1、北师版文数高考一轮复习 第7章 第4节 平行关系第四节平行关系考纲传真1.以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面平行的有关性质与判定定理.2.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些有关空间图形的平行关系的简单命题(对应学生用书第101页) 基础知识填充1直线与平面平行的判定与性质文字语言图形语言符号语言判定定理若平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行(简记为“线线平行线面平行”)若直线l平面，直线l ，l，则l性质定理如果一条直线与一个平面平行，则过该直线的任一平面与已知平面的交线与该直线平行(简记为“线面平行线线平行”)若直线l平面，l 平面，b，则
2、lb2. 面面平行的判定定理和性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，则这两个平面平行(简记为“线面平行面面平行”)若直线a平面，直线b，a 平面，b 平面，abA，并且a，b，则性质定理如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行若平面平面，平面a，b，则ab 知识拓展 (1)垂直于同一条直线的两个平面平行，即若a，a，则； (2)垂直于同一个平面的两条直线平行，即若a，b，则ab； (3)平行于同一个平面的两个平面平行，即若，则. (4)两个平面平行，则其中任意一个平面内的直线与另一个平面平行，即，m ，则m.基本能力自测1(思考
3、辨析)判断下列结论的正误(正确的打“”，错误的打“”) (1)若一条直线和平面内一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行() (2)若直线a平面，P，则过点P且平行于直线a的直线有无数条() (3)若一个平面内有无数条直线与另一个平面平行，则这两个平面平行() (4)若两个平面平行，则一个平面内的直线与另一个平面平行() 答案(1)(2)(3)(4)2(教材改编)下列命题中，正确的是() A若a，b是两条直线，且ab，那么a平行于经过b的任何平面 B若直线a和平面满足a，那么a与内的任何直线平行 C若直线a，b和平面满足a，b，那么ab D若直线a，b和平面满足ab，a，b，则b D根据线面平
4、行的判定与性质定理知，选D3设，是两个不同的平面，m是直线且m ，“m ”是“ ”的() A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 B当m时，过m的平面与可能平行也可能相交，因而m ；当时，内任一直线与平行，因为m ，所以m.综上知，“m ”是“ ”的必要而不充分条件4在正方体ABCDA1B1C1D1中，E是DD1的中点，则BD1与平面ACE的位置关系是_ 平行如图所示，连接BD交AC于F，连接EF，则EF是BDD1的中位线， EFBD1， 又EF 平面ACE， BD1平面ACE， BD1平面ACE.5(2017河北石家庄质检)设m，n是两条不同的直线，是
5、三个不同的平面，给出下列四个命题： 若m ，n，则mn； 若，m，则m； 若n，mn，m，则m； 若，则. 其中是真命题的是_(填上序号) 【导学号：00090247】 ，mn或m，n异面，故错误；易知正确；，m或m ，故错误；，或与相交， 故错误(对应学生用书第102页)与线、面平行相关命题真假的判断(2017全国卷)在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，Q为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB与平面MNQ不平行的是() AA项，作如图所示的辅助线，其中D为BC的中点，则QDAB QD平面MNQQ，QD与平面MNQ相交， 直线AB与平面MNQ相交 B项，作如图所示的辅助
6、线，则ABCD，CDMQ，ABMQ. 又AB平面MNQ，MQ 平面MNQ，AB平面MNQ. C项，作如图所示的辅助线，则ABCD，CDMQ，ABMQ. 又AB平面MNQ，MQ 平面MNQ，AB平面MNQ. D项，作如图所示的辅助线，则ABCD，CDNQ，ABNQ. 又AB平面MNQ，NQ 平面MNQ，AB平面MNQ. 故选A 规律方法1.判断与平行关系相关命题的真假，必须熟悉线、面平行关系的各个定义、定理，无论是单项选择还是含选择项的填空题，都可以从中先选出最熟悉最容易判断的选项先确定或排除，再逐步判断其余选项 2(1)结合题意构造或绘制图形，结合图形作出判断 (2)特别注意定理所要求的条件是
7、否完备，图形是否有特殊情形，通过举反例否定结论或用反证法推断命题是否正确变式训练1(1)(2018唐山模拟)若m，n表示不同的直线，表示不同的平面，则下列结论中正确的是() 【导学号：00090248】 A若m，mn，则n B若m ，n ，m，n，则 C若，m，n，则mn D若，m，nm，n，则n (2)在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F，G分别是A1B1，B1C1，BB1的中点，给出下列四个推断： FG平面AA1D1D；EF平面BC1D1； FG平面BC1D1；平面EFG平面BC1D1 其中推断正确的序号是()图741 A B C D (1)D(2)A(1)在A中，若m，mn，则n或
8、n ，故A错误在B中，若m ，n ，m，n，则与相交或平行，故B错误在C中，若，m，n，则m与n相交、平行或异面，故C错误在D中，若，m，nm，n，则由线面平行的判定定理得n，故D正确 (2)在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F，G分别是A1B1，B1C1，BB1的中点， FGBC1，BC1AD1，FGAD1， FG平面AA1D1D，AD1 平面AA1D1D，FG平面AA1D1D，故正确； EFA1C1，A1C1与平面BC1D1相交，EF与平面BC1D1相交，故错误； E，F，G分别是A1B1，B1C1，BB1的中点， FGBC1，FG平面BC1D1，BC1 平面BC1D1， FG平面B
9、C1D1，故正确； EF与平面BC1D1相交，平面EFG与平面BC1D1相交，故错误直线与平面平行的判定与性质(2016南通模拟)如图742所示，斜三棱柱ABCA1B1C1中，点D，D1分别为AC，A1C1上的点 (1)当等于何值时，BC1平面AB1D1； (2)若平面BC1D平面AB1D1，求的值图742 解(1)如图所示，取D1为线段A1C1的中点，此时1. 2分 连接A1B，交AB1于点O，连接OD1. 由棱柱的性质知，四边形A1ABB1为平行四边形， 点O为A1B的中点 在A1BC1中，点O，D1分别为A1B，A1C1的中点， OD1BC1. 4分 又OD1 平面AB1D1，BC1平面
10、AB1D1， BC1平面AB1D1. 当1时，BC1平面AB1D1. 6分 (2)由平面BC1D平面AB1D1，且平面A1BC1平面BC1DBC1，平面A1BC1平面AB1D1D1O得 BC1D1O， 8分 同理AD1DC1， ，又1， 1，即1. 12分 规律方法1.判断或证明线面平行的常用方法有： (1)利用反证法(线面平行的定义)； (2)利用线面平行的判定定理(a，b ，aba)； (3)利用面面平行的性质定理(，a a)； (4)利用面面平行的性质(，a，aa) 2利用判定定理判定线面平行，关键是找平面内与已知直线平行的直线常利用三角形的中位线、平行四边形的对边或过已知直线作一平面找
11、其交线变式训练2(2018西安模拟)如图743，在直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，底面ABCD为等腰梯形，ABCD，AB4，CD2，E，E1分别是棱AD，AA1的中点，设F是棱AB的中点，证明：直线EE1平面FCC1； 【导学号：00090249】图743 证明法一：取A1B1的中点为F1，连接FF1，C1F1， 由于FF1BB1CC1，所以F1平面FCC1，因此平面FCC1即为平面C1CFF1.连接A1D，F1C，由于A1F1綊D1C1綊CD，所以四边形A1DCF1为平行四边形，因此A1DF1C 又EE1A1D，得EE1F1C，而EE1平面FCC1，F1C 平面FCC1，故EE1平面FC
12、C1. 法二：因为F为AB的中点，CD2，AB4，ABCD，所以CD綊AF，因 此四边形AFCD为平行四边形，所以ADFC又CC1DD1，FCCC1C，FC 平面FCC1，CC1 平面FCC1，所以平面ADD1A1平面FCC1，又EE1 平面ADD1A1，所以EE1平面FCC1.平面与平面平行的判定与性质如图744所示，在三棱柱ABCA1B1C1中，E，F，G，H分别是AB，AC，A1B1，A1C1的中点，求证： 图744 (1)B，C，H，G四点共面； (2)平面EFA1平面BCHG. 证明(1)G，H分别是A1B1，A1C1的中点， GH是A1B1C1的中位线，GHB1C1. 2分 又B1
13、C1BC， GHBC， B，C，H，G四点共面. 5分 (2)在ABC中，E，F分别为AB，AC的中点， EFBC EF平面BCHG，BC 平面BCHG， EF平面BCHG. 7分 A1G綊EB， 四边形A1EBG是平行四边形， 则A1EGB A1E平面BCHG，GB 平面BCHG， A1E平面BCHG. 10分 A1EEFE， 平面EFA1平面BCHG. 12分母题探究在本例条件下，若点D为BC1的中点，求证：HD平面A1B1BA 证明如图所示，连接HD，A1B， D为BC1的中点，H为A1C1的中点， HDA1B 5分 又HD平面A1B1BA， A1B 平面A1B1BA， HD平面A1B1
14、BA 12分 规律方法1.判定面面平行的主要方法： (1)面面平行的判定定理 (2)线面垂直的性质(垂直于同一直线的两平面平行) 2面面平行的性质定理的作用： (1)判定线面平行；(2)判断线线平行 线线、线面、面面平行的相互转化是解决与平行有关的问题的指导思想解题时要看清题目的具体条件，选择正确的转化方向 易错警示：利用面面平行的判定定理证明两平面平行时，需要说明是一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行变式训练3(2016山东高考)在如图745所示的几何体中，D是AC的中点，EFDB图745 (1)已知ABBC，AEEC，求证：ACFB； (2)已知G，H分别是EC和FB的中点，求证：GH平面ABC 证明(1)因为EFDB， 所以EF与DB确定平面BDEF. 2分 如图，连接DE. 因为AEEC，D为AC的中点， 所以DEAC同理可得BDAC 又BDDED，所以AC平面BDEF. 4分 因为FB 平面BDEF，所以ACFB 5分 (2)如图，设FC的中点为I，连接GI，HI. 在CEF中，因为G是CE的中点， 所以GIEF. 8分 又EFDB，所以GIDB 在CFB中，因为H是FB的中点， 所以HIBC又HIGII， 所以平面GHI平面ABC 因为GH 平面GHI，所以GH平面ABC 12分
