1、高考一轮北师大版数学文科 第7章 第2节 空间图形的基本关系与公理第二节空间图形的基本关系与公理 考纲传真1.理解空间直线、平面位置关系的定义.2.了解可以作为推理依据的公理和定理.3.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的位置关系的简单命题1空间图形的公理(1)公理1：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面(即可以确定一个平面)(2)公理2：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内(即直线在平面内)(3)公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线(4)公理4：平行于同一条直线的两条直线平行2空间中两直线的位置关系(1)空间中两直
2、线的位置关系(2)异面直线所成的角定义：过空间任意一点P分别引两条异面直线a，b的平行线l1，l2(al1，bl2)，这两条相交直线所成的锐角(或直角)就是异面直线a，b所成的角范围：.3空间中直线与平面、平面与平面的位置关系(1)直线与平面的位置关系有相交、平行、在平面内三种情况(2)平面与平面的位置关系有平行、相交两种情况4定理(等角定理)空间中，如果两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补1(思考辨析)判断下列结论的正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)两个平面，有一个公共点A，就说，相交于过A点的任意一条直线()(2)两两相交的三条直线最多可以确定三个平面()(3)如果两个
3、平面有三个公共点，则这两个平面重合()(4)若直线a不平行于平面，且a，则内的所有直线与a异面()答案(1)(2)(3)(4)2(教材改编) 如图721所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是AB，AD的中点，则异面直线B1C与EF所成的角的大小为()A30 B45C60 D90图721C连接B1D1，D1C(图略)，则B1D1EF，故D1B1C为所求的角，又B1D1B1CD1C，D1B1C60.3在下列命题中，不是公理的是()A平行于同一个平面的两个平面相互平行B过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面C如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在此平面内D如
4、果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线AA不是公理，是个常用的结论，需经过推理论证；B，C，D是公理4(2016山东高考)已知直线a，b分别在两个不同的平面，内，则“直线a和直线b相交”是“平面和平面相交”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件A由题意知a ，b ，若a，b相交，则a，b有公共点，从而，有公共点，可得出，相交；反之，若，相交，则a，b的位置关系可能为平行、相交或异面因此“直线a和直线b相交”是“平面和平面相交”的充分不必要条件5若直线ab，且直线a平面，则直线b与平面的位置关系是_b与相交或b 或b空间图形的公理及其
5、应用如图722，正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是AB和AA1的中点求证：(1)E，C，D1，F四点共面；(2)CE，D1F，DA三线共点图722 证明(1)如图，连接EF，CD1，A1B.E，F分别是AB，AA1的中点，EFBA1. 2分又A1BD1C，EFCD1，E，C，D1，F四点共面. 5分(2)EFCD1，EFCD1，CE与D1F必相交，设交点为P，则由P直线CE，CE 平面ABCD，得P平面ABCD. 8分同理P平面ADD1A1.又平面ABCD平面ADD1A1DA，P直线DA，CE，D1F，DA三线共点. 12分规律方法1.证明线共面或点共面的常用方法：(1)直接法：证
6、明直线平行或相交，从而证明线共面(2)纳入平面法：先确定一个平面，再证明有关点、线在此平面内(3)辅助平面法：先证明有关的点、线确定平面，再证明其余元素确定平面，最后证明平面，重合2证明点共线问题的常用方法：(1)基本性质法：一般转化为证明这些点是某两个平面的公共点，再根据基本性质3证明这些点都在这两个平面的交线上(2)纳入直线法：选择其中两点确定一条直线，然后证明其余点也在该直线上变式训练1 如图723所示，四边形ABEF和ABCD都是梯形，BC綊AD，BE綊FA，G，H分别为FA，FD的中点(1)证明：四边形BCHG是平行四边形；(2)C，D，F，E四点是否共面？为什么？【导学号：6648
7、2329】图723解(1)证明：由已知FGGA，FHHD，得GH綊AD. 2分又BC綊AD，GH綊BC，四边形BCHG是平行四边形. 5分(2)C，D，F，E四点共面，理由如下：由BE綊AF，G为FA的中点知BE綊GF，四边形BEFG为平行四边形，EFBG. 8分由(1)知BGCH，EFCH，EF与CH共面又DFH，C，D，F，E四点共面. 12分空间直线的位置关系(1)(2015广东高考)若直线l1和l2是异面直线，l1在平面内，l2在平面内，l是平面与平面的交线，则下列命题正确的是()Al与l1，l2都不相交Bl与l1，l2都相交Cl至多与l1，l2中的一条相交Dl至少与l1，l2中的一条
8、相交(2)(2017郑州模拟)在图724中，G，H，M，N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH，MN是异面直线的图形有_(填上所有正确答案的序号)图724(1)D(2)(1)由直线l1和l2是异面直线可知l1与l2不平行，故l1，l2中至少有一条与l相交(2)图中，直线GHMN；图中，G，H，N三点共面，但M平面GHN，因此直线GH与MN异面；图中，连接MG，GMHN，因此GH与MN共面；图中，G，M，N共面，但H平面GMN，因此GH与MN异面，所以在图中，GH与MN异面规律方法1.异面直线的判定方法：(1)反证法：先假设两条直线不是异面直线，即两条直线平行或相交，由假设出发，经
9、过严格的推理，导出矛盾，从而否定假设，肯定两条直线异面(2)定理：平面外一点A与平面内一点B的连线和平面内不经过点B的直线是异面直线2点、线、面位置关系的判定，要注意几何模型的选取，常借助正方体为模型，以正方体为主线直观感知并认识空间点、线、面的位置关系变式训练2(2017烟台质检)a，b，c表示不同的直线，M表示平面，给出四个命题：若aM，bM，则ab或a，b相交或a，b异面；若b M，ab，则aM；若ac，bc，则ab；若aM，bM，则ab.其中正确的为()A BC DA对于，当aM，bM时，则a与b平行、相交或异面，为真命题中，b M，ab，则aM或a M，为假命题命题中，a与b相交、平
10、行或异面，为假命题由线面垂直的性质，命题为真命题，所以为真命题异面直线所成的角(1)如图725，在底面为正方形，侧棱垂直于底面的四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AA12AB2，则异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为() A. BC. D图725(2)(2016全国卷)平面过正方体ABCDA1B1C1D1的顶点A，平面CB1D1，平面ABCDm，平面ABB1A1n，则m，n所成角的正弦值为()A. B C D(1)D(2)A(1)连接BC1，易证BC1AD1，则A1BC1即为异面直线A1B与AD1所成的角连接A1C1，由AB1，AA12，则A1C1，A1BBC1，在A1BC1中，由余弦定理得
11、cosA1BC1.(2)设平面CB1D1平面ABCDm1.平面平面CB1D1，m1m.又平面ABCD平面A1B1C1D1，且平面CB1D1平面A1B1C1D1B1D1，B1D1m1，B1D1m.平面ABB1A1平面DCC1D1，且平面CB1D1平面DCC1D1CD1，同理可证CD1n.因此直线m与n所成的角与直线B1D1与CD1所成的角相等，即CD1B1为m，n所成的角在正方体ABCDA1B1C1D1中，CB1D1是正三角形，故直线B1D1与CD1所成角为60，其正弦值为.规律方法1.求异面直线所成的角常用方法是平移法，平移方法一般有三种类型：利用图中已有的平行线平移；利用特殊点(线段的端点或
12、中点)作平行线平移；补形平移2求异面直线所成角的三个步骤：(1)作：通过作平行线，得到相交直线的夹角(2)证：证明相交直线夹角为异面直线所成的角(3)求：解三角形，求出作出的角，如果求出的角是锐角或直角，则它就是要求的角，如果求出的角是钝角，则它的补角才是要求的角变式训练3 如图726，已知圆柱的轴截面ABB1A1是正方形，C是圆柱下底面弧AB的中点，C1是圆柱上底面弧A1B1的中点，那么异面直线AC1与BC所成角的正切值为_图726取圆柱下底面弧AB的另一中点D，连接C1D，AD，则因为C是圆柱下底面弧AB的中点，所以ADBC，所以直线AC1与AD所成角等于异面直线AC1与BC所成角，因为C
13、1是圆柱上底面弧A1B1的中点，所以C1D圆柱下底面，所以C1DAD.因为圆柱的轴截面ABB1A1是正方形，所以C1DAD，所以直线AC1与AD所成角的正切值为，所以异面直线AC1与BC所成角的正切值为.思想与方法1主要题型的解题方法(1)要证明“线共面”或“点共面”可先由部分直线或点确定一个平面，再证其余直线或点也在这个平面内(即“纳入法”)(2)要证明“点共线”可将线看作两个平面的交线，只要证明这些点都是这两个平面的公共点，根据公理3可知这些点在交线上2判定空间两条直线是异面直线的方法(1)判定定理：平面外一点A与平面内一点B的连线和平面内不经过点B的直线是异面直线(2)反证法：证明两线不可能平行、相交或证明两线不可能共面，从而可得两线异面3求两条异面直线所成角的大小，一般方法是通过平行移动直线，把异面问题转化为相交直线的夹角，体现了转化与化归思想易错与防范1异面直线不同在任何一个平面内，不能错误地理解为不在某一个平面内的两条直线就是异面直线2直线与平面的位置关系在判断时最易忽视“线在面内”3两异面直线所成的角归结到一个三角形的内角时，容易忽视这个三角形的内角可能等于两异面直线所成的角，也可能等于其补角
