)?1?= ?200200c1700c1700 6把10本书任意地放在书架上，求其中指定的三本书放在一起的概率。 解：十本书任意放有10!?10?9?8?7?6?5?4?3?2?1种排列方法，而将三本书看作一个整体（此三本书之间有3!种排布）与其他7本书（共有8个元素）在一起排列共有
9、 3!?8!?(3?2?1)?(8?7?6?5?4?3?2?1)种情况，设三本放在一起为事件a， 那么： p(a)? 3!?8!1 ? 10!15 7 从5双不同的鞋子中任取4只，这4只鞋子中至少有两只鞋子配成一双的概率是多少？ 解： e：从5双不同的鞋子中任取四只。以a表示事件“所取4只鞋子中至少有两只配成一双鞋子”，则表示事件“所取4只鞋子无配对”。先计算p()较为简便。考虑4只鞋子是有次序一只一只取出的。自5双（10只）鞋子中任取4只共有10?9?8?7种取法，n(s)?10?9?8?7。现在来求n()。第一只可以任意取，共有10种取法，第二只只能在剩下的9只中且除去与已取的第一只配对的
10、8 只鞋子中任取一只，共8种取法。同理第三只、第四只各有6种、4种取法，从 而 n()?10?8?6?4。 故 p(a)?1?p()?1?n()/n(s)?1?10?8?6?4?13。 10?9?8?7 21 8把长度为a的线段在任意二点折断成为三线段，求它们可以构成一个三角形的概率。 解： 设两段长度分别为x、y , xy满足方程x+ya，xa,ya能够成三角形xy满 a2a21?。 足x+ya/2 xa/2 ya/2，p?824 9甲乙两船驶向一个不能同时停泊两艘船的码头，它们在一昼夜内到达码头的时刻是等可能的，若甲船停泊时间一小时，乙船停泊时间二小时，求它们中任意一艘不需要等待码头空出的
11、概率。 解：本题是一道几何概型的题目，设甲、乙两艘船到达码头的时刻分别为x与y，a为“甲、乙两船都不需要等待码头空出”。则要想使甲乙两船都不要等待，那么甲船应该早于乙船1一小时以上或乙船早于甲船2小时以上，即有y?x?1或x?y?2。 ?0?x?24?0?y?24? 又有0?x?24,0?y?24，根据?做出图形， ?y?x?1?x?y?2 求出其围成的面积与?具体如下图1-1：?0?x?24 围成的面积之比，即为事件a的概率。 ?0?y?24 图 1-1 考虑平面直角坐标系的第一象限上，0?x?24,0?y?24的正方形区域，其中（x，y）表示甲船于x时刻，乙船于y时刻到达码头。记录y?x?
12、1为直线l1，x?y?2为直线l2，则l1上方区域表示甲船先到，乙船在 1小时之后的某个时间到；l2下方区域表示乙船先到，甲船在2小时之后的某个时间 到。而l1与l2之间的带状区域是有一船需要等候码头的情况。所求的概率即为带状区域之外的两个三角形面积和占正方形面积的比例。 即为： 11 ?23?23?22?22 p(a)?0.879 24?24 10已知p(a)? 解: 111 ,p(b|a)?,p(a|b)?,求p(b),p(a?b)。 432 p(ab)?p(a)p(b|a)? 1 12 p(b)? p(ab)11?p(a?b)?p(a)?p(b)?p(ab)?p(a|b)6，3【篇二：第
13、2章工程随机数学基础习题答案】t习题 2 1设有函数 f(x)? ?sinx,?0, 0?x?,其它， 试说明f(x)能否是某随机变量的分布函数。 解： 不能，易知对x1?x2，有： px1?x?x2?px?x2?px?x1?f(x2)?f(x1), 又px1?x?x2?0,f(x2)?f(x1)，因此f(x)在定义域内必为单调递增函数。 然而f(x)在(0,?)上不是单调递增函数，所以不是某随机变量的分布函数。 2筐中装有7只蓝球，编号为1，23，4，5，6，7.在筐中同时取3只，以x表示取出的3只当中的最大号码，写出随机变量x的分布列。 3 解：x的可能值为3，4，5，6，7。在7只篮球中
14、任取3个共有c7种取法。 x?3表示取出的3只篮球以3为最大值，其余两个数是1，2，仅有这一种情 11?2?31 ?况，故p(x?3)?3? c77?6?535 x?4表示取出的3只篮球以4为最大值，其余两个数可以在1，2，3中任取 2 两个，共有c3种取法，故 c3231?2?33 p(x?4)?3?。 c717?6?535 x?5表示取出的3只篮球以5为最大值，其余两个数可在1，2，3，4中任取 2个，共有c4种取法，故 2c44?31?2?36 p(x?5)?3?， c71?27?6?535 x?6表示取出的3只篮球以6为最大值，其余两个数可在1，2，3，4，5中 2 任取2个，共有c5
15、种取法，故 2 c525?41?2?310 p(x?6)?3?， c71?27?6?535 x?7表示取出的3只篮球以7为最大值，其余两个数可在1，2，3，4，5，6 中任取2个，共有c6种取法，故 2c66?51?2?315 p(x?7)?3? c71?27?6?535。 2 k1?k 3. 设x服从(0?1)分布，其分布列为px?k?p(1?p), k?0,1, 求x的分布函数，并作出其图形。当0?x?1时，f(x)?px?x?px?0?1?p f(x)?px?x?px?0?px?1 当x?1时， ?(1?p)?p?1, x?0?0, ? 即有： f(x)?1?p,0?x?1，其分布图形如
16、下图2-1 ?1,x?1? 0图 2-1 4将一颗骰子抛掷两次，以x表示两次所得点数之和，以y表示两次中得到的小的点数，试分别求x与y的分布列。 解 以x1x2分别记第一次，第二次投掷时的点数，样本空间为 ，2，.,6;x2?1，2，.,6 s?(x1x2)|x1?1 共有6?6?36个样本点 x?x1?x2所有可能的取值为2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12 易知当(x1,x2)分别为：(1，1)x取2(1，2),(2，1)x取3(1，3),(2，2),(3，1)x取4(1，4),(2，3),(3，2),(4，1)x取5(1，5),(2，4),(3，3),(4，2),(5，1)x
17、取6(1，6),(2，5),(3，4),(4，3),(5，2),(6，1)x取7(2，6),(3，5),(4，4),(5，3),(6，2)x取8(3，6),(4，5),(5，4),(6，3)x取9(4，6),(5，5),(6，4)x取10(5，6),(6，5)x取11(6，6)x取12 故x的分布列如下： y的取值为1,2,3,4,5,6 y的分布列为： 5试求下列分布列中的待定系数k k ,m?1,2,3? m?44k （2）r.v.?p?m?m,m?1,2,3? 3 （1）r.v.?p?m?（3）r.v.?p?m?k解：（1）由分布列的性质有 ?m m! ,m?0,1,2,?,?0为常数。
18、 1? kkk11 ?k1?42?43?46， 所以 k? 6 。 11 （2）由分布列的性质有 11 1?p?m?4k(?2?)?2k 33?1， 所以 ? k? 1 。 2 或解 由 p(?m)? 故有 4k1m?14k?(),m?1,2,3.,所以?服从几何分布， m333 4k11 ?1?,k?。 332 ? ? （3）由分布列的性质有 ? k?m?m 1?p?m?k?ke? m?0m?0m!m?0m! ， 所以 k?e ? 。 6进行重复独立试验，设每次试验成功的概率为p失败的概率为q?1?p(0?p?1)。 （1）将试验进行到出现一次成功为止，以x表示所需的试验次数，求x的分布列。
19、 （此时称x服从以p为参数的几何分布。） （2）将试验进行到出现r次成功为止，以x表示所需的试验次数，求x的分布列。 （此时称x服从以r,p为参数的巴斯卡分布。） （3）一篮球运动员的投篮命中率为45%。以x表示他首次投中时累汁已投篮的次数，写出x的分布列，并计算x取偶数的概率。 解（1）此试验至少做一次，此即x可能值的最小值。若需做k次，则前k-1次试验均失败最后一次成功，由于各次试验是相互独立的，故分布律为 px?k?qk?1p?(1?p)k?1p,k?1,2,3,.。 （1）此试验至少做r次，若需做k次，则第k次比为成功，而前k-1次中有r-1次成功，由于各次试验是相互独立的，故分布律为
20、px?k?( k?1rk?r )pq,k?r,r?1,.。 r?1 （2）先写出x的分布律。它是题（1）中p=0.45的情形。所求的分布律为 px?k?0.45(0.55)k?1,k?1,2,.。因x?j?x?k?(j?k),故x取偶数的概率为p 2k?1 u(x?2k)?px?2k?0.45(0.55)?k?1 k?1 k?1 ? ? ? 0.45?0.5511 ?. 1?0.55231 7有甲、乙 两个口袋，两袋分别装有3个白球和2个黑球。现从甲袋中任取一球放入乙袋，再从乙袋任取4个球，求从乙袋中取出的4个球中包含的黑球数x的分布列。 解：分为以下两种情况，即从甲袋中取一球放入乙袋，取出的
21、球为白球的概率为黑球为 3，5 2。 5 （1）假设取出的是白球，乙袋此时为4白球2黑球。从中取出4球，黑球数可为0,1,2，概率如下 40c4c21 p(x?0)?, ?4 c61531c4c28 p(x?1)?, 4 c61522c4c26 p(x?2)?. ?4 c615 （2）假设取出的是黑球，乙袋此时为3白球3黑球，从中取出4球，黑球数可为1,2,3. 概率如下 31c3c33 p(x?1)?, 4 c615 c32c329 p(x?2)?, 4 c615 13c3c33 p(x?3)?. ?4 c615 综合以上两种情况，又已知从甲袋取出为白球的概率为 32 ，黑球是.所以 553
22、11 p(x?0)? 51525 382310 p(x?1)? 51551525 362912 p(x?2)? 51551525232 p(x?3)? 51525 8. 设x服从 poisson 分布，且已知px?1?px?2，求px?4。 解：由于x?(?),即x的分布律为px?k? ?k k! e?,k?0,1,2,., 于是有px?1?e,px?2? ? ?2 2 e?,由条件px?1?px?2,可得方程 ?e ? 24-2 ?e, 解得?2.0(舍去) 所以x?(2),于是px?4?e?0.0902(查24! ?2 ? 表)。 9一大楼装有5套同类型的空调系统，调查表明在任一时刻t每套
23、系统被使用的概率为0.1，问在同一时刻 （1）恰有2套系统被使用的概率是多少? （2）至少有3套系统被使用的概率是多少? （3）至多有3套系统被使用的概率是多少? （4）至少有1套系统被使用的概率是多少？ 解： 以x表示同一时刻被使用的设备的个数，则 xb(5,0.1)。 （3）所求的概率为 5 px?2?()0.12(1?0.1)3?0.0729。 2 （4）所求的概率为 px?3?px?3?px?4?px?5 55 ?()0.13(1?0.1)2?()0.14(1?0.1)?0.15 34 ?0.0081?0.00045?0.00001?0.00856 （5）所求的概率为 px?3?1?p
24、x?4?px?5?1?0.00045?0.00001?0.99954【篇三：随机数学,概率论与数理统计 概率作业a答案】lass=txt随 机 数 学 （a） 标准化作业简答 吉林大学公共数学中心 2013.2第一次作业 一、填空题 1解：应填 2. 9 2 分析：样本空间含基本事件总数c10，事件所含基本事件数为10个，即（1,2），（2，3）?， （9,10），（10,1）共10个，故所求概率为 2应填0.6. 102 ?. 2c109 分析: p(ab)?p(ab)?p(a?b)?1?p(a?b)?1?p(a)?p(b)?p(ab), 故p(b)?1?p(a)?0.6. 1 3应填 5
25、4. 应填5应填 17. 252 3 6二、选择题 1（d）2.（c）3（b）4.（c）5（c）6.（a）. 三、计算题 1将n只球随机地放入n?n?n?个盒子中，设每个盒子都可以容纳n只球，求：（1）每个盒子最多有一只球的概率p1；（2）恰有m?m?n?只球放入某一个指定的盒子中的概率（3）n只球全部都放入某一个盒子中的概率p3 p2； 解：此题为古典概型，由公式直接计算概率. pnn（1）p1?n. n mcn(n?1)n?m （2）p2?. nn （3）p3? n1 . ? nnnn?1111 2三个人独立地去破译一份密码，已知每个人能译出的概率分别为,，问三人 534 中至少有一人能将
26、此密码译出的概率是多少？ 解：设ai表示事件“第i个人译出密码”，i?1,2,3.b表示事件“至少有一人译出密码”. 则p(b)?1?p(a1a2a3)?1?p(a1)p(a2)p(a3)?1? 4233 ?. 5345 3随机地向半圆0?y?2ax?x2(a?0)内掷一点，点落在半圆内任何区域的概率与区域的面积成正比，求原点与该点的连线与x轴夹角小于 解：此为几何概型问题. 设a表示事件“原点与该点的连线与x轴夹角小于a2 ?1?1. 则p(a)? ?a22?2 ? 的概率. 4? ”. 4 ?a2 4仪器中有三个元件,它们损坏的概率都是0.2,并且损坏与否相互独立.当一个元件损坏时, 仪器
27、发生故障的概率为0.25,当两个元件损坏时,仪器发生故障的概率为0.6,当三个元件损坏时,仪器发生故障的概率为0.95, 当三个元件都不损坏时,仪器不发生故障.求：（1）仪器发生故障的概率；（2）仪器发生故障时恰有二个元件损坏的概率. 解: 设a表示事件“仪器出现故障”， bi表示事件“有i个元件出现故障”，i=1，2，3. （1）p(a)?p(bi)p(abi)， i?13 2 p(b1)?3?0.2?0.82?0.384，p(b2)?3?0.2?0.8?0.096，p(b3)?0.23?0.008. 所以p(a)?0.384?0.25?0.096?0.6?0.008?0.95?0.1612
28、. （2）p(b2a)? p(ab2)0.096?0.6 ?0.3573. p(a)0.1612 5在100件产品中有10件次品；现在进行5次放回抽样检查，每次随机地抽取一件产品，求下列事件的概率：（1）抽到2件次品；（2）至少抽到1件次品 解：设ai表示取到i件次品，i?0,1,2,3,4,5. （1）p(a2)?c52?0.1?1?0.1?0.73. （2）p(a0)?1?1?0.1?0.41. 52 3四、证明题 1设0?p(a)?1,0?p(b)?1,p(a|b)?p(a|b)?1，证明事件a与b相互独立 证明：由定义证明. p(a|b)?p(a|b)?1?p(a|b)?1?p(a|b
29、)?p(a|b)p(ab)p(ab) ?p(b)p(b) p(ab)p(a)?p(ab)? p(b)1?p(b)?p(ab)?p(a)p(b)? 所以事件a与b相互独立 2已知任意事件a,a1,a2,a3满足ai?a?i?1,2,3?，证明 p(a)?p(1a)?p(2a?) 证明：已知ai?a,i?1,2,3.? p(?) 23a ?a?a ii?1 3 ?p?a?p?a1?p?a2?p?a1a2?;p?a?p?a1?p?a3?p?a1a3?p?a?p?a2?p?a3?p?a2a3?3p?a?3?p?a1?p?a2?p?a3? ?p?a1?p?a2?p?a3?p?a1a2?p?a1a3?p?a2a3?3p?a?3?p?a1?p?a2?p?a3?6?p?a?p?a1?p?a2?p?a3?2. 第二次作业 一、填空题 1应填 11. 24 2. 应填 3应填 9 64 4 5应填 19 27 6. 应填0.2 7.
