1、第十六章二次根式教材分析二次根式教材分析第十六章 二次根式教材分析：二次根式教材分析（一） 课程学习目标1.理解二次根式的概念，了解被开方数必须是非负数的理由；2.了解最简二次根式的概念；3.理解二次根式的性质：（1） 、一a（a _0）是非负数；（2） . a i； =a（a _ 0） ; （3） 、a2=a（a_0）;4.掌握二次根式的加、减、乘、除运算法则，会用它们进行有关实数的简单四则 运算（不要求分母有理化）；5.了解代数式的概念，进一步体会代数式在表示数量关系方面的作用。（二） 知识结构框图本章知识结构框图如下：注意：有关a的取值及讨论.（三）课时安排本章教学时间约需10课时，具体
2、分配如下（仅供参考）：16. 1二次根式约3课时16. 2二次根式的乘除约5课时16. 3二次根式的加减约4课时小结约2课时（四）内容安排本章是在第10章的基础上，进一步研究二次根式的概念、性质和运算。本章 重点是二次根式的化简和运算，难点是正确理解二次根式的性质和运算法则的合 理性，学习本章的关键是理解二次根式的概念和性质，它们是学习二次根式的化 简与运算的依据。第10章“实数”中，我们学习了平方根、算术平方根的概念， 以及利用平方运算与开平方运算的互逆关系求非负数的平方根和算术平方根的方 法。全章分为三节，第一节研究了二次根式的概念和性质。教科书首先给出四个 实际问题，要求学生根据已学的平
3、方根和算术平方根的知识写出这四个问题的答 案，并分析所得结果在表达式上的特点，由此引出二次根式的概念。在二次根式 的概念中，重要的一点是理解被开方数是非负数的要求，教科书结合例题对此进 行了较详细的分析。接下去，教科书采用由特殊到一般的方法，归纳给出了二次 根式的性质.a 2 = a(a 一 0)，并根据算术平方根的定义对这条性质进行了分析， 对于二次根式的性质 a2 =a(a _0)，教科书同样采用了让学生通过具体计算，分 析运算过程和运算结果，最后归纳得出一般结论的方法进行研究。第一节的内容 是学习后两节内容的直接基础。第二节的内容是二次根式的乘除运算。本节首先研究了二次根式的乘法运算，
4、教科书通过设置探究栏目，要求学生利用二次根式的性质和计算器等进行一些具 体运算，发现；a2 =a(a_0)之间的关系，从而由特殊到一般地归纳得出二次根式 乘法的运算法则，继而得到积的算术平方根的性质，引出化简二次根式的方法。 对于二次根式的除法运算，类似于乘法运算，教科书也采用了由特殊到一般的方 法，通过归纳得出二次根式除法的运算法则，继而得到商的二次根式的性质，进 一步完善化简二次根式的方法。本节最后，教科书结合本章例题，给出了最简二 次根式的概念，明确了化简二次根式的方向，并为下一节学习二次根式的加减运 算作好铺垫。第三节是二次根式的加减运算。在实际生活中会遇到二次根式的加减运算， 因此教
5、科书首先结合一个实际问题引出二次根式的加法，然后结合第 10章的结论“在有理数范围内成立的运算律在实数范围内仍然成立”，并利用分配律得出了二 次根式的加减运算法则。本节最后，在基本的二次根式的乘、除、加、减运算的 基础上，教科书通过几个例题研究了二次根式的混合运算，突出了二次根式与整 式之间的关系，体现了整式的运算性质、公式和法则与二次根式相关内容的一致 性。本章内容与已学内容“实数” “整式” “勾股定理”联系紧密，同时也是以后 将要学习的“解直角三角形” “一元二次方程”和“二次函数”等内容的重要基础， 并为学习高中数学中的不等式、函数以及解析几何等的大部分知识作好准备.学情分析：学法教法
6、建议1 注意加强知识间的纵向联系本章内容属于“数与代数”这个领域，对于实数的内容，本套教科书主要分 为两章学习，分别是七年级下册的第 5章“实数”和本章“二次根式”。在“实数” 一章中，主要研究了平方根、立方根的概念和求法，实数的有关概念和运算，通 过第5章的学习，学生对数的认识已经由有理数的范围扩大到实数范围，并对实 数的运算性质和运算法则有了初步的感受，这些为本章的学习打下了基础。因此， 教学时要注意与已有经验的联系，要在“实数”一章的基础上进行教学。例如， 对于二次根式的加减运算，在“实数”一章中，为了让学生对“有理数的运算律 和运算法则在实数的范围内仍然成立”有所体验，教科书以二次根式
7、的加减运算 为例对这个结论进行了说明，这样实际上在“实数”一章中，学生对二次根式的 加减运算已经有所接触，本章在此基础上利用分配律给出了加减法的运算法则， 使学生进一步体会运算律在数的扩充过程中的一致性。2加强与实际的联系研究二次根式的运算既是数学内部的需要，也是实际的需要，教材注意了与 实际的联系。例如，二次根式概念的引入是结合四个实际问题展开的，二次根式 的加法运算是结合实际中裁截板材问题引出的，另外本章也有较多的应用本章内 容解决实际问题的例题和习题，如计算钢材问题、确定纸张规格问题、电视塔的 传播半径问题等等。因此教学时注意联系实际，对于一些重要的概念和运算可以 紧密结合实际生活展开，
8、使学生在解决实际问题的过程中，认识二次根式的有关 概念和运算。3加大学生探索空间，体现由特殊到一般的认识过程根据本章内容的特点，对于一些重要结论，编写时注意了让学生通过观察、 思考、讨论等探究活动归纳得出结论的过程。例如，对于二次根式的乘法法则， 教科书首先让学生利用二次根式的概念和性质进行几个具体的计算，其中有两个 二次根式相乘的问题，也有积的算术平方根的问题，学生通过具体计算，并观察 所得结果发现二次根式相乘与积的算术平方根之间的关系，并利用发现的规律进 行计算，然后利用计算器进行验证，最后归纳得出二次根式的乘法运算法则，这 个过程实际上让学生通过探究活动经历了一个由特殊到一般的认识过程；
9、再如， 二次根式的除法运算法则也是采用通过学生的探索活动，由特殊到一般地归纳得 出结论的方法。由于本章内容与以前所学的实数内容有较多联系，在思考问题的 方法上与整式的内容又有很多相通之处，因此，教学中，可以结合具体内容，给 学生尽可能多地留出探索交流的空间，例如，对于第三节中的例 6,可以让学生自 己探索，发现整式的平方差公式在二次根式的运算中也成立。通过这样的探究活 动发展学生的思维能力，有效改变学生的学习方式，掌握认识事物的一般规律.4.适当加强练习，为后续学习打好基础本章内容属于“数与代数”领域中较基础的内容，尤其是二次根式的加、减、 乘、除运算是后续学习解直角三角形、一元二次方程和二次
10、函数的重要基础，例 如在“解直角三角形” 一章中，会遇到很多实际问题，在解决实际问题的过程中， 要遇到将二次根式化成最简二次根式以及二次根式的加减运算，在“一元二次方 程”中，利用公式法解方程时，会用到二次根式的性质，在“二次函数”一章中，判断二次函数的图象与x轴是否有交点时，会遇到根的判别式中被开方数小于 0的情形，这里需要深刻理解二次根式的意义。再有，本章主要内容是二次根式的 化简和运算，掌握化简的方法和运算规律需要一定的训练。因此，教学中可以适 当增加练习，使学生较好地理解二次根式的意义，较好地掌握二次根式的性质和 运算，为后续的学习打下良好的基础，也为后续学习作好知识准备。本章内容与“
11、整式” “勾股定理”等联系紧密，在加强练习的过程中，注意知 识之间的相互联系，提高综合应用的能力。5引导学生理解数学的本质本章的重点是让学生理解二次根式的性质和运算，并会熟练运用法则进行运 算。本章编写时，注重说明性质和法则成立的合理性，突出了它们的数学本质。 对于概念，教材淡化概念名词，突出概念实质。例如，本章在介绍二次根式的乘 除运算时，没有给出分母有理化的概念，而是结合具体例子说明了分母有理化的 要求，再如，对于二次根式的加减运算，迴避了同类二次根式的概念，突出强调 了运算时先将二次根式化成最简二次根式再进行合并的方法。这样处理内容的目 的是使学生将学习的重点放在理解数学的本质上来。因此
12、，教学中注意体会教材 的编写意图，培养学生的数学能力。课题：16.1二次根式（第1课时）一、 教学目标 知识技能：1.复习平方根的概念2.经历从实际问题列二次根式的过程，知道什么是二次根式，会求二次根式有意 义的条件能力目标：培养学生由特殊到一般的思维能力，掌握公式的一般推导方法。 情感目标：通过合作学习，激发学生的学习兴趣，体验成功。二、 教学重点和难点1.重点：二次根式的概念2.难点：理解式子.a的意思三、 教法与学法1、 注意加强知识间的纵向联系前面已经学习了平方根、立方根的概念和求法等 学生对实数的运算性质和运算法则有了初步的感受 因此教学时要注意与已有经验的联系。2、 加强与实际的联
13、系研究二次根式的运算既是数学课程学习的需要 也是实际的需要教材注意了与实际的联系。如计算钢材问题、确定纸张规格问题、电视塔的传播半径问题等 等。因此教学时要注意联系实际 使学生在解决实际问题过程中 认识二次根式的有关概念和运算。3、 体现由特殊到一般的认识过程对于一些重要结论 让学生通过观察、思考、讨论等探究活动归纳得出一般性结论 以此发展学生的思维能力 改变学生的学习方式 掌握认识事物的一般规律。4、 适当加强练习 为后续学习打好基础本节内容属于“数与代数”领域中较基础的内容 尤其是下面的二次根式的加、减、乘、除运算是后续学习解直角三角形、一元二次方程和二次函数等知识的重 要基础 教学中可以
14、适当增加练习 使学生较好地理解二次根式的意义 掌握二次根式的性质和运算 为后续的学习打下良好的基础。5、 引导学生理解数学的本质本节的重点是让学生理解二次根式的概念及性质和运算 对于概念应突出其实质使学生将学习的重点放在理解数学的本质上来。 教学活动的本质是一种合作、一种交流 学生是数学学习的主人 教师是数学学习的组织者、引导者与合作者 本节课主要采用合作探究、类比学习、引领提升等方式展开 让学生养成学习习惯。四、教学过程（一）复习旧知，导入新课师：从本节课开始，我们要学习新的一章一一第十六章二次根式（板书： 第十六章二次根式）.师：什么是二次根式？这得从平方根说起师：初二的时候我们学过平方根
15、，那么什么是平方根？（稍停）师：（板书：x2=5，并指准）x2=5，5是x的什么？（稍停）5是x的平方；反过来， x是5的什么？（稍停）x是5的平方根.师：（指准x2=5） x2=5, 5是x的平方，x是5的平方根.大家按照老师的说法，自 己说几遍.（生自己说）师：哪位同学来说一说？生： （让一两名同学说）师：（指准x2=5） x2=5, x是5的平方根，那么5的平方根x等于什么呢？（板书： 5的平方根x=）生： （让一两名学生回答）师：x= _、5 （边讲边板书：_、5 ）师：（指准一 5 ）也就是说，5的平方根有两个，一个是-.5，另一个是-.5，其中 又叫做5的算术平方根.师：（指准板书
16、）_5的平方根是一5，那么12的平方根是什么？生:（齐答）12.师：其中12是12的什么？生：.12是12的算术平方根.师：上面我们复习的是正数的平方根，下面我们来看 0的平方根师：（板书：x2=0,并指准）x2=0, x等于什么？生：（齐答）x=0.（师板书：x=0）师：（指准板书）从x2=0得出x=0,这说明什么？（稍停）这说明 0的平方根为0 （板书：0的平方根为0）.师：我们还规定0的算术平方根为0.师：下面我们再来看负数有没有平方根师：（板书：x2=-5，并指准）一个数的平方等于-5，这样的数有没有？（稍停）任 何一个数的平方，或者大于 0,或者等于0,不可能小于0,所以这样的数没有
17、 （板书：不存在）这说明什么？（稍停）这说明-5没有平方根（板书：-5没 有平方根）.师：（指板书）从上面的讨论，我们可以得出一个结论，什么结论？（稍停）正数 有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0;负数没有平方根（二） 试探练习，回授调节1.填空：（1） 9的平方根是 ，9的算术平方根是 ；（2） 6的平方根是 ，6的算术平方根是 ；（3） 0的平方根是 ，0的算术平方根是2.用带根号的式子填空：（1） 一个直角三角形的两条直角边的长分别是 2和3,则斜边的长为 ；（2） 面积为S的正方形的边长为 ；（3） 跳水运动员从跳台跳下，他在空中的时间 t （单位：秒）与跳台高度 h （单 位
18、：米）满足关系h=5t2.如果用含有h的式子表示t，则t=.（三） 尝试指导，讲授新课（生报第2题答案，师板书答案：.13，、: S，!）师：（指板书）刚才我们所做题目的答案是.13，-、sh，这三个带有根号的式 子有什么共同的特点？生：（问题的答案不是唯一的，鼓励学生发表自己的看法）师：（指准式子）这三个式子有什么共同特点？它们都是一个数的算术平方根， .13是13的算术平方根，Vs是s的算术平方根，Jh是5的算术平方根.另一方面， 从式子的样子来看，它们都是形如 .a的式子（板书：形如a的式子）.师：（指准式子）中的a等于13, S中的a等于S, 中的a等于什么？生：（齐答）等于h.S师：
19、,、.s, 、h都是形如a的式子，我们就把形如.a的式子叫做二次根式 （板书：叫做二次根式）.师：大家把二次根式的概念读两遍.（生读）师：下面我们来看一道例题.（师出示例题）例当X是怎样的实数时，.X-T有意义？师：大家看一看这个题目，想一想怎么做这个题目.（生读题思考）师：（指准式子）-X2是一个二次根式，要使.X-T有意义，被开方数x-2必须大 于等于0.为什么被开方数x-2必须大于等于0?（稍停）-2表示X-2的算术 平方根，而负数没有平方根，所以被开方数 x-2必须大于等于0.（以下师边讲解边板书，解题过程如下）解：由 x-2 0,得 x2.当x 2时，有意义.（四）试探练习，回授调节
20、3.填空：当a 时，.0-1有意义；（2）当x 时，.2x+3有意义.4.选做题： 当 x 时，一7 有意义； 当 x 时，x有意义.（五）归纳小结，布置作业师：本节课我们首先复习了平方根的概念，然后学习了什么是二次根式 （指准板书）形如.0的式子叫做二次根式，这里的a必须大于等于0（板书：其中a0）.（作业：P5习题1，P3练习2）五、板书设计第十六章二次根式x2=0，x=0,0的平方根为 02x=-5，x不存在，-5没有平方根六、教学反思（第2课时）一、 教学目标知识技能：1.知道并会简单运用二次根式的基本性质.培养探究能力和归纳表达能力2.通过基本训练，复习巩固二次根式的概念和性质 .3
21、.培养探究能力和归纳表达能力.能力目标：培养学生由特殊到一般的思维能力，掌握公式的一般推导方法。 情感目标：通过合作学习，激发学生的学习兴趣，体验成功。二、 教学重点和难点1.重点：二次根式的基本性质2.难点：二次根式基本性质的探究三、 教法与学法1注意加强知识间的纵向联系前面已经学习了平方根、立方根的概念和求法等 学生对实数的运算性质和运算法则有了初步的感受 因此教学时要注意与已有经验的联系。2、 加强与实际的联系研究二次根式的运算既是数学课程学习的需要 也是实际的需要教材注意了与实际的联系。如计算钢材问题、确定纸张规格问题、电视塔的传播半径问题等 等。因此教学时要注意联系实际 使学生在解决
22、实际问题过程中 认识二次根式的有关概念和运算。3、 体现由特殊到一般的认识过程对于一些重要结论 让学生通过观察、思考、讨论等探究活动归纳得出一般性结论 以此发展学生的思维能力 改变学生的学习方式 掌握认识事物的一般规律。4、 适当加强练习 为后续学习打好基础本节内容属于“数与代数”领域中较基础的内容 尤其是下面的二次根式的加、减、乘、除运算是后续学习解直角三角形、一元二次方程和二次函数等知识的重 要基础 教学中可以适当增加练习 使学生较好地理解二次根式的意义 掌握二次根式的性质和运算 为后续的学习打下良好的基础。5、 引导学生理解数学的本质本节的重点是让学生理解二次根式的概念及性质和运算 对于
23、概念应突出其实质使学生将学习的重点放在理解数学的本质上来。 教学活动的本质是一种合作、一种交流 学生是数学学习的主人 教师是数学学习的组织者、引导者与合作者 本节课主要采用合作探究、类比学习、引领提升等方式展开 让学生养成学习习惯。四、 教学过程（一） 创设情境，导入新课师：上节课我们学习了二次根式的概念，什么样的式子是二次根式？（师出示下面的板书）形如a （a0）的式子叫做二次根式.师：（指准板书）形如的式子叫做二次根式，这里的被开方数 a必须大于等于0.譬如，（板书：.5）、5是二次根式，（板书：-.0） o也是二次根式，（板书： 事 不是二次根式.师：明确了二次根式的概念，本节课我们要学
24、习什么？本节课我们要学习二次根式的性质（板书：二次根式的性质）.（二） 尝试指导，讲授新课师：二次根式有什么性质？二次根式有三个性质，我们先来看第一个性质（师出示下面的板书）性质1：. a （a 0）是一个非负数. _ -师：（指准板书）性质1告诉我们，二次根式 盲是一个非负数.譬如，.5 0,所 以馬是一个非负数；.0=0，所以.0也是一个非负数.实际上，二次根式.a表 示a的算术平方根，而a的算术平方根总是大于等于0,可见，書是一个非负 数.师：下面我们来看二次根式的第二个性质2师：（板书：.3 ） . 3是一个二次根式，我们把ip平方（边讲边板书），.3等 于什么？生：等于3.（直到有学
25、生猜出这个答案，师板书：=3）2师：（指式子）.3 =3，为什么？（稍停）（师出示下图）师：（指准图）这是一个正方形，这个正方形的面积为3,那么它的边长等于什么？ 生：边长等于.3.（多让几名同学回答，然后师在图上板书：边长 =.3） 师：（指准图）这个正方形的边长为.3，面积为3.那么，边长-.3的平方等于什 么？生：（多让几名同学回答）师：（指准图）边长-.3的平方就等于面积3,可见，.3 2 =3.师：（板书：、.82=）利用同样的办法，我们可以得到 8 2等于什么?生：（齐答）等于8.（生答师板书：8）2a 等于什么?2师：（板书：.a =）利用同样的办法，我们可以得到生：（齐答）等于
26、a.（生答师板书：a）师：（指式子）一 a =a，这就是二次根式的第二个性质（板书： 性质2） 师：（指准式子）这里的a是被开方数，所以a必须大于等于0（板书：（a 0） 师：下面我们利用性质2来做几个题目.（师出示例1）例1计算： . 2 _ 2 一 1.5 ; （2） 2、5 .（师边讲边解板书，解题过程如课本第 4页所示）（三）试探练习，回授调节1.计算：（1） 4 2= （2） =2 2（3） 0 = -.06 = 3.2 2=（四）尝试指导，讲授新课师：前面我们学习了二次根式的性质 1和性质2,下面我们学习性质3. 师：（板书：,2.1 2 =） .2.1 2等于什么？生：等于2.1
27、.（直到有学生猜出这个答案，师板书：2.1）师：（指式子）.2V=2.1，为什么？（稍停）（师出示下图）师：（指准图）这是一个正方形，这个正方形的面积为 2.1 2,那么它的边长等于什 么？生：边长等于2.1.（多让几名同学回答，然后师在图上板书： 边长=2.1）师：（指准图）我们知道，正方形面积的算术平方根等于边长，所以有 2 =2.1.师：（板书：,62 =）利用同样的办法，我们可以得到.62等于什么？生：（齐答）等于6.（生答师板书：6）师：（板书：,a2=）利用同样的办法，我们可以得到.0等于什么？生：（齐答）等于a.（生答师板书：a）师：（指式子）.02=a，这就是二次根式的第三个性
28、质（板书：性质3）师：（指准右边的a）这里的a是a2的算术平方根，所以a0 （边讲边板书：（a 0）.师：学习了二次根式的性质2和性质3,有的同学觉得性质2和性质3好像是一样 的.性质2和性质3是一样的吗？（稍停师：（指准板书）性质2和性质3这两个等式的右边是一样的，而且 a都必须大于 等于0,但性质2和性质3的左边是不一样的，大家仔细看一看，性质 2的左边 是什么，性质3的左边又是什么.（让生观察一会儿师：（指准式子）谁来说说这两个等式的左边有什么不同？生：（多让几名同学说，要鼓励学生用自己的语言来表述）_ 2师：（指准.a ）这个式子表示什么？表示a的算术平方根的平方，（指准和a2 ） 这
29、个式子表示什么？表示a2的算术平方根.a的算术平方根的平方和a2的算术平 方根的意思是不一样的.师：下面我们利用性质来做几个题目.（师出示例2）例2化简：（1）尿；（2） JJ-5J.（师边讲解边板书，解题过程如课本第 5页所示）（五）试探练习，回授调节2.化简:_（1） .0.3 2 =（2） .0.36 =-，(-n)2 =3.直接写出结果：-5 2= (2) 序二2(3)(5) 2 = (4) - 5 =(6)归纳小结，布置作业.大家把这师：本节课我们学习了什么？(稍停)我们学习了二次根式的三个性质 三个性质再看一遍(生默读)(作业：P5习题24)五、板书设计形如叫做二次根式例1例25，
30、石二次根式的性质性质1: a (a 0)是个非负数.性质 2: 1 ：a =a(a0).2 2=3， .8 =8图一性质 3: ,a2=a(a 0).2.1 =2.1， 62 =6图二六、教学反思:(第3课时)一、 教学目标知识技能：了解代数式的概念，会用代数式表示实际问题中的某一个量 能力目标：培养学生由特殊到一般的思维能力，掌握公式的一般推导方法。 情感目标：通过合作学习，激发学生的学习兴趣，体验成功。二、 教学重点和难点1.重点：用代数式表示实际问题中的某一个量2.难点：用代数式表示实际问题中的某一个量.三、 教法与学法1注意加强知识间的纵向联系前面已经学习了平方根、立方根的概念和求法等 学生对实数的运算性质和运算法则有了初步的感受 因此教学时要注意与已有经验的联系。2、 加强与实际的联系研究二次根式的运算既是数学课程学习的需要 也是实际的需要教材注意了与实际的联系。如计算钢材问题、确定纸张规格问题、电视塔的传播半径问题等 等。因此教学时要注意联系实际 使学生在解决实际问题过程中 认识二次根式的有关概念和运算。3、 体现由特殊到一般的认识过程对于一些重要结论 让学生通过观察、思考、讨论等探究活动归纳得出一般性结论 以此发展学生的思维能力 改变学生的学习方式 掌握认识事物的一般规律。4、 适当加强练习 为后续学习打好基础本节内容属于“数与
