1、数学建模论数学建模 摘要本文主要分析了假设在已知个人全年总收入的前提下, 同时为了达到使个人纳税符合国家政策规定税额, 又满足个人缴纳的税款最少的目标, 采用线性规划方法, 提出了一种优化纳税模型。在此基础上设计了求解算法, 通过excel 2003软件来实现并且完成了程序设计和实际应用的数据分析计算。然后,根据税后的个人收入情况和个人选择的主体差异性,定制一个合理房贷方案。最后，给出了题目中的具体算例的最优路径。关键词:excel 2003软件;个人所得税; 纳税优化;贷款方案；规划求解。问题提出个人所得税是调整征税机关与自然人(居民、非居民人)之间在个人所得税的征纳与管理过程中所发生的社会
2、关系的法律规范的总称。凡在中国境内有住所，或者无住所而在中国境内居住满一年的个人，从中国境内和境外取得所得的，以及在中国境内无住所又不居住或者无住所而在境内居住不满一年的个人，从中国境内取得所得的，均为个人所得税的纳税人。2005年10月27日，第十届全国人大常委会第十八次会议再次审议个人所得税法修正案草案，会议表决通过全国人大常委会关于修改个人所得税法的决定，起征点1600元于2006年1月1日起施行。 2007年6月29日，第十届全国人民代表大会常务委员会第二十八次会议通过了关于修改中华人民共和国个人所得税法的决定，对个人所得税法进行了第四次修正。2007年12月29日，十届全国人大常委会
3、第三十一次会议表决通过了关于修改个人所得税法的决定。个人所得税起征点自2008年3月1日起由1600元提高到2000元。 即工资、薪金所得，以每个月收入额（已按规定扣除“四金”）减除费用2000元后的余额，为应纳税所得额。（“四金”是指：养老保险金、医疗保险金、失业保险金、住房公积金）其具体征税方案如下：一、每月工资应纳税计算方案：月应纳税所得额=月工薪收入（已按规定扣除“四金”）-费用扣除标准（2000）超额累进税率级数月应纳税所得额税率（）速算扣除数1不超过500元部分502超过500元至2000元的部分10253超过2000元至5000元的部分15 1254超过5000元至20000元的
4、部分20 3755超过20000元至40000元的部分2513756超过40000元至60000元的部3033757超过60000元至80000元的部分3563758超过80000元至100000元的部分40103759超过100000元的部分 4515375例如： 如某人月工薪收入为3900元，则月应纳税所得额=3900-2000=1900元,当月应交个人所得税额=5005%+（1900-500）10%=165元；或当月应交个人所得税额=应纳税所得额适用税率-速算扣除数= 190010%-25=165元。二、年终一次性奖金纳税计算方案：1先将雇员当月内取得的全年一次性奖金，除以12个月，按其
5、商数确定适用税率和速算扣除数。2.将雇员个人当月内取得的全年一次性奖金，按本条第1项确定的适用税率和速算扣除数计算征税。例如：某月份向其员工发放工资2400元，年终一次性奖金6000元，应缴个税为：(2400-2000)5%20元，由于 2400元已超过费用扣除额2000元，则计算年终奖税款时无需再减除差额，则年终奖部分的个税应税所得额为6000元，除以12后为500元，使用税率 5%，速算扣除数为0，年终奖部分的应纳税额=60005%300元，该员工当月应交纳个税=20+300=320元。如果该员工当月工资薪金所得为1600元，低于税法规定的费用扣除额，应将全年一次性奖金减除差额后的余额，年
6、终奖应纳税所得额=6000-400=5600元，除以12后为466.7元，适用税率5%，速算扣除数为0，即56005%=280元。问题:1、请根据以上纳税方案，为某公司职员制定其每年收入分配方案使其年度纳税总额最少（假设其年收入为10万元，公司允许其自行决定每月收入和年终一次性奖金的分配数额）。2、请制定一张该公司职员年度收入最优分配方案表，年收入从3万元以1000元为间隔到15万元。3、现假设该公司某夫妇年收入为12.5万元，及如果买住房住房公积金可以年支配1.5万元，并打算贷款购买住房，住房公积金贷款利率与银行贷款利率如下表，其中住房公积金每对夫妇最多贷款额为50万元。如果新房的售价为10
7、0万元，首付款必须30%。请你替该夫妇制定一个合理的贷款方案，包括分几年还清、每月还款额和全年收入分配方案。个人住房公积金贷款年利率表贷款期限5年以下（含）5年以上利率(%)4.024.59 个人住房银行抵押贷款年利率表贷款期限1年1至3年（含）3至5年（含）5年以上利率(%)5.315.40 5.765.94问题分析全年纳税总额p分为2 部分, 一部分为月工资部分的所需上交的税额f(x),另外一部分为年终奖部分所需上交的税额f(y)。要使p 最小的就是保证月工资纳税和年终奖纳税总额最少。通过直观的分析，企业发放年终奖奖金以及员工每月工资的不均衡发放，必然导致个人所得税税负提高，实际到手的收人
8、减少。每月均匀发放工资薪金会降低个人所得税的税率，会减少应纳个人所得税金额。企业在发放年终一次性奖金时应抓住税率临界点。本方案即在寻找这个税率的临界点。模型假设、建立与求解问题一：请根据以上纳税方案，为某公司职员制定其每年收入分配方案使其年度纳税总额最少（假设其年收入为10万元，公司允许其自行决定每月收入和年终一次性奖金的分配数额）1、模型的符号说明：x 月工资y 年终奖z 年收入f(x) 月工资纳税额f(y) 年终奖纳税额p 全年纳税额2、假设（1）、个人的年总收入仅分为：每月的月收入和年终奖的收入。（2）、月收入不低于2000元。（3）、月收入等额。3、模型的建立（1）、月工资纳税额与月工
9、资之间的关系式如下所示： (x-2000) 5% 2000 x 2500 (x-2000) 10%-25 2500 x 4000 (x-2000) 15%-125 4000 x 7000 (x-2000) 20%-375 7000 x 22000 f(x)= (x-2000) 25%-1375 22000 x 42000 (x-2000) 30%-3375 42000 x 62000 (x-2000) 35%-6375 62000 x 82000 (x-2000) 40%-10375 82000 x 102000 (x-2000) 45% 102000 x（2）、年终奖纳税额与年终奖之间的关系
10、如下所示： y 5% 0 y/12 500 y 10%-25 500 y/12 2000 y 15%-125 2000 y/12 5000 y 20%-357 5000 y/12 20000f(y)= y 25%-1375 20000 y/12 40000 y 30%-3375 40000 y/12 60000 y 35%-6375 60000 y/12 80000 y 40%-10375 80000 y/12 100000 y 45%-15375 1000000)在进行模型求解之前，我们首先要提出一个已被证明的论点，即： 假设没有年终奖, 在税前年收入为定值Z 元时,这时的Zf(x)12；
11、将Z 平均分配到12个月, 即f(x)。如果每月的工资可按员工意愿，则存在g1,g2,g3g12。当g1g2g3g12 时，所需上交的税额为最小。本模型是基于每个月收入为一个定值且每月都相等。4、求解我们利用excel 2003 软件的“规划求解”工具进行求解，设计好公式后将数据输入，即可得出答案，求解过程如下图所示：图一，程序运行结果Excel求解说明：B3、C3为变量单元格B5=sum(B3-B4)C5=sum(C3-C4)B6=IF(B5=500,B5*5%,IF(B5=2000,B5*10%-25,IF(B5=5000,B5*15%-125,IF(B5=20000,B5*20%-375
12、,IF(B5=40000,B5*25%-1375,IF(B5=60000,B5*30%-3375,IF(B5=80000,B5*35%-6375,IF(B5=100000,B5*40%-10375,B5*45%-13375)C6=IF(C5/12=500,C5*5%,IF(C5/12=2000,C5*10%-25,IF(C5/12=5000,C5*15%-125,IF(C5/12=20000,C5*20%-375,IF(C5/12=40000,C5*25%-1375,IF(C5/12=60000,C5*30%-3375,IF(C5/12=80000,C5*35%-6375,IF(C5/12=1
13、00000,C5*40%-10375,C5*45%-13375)B9=SUM(12*B6+C6)最终得出的最优解为：最佳情况中的总税值为： 9775元最佳情况月工资为： 4158.26元最佳情况每月税额为：198.74元最佳情况年终奖为： 50100.91元最佳情况年终奖应缴税额为：7390.14元 模型改进：以上讨论的是月收入大于2000元的分配情况，而当月收入低于2000元时，根据推理可知，月收入为2000时所需缴纳税额要比低于2000元时少，而当月收入为2000元时，所需缴纳税额为：（100000-122000）35%-6375=20225元比9775元要大，因此月收入低于2000元时得
14、不到最佳分配方案。问题二：请制定一张该公司职员年度收入最优分配方案表，年收入从3万元以1000元为间隔到15万元 在该题中，我们从3万元开始，以1000元为间隔计算从3万元到15万元的最佳收入分配方案，利用问题一的模型和方法，通过excel 2003 软件计算，可得出如下最佳分配方案列表：表一：职员年度收入最优分配方案表年收入月工资月税额年终奖年终奖税额全年总税额300002499.9906255524.999531250.1124997760.00562498300310002313.3618715.66809393239.65745161.9828726350320002309.13990
15、15.456995354290.32111214.5160558400330002253.1342012.65671035962.38951298.1194757450340003500036000370003800039000400004100042000430004400045000460004700048000490005000051000520005300054000550005600057000580005900060000610006200063000640006500066000670006800069000700007100072000730007400075000760007
16、7000780007900080000810008200083000840008500086000870008800089000900009100092000930009400095000960009700098000990001000004158.257351198.73860250100.911797390.13676897751010001020001030001040001050001060001070001080001090001100001110001120001130001140001150001160001170001180001190001200001210001220001
17、2300012400012500012600012700012800012900013000013100013200013300013400013500013600013700013800013900014000014100014200014300014400014500014600014700014800014900010416.668041308.3336023999.98352374.9983518075.0016515000010500.003281325.00065623999.9606772374.99606718275.00393在这里，我们只列出了富有代表性的开始、中间和结尾几
18、项，根据同样的方法，其他各项也是可以求出来的，在这里就不一一列出了。附：程序运行结果（30000、31000、150000）问题三、现假设该公司某夫妇年收入为12.5万元，及如果买住房公积金可以年支配1.5万元，并打算贷款购买住房，其中住房公积金每对夫妇最多贷款额为50万元。如果新房的售价为100万元，首付款必须30%。请你替该夫妇制定一个合理的贷款方案，包括分几年还清、每月还款额和全年收入分配方案。1、问题的分析在个人收入时，要尽可能使个人所得税最少，同时又要使所缴纳的利息最少，这就成了一个典型的多目标规划问题。钱在银行存一天就有一天的利息，存的钱越多，得到的利息就越多。同样，对于贷款来说也
19、一样，银行的贷款多用一天，就要多付一天的利息，贷款的金额越大，支付给银行的利息也就越多。银行利息的计算公式是：利息资金额利率占用时间。因此，利息的多少，在利率不变的情况下，决定因素只能是资金的实际占用时间和占用金额的大小，而不是采用哪种还款方式。这是铁定不变的道理！在还按揭贷款时，我们有等额本息付款和等额本金付款两种基本方式。等额本息还款法，即借款人每月按相等的金额偿还贷款本息，其中每月贷款利息按月初剩余贷款本金计算并逐月结清。由于每月的还款额相等，因此，在贷款初期每月的还款中，剔除按月结清的利息后，所还的贷款本金就较少；而在贷款后期因贷款本金不断减少、每月的还款额中贷款利息也不断减少，每月所
20、还的贷款本金就较多。这种还款方式，实际占用银行贷款的数量更多、占用的时间更长，同时它还便于借款人合理安排每月的生活和进行理财（如以租养房等），对于精通投资、擅长于“以钱生钱”的人来说，无疑是最好的选择！等额本金还款法，即借款人每月按相等的金额（贷款金额/贷款月数）偿还贷款本金，每月贷款利息按月初剩余贷款本金计算并逐月结清，两者合计即为每月的还款额。由于每月所还本金固定，而每月贷款利息随着本金余额的减少而逐月递减，因此，等额本金还款法在贷款初期月还款额大，此后逐月递减（月递减额月还本金月利率）。此种还款方式，适合生活负担会越来越重（养老、看病、孩子读书等）或预计收入会逐步减少的人使用。等额本金还
21、款法的计算公式每季还款额=贷款本金贷款期季数+（本金-已归还本金累计额）季利率由此可见，随着本金的不断归还，后期未归还的本金的利息也就越来越少，每个季度的还款额也就逐渐减少。这种方式较适合于已经有一定的积蓄，但预期收入可能逐渐减少的借款人，如中老年职工家庭，其现有一定的积蓄，但今后随着退休临近收入将递减。通过上述我们可以知道，虽然等额本金法，算下来要比等额本息划算的多，但是有一个问题，等额本金法每月的还款金额是递减的，而一般情况下，如果一味考虑节省利息选用等额本金法，也就是说目前的压力会比较大，该公司夫妇的收入理论上会是递增的，所以很多时候出于这种考虑，选择等额本息法对于该夫妇比较合理。在本题
22、中，我们也作该处理，即选用等额本息还款。这样的话，上述多目标规划问题就变成了单目标规划问题。即把个人收入作为一个约束条件，把利息作为目标函数值。2、模型假设（1）这对夫妇的储存能力能够支付首付30万，对比公积金贷款和银行贷款采用多贷公积金，少贷银行；（2）假定公积金年支配用于储蓄;（3）假定公积金贷款50万，银行贷款20万;（4）实行先还银行，再还公积金的办法，那么公积金在此期间只需还贷利息（不纳入还款金额）;（5）这对夫妇的收入是一样的，即每人每年收入都为62500元.3、模型建立根据最优收入分配方法，得出每人的收入情况：总税收：3525元；月工资：3714元；月工资税收：146.4元；税后
23、可支配工资：3567.6元；年终奖：17931.77元；年终奖的税收：1768.18元；税后可支配为：16163.59元；税后年收入为：58974.79由给出条件并经过运算，可分别得出公积金贷款和银行贷款年利率和月利率如下表所示：表二：年利率和月利率（公积金）年利率月利率5年以下4.020.3295年以上4.590.375表三：年利率和月利率（银行贷款）年利率月利率1年5.310.4321至3年5.400.4393至5年5.760.4685年以上5.940.4824、模型求解（1）全年收入方案该夫妇总收入：125000元总纳税额：7050元，税后余下的收入的30%50%用于生活支出，其中有10
24、%可用于投资或保险，40%60%用于月供。40%60%范围为：3931.7元5891.7元，月供取其范围最佳。采用excel 2003中的PMT公式计算，得出运算过程如下图：PMT是计算等额本息的函数，由于其值为负数，加负号使其为正，B1代表月利率，C1代表月数，D1代表贷款本金。图二，贷款年限和每月还款额之间的关系（银行贷款）图三，贷款年限和每月还款额之间的关系（公积金贷款）借款人每月按相等的金额偿还贷款本息，其中每月贷款利息按月初剩余贷款本金计算并逐月结清，由上图可以看出，通过对比，银行贷款还款年限取4年为宜，公积金贷款年限取10年为宜，此时的还款额最少，且符合月收入的40%60%用于月供。5、结果分析与评价用理财的思路去考虑最为合理的收入使用分配应该是非常有必要的。尤其对于那些工作比较稳定，但收入平平的工薪阶层房贷者而言，过多的还款压力很可能使其不堪重负，沦为“房奴”一族。在本模型中充分考虑了该问题，将月供还贷压力降低到最低，同时考虑也考虑了工薪阶层房贷者的生活压力及生活开支。
