1、204 正方形的判定含答案20.4 正方形的判定A卷一、选择题 1下列命题正确的是（ ） A两条对角线互相平分且相等的四边形是菱形 B两条对角线互相平分且垂直的四边形是矩形 C两条对角线互相垂直，平分且相等的四边形是正方形 D一组邻边相等的平行四边形是正方形 2矩形四条内角平分线能围成一个（ ）A平行四边形 B矩形 C菱形 D正方形 二、填空题 3已知点D，E，F分别是ABC的边AB，BC，CA的中点，连结DE，EF，要使四边形ADEF是正方形，还需要添加条件_4如图1所示，直线L过正方形ABCD的顶点B，点A，C到直线L的距离分别是1和2，则正方形ABCD的边长是_ 图1 图2 图3 5如图
2、2所示，四边形ABCD是正方形，点E在BC的延长线上，BE=BD且AB=2cm，则E的度数是_，BE的长度为_6如图3所示，正方形ABCD的边长为4，E为BC上一点，BE=1，F为AB上一点，AF=2，P为AC上一动点，则当PF+PE取最小值时，PF+PE=_ 三、解答题7如图所示，在RtABC中，CF为ACB的平分线，FDAC于D，FEBC于点E，试说明四边形CDFE是正方形 四、思考题 8已知如图所示，在正方形ABCD中，E，F分别是AB，BC边上的点，且AE=BF，请问： （1）AF与DE相等吗？为什么？（2）AF与DE是否垂直？说明你的理由参考答案 一、1C 点拨：对角线互相平分的四边
3、形是平行四边形，对角线互相垂直的平行四边形是菱形，对角线相等的平行四边形是矩形，既是菱形又是矩形的四边形一定是正方形，故选C 2D 点拨：由题意画出图形后，利用“一组邻边相等的矩形是正方形”来判定 二、3ABC是等腰直角三角形且BAC=90 点拨：还可添加ABC是等腰三角形且四边形ADEF是矩形或BAC=90且四边形ADEF是菱形等条件 4 点拨：观察图形易得两直角三角形全等，由全等三角形的性质和勾股定理得正方形的边长为=567.5；2cm 点拨：因为BD是正方形ABCD的对角线，所以DBC=45，AD=AB=2cm在RtBAD中，由勾股定理得AD2+AB2=BD2，即22+22=BD2，所以
4、BD=2cm，所以BE=BD=2（cm），又因为BE=BD，所以E=EDB=（180-45）=67.56 点拨：如图所示，作F关于AC的对称点G连结EG交AC于P，则PF+PE=PG+PE=GE为最短过E作EHAD在RtGHE中，HE=4，HG=AG-AH=AF-BE=1，所以GE=，即PF+PE=三、7解：因为FDC=FEC=BCD=90，所以四边形CDFE是矩形，因为CF平分ACB，FEBC，FDAC，所以FE=FD，所以矩形CDFE是正方形 点拨：本题先说明四边形是矩形，再求出有一组邻边相等，还可以先说明其为菱形，再求其一个内角为90四、8解：（1）相等理由：在ADE与BAF中，AD=A
5、B，DAE=ABF=90，AE=BF，所以ADEBAF（SAS），所以DE=AF（2）AF与DE垂直理由：如图，设DE与AF相交于点O因为ADEBAF，所以AED=BFA又因为BFA+EAF=90，所以AEO+EAO=90，所以EOA=90，所以DEAF20.4 正方形的判定B卷 一、七彩题1（一题多解题）如图所示，P，Q，R，S分别是正方形ABCD各边的中点，要使中间阴影部分小正方形的面积为5，求大正方形ABCD的边长 二、知识交叉题 2（科内交叉题）如图所示，在ABC中，点O是边AC上的一个动点，过点O作直线MNBC，设MN与BCA的平分线CE相交于点E，与BCA的外角平分线CF相交于点F
6、 （1）EO与FO的长度相等吗？说明理由； （2）当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形？说明理由；（3）若要使四边形AECF成为正方形，则ACB的度数应为多大？ 三、实际应用题3今有一块正方形土地，要在其上修筑两条笔直的道路，使道路把这片土地分成形状相同且面积相等的4部分，若道路的宽度可忽略不计，请设计三种不同的修筑方案（在给出的三张正方形图纸上，如图，分别画图，并简述画图步骤） 四、经典中考题4（莆田）如图所示，大正方形网格是由16个边长为1的小正方形组成，则图中阴影部分的面积是_ 五、探究学习1（规律探究题）如图所示，正方形ABCD的对角线相交于O点，点O是正方形ABCO的一个顶点，如
7、果两个正方形的边长都等于1，那么正方形ABCO绕顶点O转动，两个正方形重叠部分的面积大小有什么规律？说明理由 2（条件开放题）如图，在ABC中，AB=AC，D是BC的中点，DEAB，DFAC，垂足分别为E，F （1）求证：DE=DF；（2）只添加一个条件，使四边形EDFA是正方形（不另外添加辅助线，无需证明） 3如图所示，设四边形ABCD是边长为1的正方形，以对角线AC为边作第二个正方形ACEF，再以对角线AE为边作第三个正方形AEGH，如此下去 （1）记正方形ABCD的边长为a1=1，按上述方法所作的正方形的边长依次为a2，a3，a4，an，请求出a2，a3，a4的值 （2）根据以上规律写出
8、an的表达式参考答案 一、1解法一：如图所示，设AQ，SC与DP，BR分别相交于点E，H，F，G因为1+2=90，3+2=90，所以1=3在DAE与CDF中，1=3，AED=DFC=90，AD=CD，所以DAECDF（AAS），所以AE=DF同理可得BH=CG=DF=AE又因为SFAE，AS=SD，所以EF=DF，同理可得AE=EH=BH=HG=CG=FG=DF=EF又因为S正方形EFGH=5，所以EF=所以AE=，DE=2在RtAED中，由勾股定理，得AE2+DE2=AD2，即（）2+（2）2=AD2，所以AD=5即大正方形ABCD的边长为5解法二：如图，延长FS，过点A作AMFS于点M把D
9、FS绕S点逆时针旋转180到AMS的位置，易得四边形AEFM是正方形用同样的方法又得到三个小正方形，所以S正方形ABCD=5S正方形EFGH=55=25所以AD=5即大正方形ABCD的边长为5 点拨：解法一用一般的逻辑推理，而解法二从旋转角度去考虑，简单易懂旋转不改变图形状和大小这一性质用许多推理与计算中有较大的用处二、2解：（1）EO与FO的长度相等理由：因为EC平分ACB，所以OCE=BCE又因为EFBC，所以OEC=BCE，所以OCE=OEC，所以OE=OC同理可得OF=OC，所以OE=OF （2）当点O是AC的中点时，四边形AECF是矩形，理由如下：因为OE=OF，OA=OC，所以四边
10、形AECF是平行四边形又因为EC平分ACB，FC平分ACD，所以ACE=ACB，ACF=ACD，所以ACE+ACF=（ACB+ACD）=180=90，所以AECF是矩形（3）当O点是AC的中点，ACB=90时，四边形AECF是正方形，由（1），（2）可知四边形AECF是正方形又因为EFBC，所以EOC+ACB=180，所以ACB=90 点拨：本题综合了角平分线的定义，平行四边形、矩形、正方形的判定等知识点在问题中，三问是层层递进的，对于理解和掌握矩形、正方形的判别是大有好处的三、3解：方案一：连结两条对角线，将正方形分为四个等腰直角三角形，如图（1）所示方案二：连结正方形两组对边的中点，将正方
11、形分为四个小正方形，如图（2）所示方案三：连结AC，BD交于点O，过点O作EG交AB于E，交CD于G，过点O作FHEG，交AD于H，交BC于F如图（3）所示 点拨：若利用旋转变换本题不难解释，以四份中的一份为基本图形绕点O依次旋转90，180，270前后图形共同组成的正方形 四、410 五、探究学习1解：规律：重叠部分的面积总等于理由：因为四边形ABCD是正方形，所以OB=OC，OBE=OCF=45，BOC=EOF=90所以BOC-BOF=EOF-BOF，即BOE=COF所以BOECOF，所以SBOE=SCOF，所以两正方形重叠部分的面积=SBOC=S正方形ABCD=所以当正方形ABCD绕O点旋转时，两正方形重叠部分的面积不变，总是 点拨：先利用旋转变换，当OA，OC分别经过点B，C时，重叠部分为BOC，由此猜想重叠部分面积为，然后再进行说明2（1）证明：因为AB=AC，所以B=C因为BED=CFD=90，BD=CD，所以BDECDF，所以DE=DF （2）解：A=90，四边形AFDE是平行四边形 点拨：（2）的方法很多，如B=45，或BC=AB，或DEDF，或F为AC中点，或DFAB等3解：（1）因为四边形ABCD是正方形，所以AB=BC=1，B=90，所以在RtABC中，AC=，同理，AE=2，EH=2，即a2=，a3=2，a4=2（2）an=（）n-1（n为正整数）
