1、运算放大器电路中固有噪声的分析与测量运算放大器电路中固有噪声的分析与测量(一)日期：2007-1-29来源：21IC中国电子网 作者：德州仪器公司高级应用工程师 Art Kay字体：大 中 小 第一部分：引言与统计数据评论 我们可将噪声定义为电子系统中任何不需要的信号。噪声会导致音频信号质量下降以及精确测量方面的错误。板级与系统级电子设计工程师希望能确定其设计方案在最差条件下的噪声到底有多大，并找到降低噪声的方法以及准确确认其设计方案可行性的测量技术。 噪声包括固有噪声及外部噪声，这两种基本类型的噪声均会影响电子电路的性能。外部噪声来自外部噪声源，典型例子包括数字开关、60Hz噪声以及电源开关
2、等。固有噪声由电路元件本身生成，最常见的例子包括宽带噪声、热噪声以及闪烁噪声等。本系列文章将介绍如何通过计算来预测电路的固有噪声大小，如何采用SPICE模拟技术，以及噪声测量技术等。 热噪声 热噪声由导体中电子的不规则运动而产生。由于运动会随温度的升高而加剧，因此热噪声的幅度会随温度的上升而提高。我们可将热噪声视为组件（如电阻器）电压的不规则变化。图1.1显示了标准示波器测得的一定时域中热噪声波形，我们从图中还可看到，如果从统计学的角度来分析随机信号的话，那么它可表现为高斯分布曲线。我们给出分布曲线的侧面图，从中可以看出它与时域信号之间的关系。 图1.1:在时间域中显示白噪声以及统计学分析结果
3、 热噪声信号所包含的功率与温度及带宽直接成正比。请注意，我们可简单应用功率方程式来表达电压与电阻之间的关系（见方程式1.1），根据该表达式，我们可以估算出电路均方根(RMS)噪声的大小。此外，它还说明了在低噪声电路中尽可能采用低电阻元件的重要性。 方程式1.1：热电压 方程式1.1中有一点值得重视的是，根据该表达式我们还可计算出RMS噪声电压。在大多数情况下，工程师希望了解“最差条件下噪声会有多严重？”换言之，他们非常关心峰峰值电压的情况。如果我们要将RMS热噪声电压转化为峰峰值噪声的话，那么必须记住的一点是：噪声会表现为高斯分布曲线。这里有一些单凭经验的方法即根据统计学上的关系，我们可将RM
4、S热噪声电压转化为峰峰值噪声。不过，在介绍有关方法前，我想先谈谈一些数学方面的基本原理。本文的重点在于介绍统计学方面的基本理论，随后几篇文章将讨论实际模拟电路的测量与分析事宜。概率密度函数： 构成正态分布函数的数学方程式称作“概率密度函数”（见方程式1.2）。根据一段时间内测得的噪声电压绘制出相应的柱状图，从该柱状图，我们可以大致看出函数所表达的形状。图1.2显示了测得的噪声柱状图，并给出了相应的概率密度函数。 方程式1.2:高斯曲线分布曲线对应的概率密度函数 图1.2:根据相应的概率密度函数所绘制的分布曲线概率分布函数： 概率分布函数是概率密度函数的积分。根据该函数，我们可了解某事件在给定的
5、时间段内发生的概率（见方程式1.3与图1.3）。举例来说，我们可以假定图1.4为噪声概率分布函数，该函数告诉我们，在任意时间点上，在-1V与+1V之间（即(-1,1)区间内）检测到噪声电压的概率为30%。 方程式1.3:概率分布函数 图1.3:概率密度函数与概率分布函数 概率分布函数对我们将RMS热噪声电压转化为峰峰值噪声非常有用。请注意，高斯分布曲线的尾部是无限延伸的，这就是说，任何噪声电压都是可能的。尽管理论上确实如此，但就实际情况而言，极大的瞬时噪声电压发生的可能性不大。举例来说，我们检测到噪声电压在-3与+3之间的概率为99.7%。换言之，噪声电压超出该范围的概率仅有0.3%。因此，我
6、们通常将噪声信号的峰值估算为3（即6）。请注意，也有些工程师将噪声的峰值估算为6.6。人们对到底如何估计这个数值没有定论。图1.4显示，68%的噪声都会不超过2。表1.1总结了测量噪声电压时标准偏差与概率之间的关系。 图1.4:标准偏差与峰值噪声间的关系 标准偏差数测量电压的概率2（即 ）68.3 %3（即 1.5）86.6 %4（即 2）95.4 %5（即 2.5）98.8 %6（即 3）99.7 %6.6（即 3.3）99.9 %表1.1:标准偏差数与测量概率百分比 因此，在一定的标准偏差条件下，我们可以根据关系式来估算峰值对峰值噪声。不过，总体来说，我们还是希望将RMS噪声电压转化为峰峰
7、值噪声。人们常常假定RMS与标准偏差相同，不过事实并非总是如此。这两个值只有在不存在DC元件（DC元件为平均值）的情况下才相同。就热噪声而言，由于没有DC元件，因此标准偏差与RMS值相等。我们在附录中举出了“标准偏差与RMS相等”和“标准偏差与RMS不相等”两个不同的示例。 文章开头就给出了计算RMS热噪声电压的方程式。还有一种计算RMS噪声电压的方法就是先测量大量离散点，然后采用统计学方法估算标准偏差。举例来说，如果我们从模数(A/D)转换器中获得大量采样，那么我们就能运用方程式1.4,1.5及1.6来计算噪声信号的平均偏差、标准偏差以及RMS值。附录中的示例1.3显示了在Basic程序中如
8、何运用上述方程式。我们在附录中还列出了一组更全面的统计方程供您参考。 方程式1.4、1.5、1.6：离散数据的统计方程 本文最后要介绍的概念是噪声信号的叠加。为了叠加两个噪声信号，我们必须先了解信号是否相关。来自两个不同信号源的噪声信号彼此不相关。举例来说，来自两个不同电阻器或两个不同运算放大器的噪声是彼此不相关的。不过，噪声源通过反馈机制会产生关联。什么是相关噪声源叠加呢？一个很好的实例就是带噪声消除功能的耳机，其可通过累加反向相关的噪声来消除噪声。方程式1.7显示了如何叠加相关噪声信号。请注意，就带噪声消除功能的耳机而言，相关系数C应等于-1。 方程式1.7:叠加随机相关信号 方程式1.8
9、:叠加随机不相关的信号 在大多数情况下，我们都要叠加不相关的噪声源（见方程式1.8）。在这种情况下叠加噪声，我们要通过勾股定理得到两个矢量噪声的和。图1.5显示了叠加噪声源的情况。我们通常可做近似地估计，如果一个噪声源强度为另一个的三分之一，较小的噪声源可忽略不计。 图1.5:噪声勾股定理本文总结与后续文章介绍： 在关于噪声的系列文章中，本文介绍了噪声的概念，谈论了噪声分析所需的一些统计学基本原理。本系列文章中都将用到这些基础知识。本系列文章的第二部分将介绍运算放大器的噪声模型，并给出计算总输出噪声的一些方法。 致谢： 特别感谢以下人员提供的技术信息： 德州仪器(TI)Burr-Brown产品
10、部 RodBurt，高级模拟IC设计经理 BruceTrump，线性产品经理 TimGreen，应用工程设计经理 NeilAlbaugh，高级应用工程师 参考书目： RobertV.Hogg与ElliotATanis共同编著的概率与统计推断，第三版，麦克米兰出版公司(MacmillanPublishingCo)出版； C.D.Motchenbacher与J.A.Connelly共同编著的低噪声电子系统设计，AWiley-IntersciencePublication出版。 关于作者： ArthurKay现任TI的高级应用工程师。他专门负责传感器信号调节器件的支持工作。他于1993年毕业于佐治亚
11、理工学院(GeorgiaInstituteofTechnology)并获得电子工程硕士学位。他曾在Burr-Brown与NorthropGrumman公司担任过半导体测试工程师。 运算放大器电路固有噪声的分析与测量(二)日期：2007-8-21来源：TI 作者：TI 高级应用工程师 Art Kay字体：大 中 小 第二部分：运算放大器噪声介绍 噪声的重要特性之一就是其频谱密度。电压噪声频谱密度是指每平方根赫兹的有效( RMS) 噪声电压（通常单位为nV/rt-Hz）。功率谱密度的单位为W/Hz。在上一篇文章中，我们了解到电阻的热噪声可用方程式 2.1 计算得出。该算式经过修改也可适用于频谱密度
12、。热噪声的重要特性之一就在于频谱密度图较平坦（也就是说所有频率的能量相同）。因此，热噪声有时也称作宽带噪声。运算放大器也存在宽带噪声。宽带噪声即为频谱密度图较平坦的噪声。 方程式 2.1：频谱密度经修改后的热噪声方程式图 2.1：运算放大器噪声频谱密度 除了宽带噪声之外，运算放大器常还有低频噪声区，该区的频谱密度图并不平坦。这种噪声称作 1/f 噪声，或闪烁噪声，或低频噪声。通常说来，1/f 噪声的功率谱以 1/f 的速率下降。这就是说，电压谱会以 1/f(1/2 ) 的速率下降。不过实际上，1/f 函数的指数会略有偏差。图 2.1 显示了典型运算放大器在 1/f 区及宽带区的频谱情况。请注意
13、，频谱密度图还显示了电流噪声情况（单位为 fA/rt-Hz）。 我们还应注意到另一点重要的情况，即 1/f 噪声还能用正态分布曲线表示，因此第一部分中介绍的数学原理仍然适用。图 2.2 显示了1/f 噪声的时域情况。请注意，本图的 X 轴单位为秒，随时间发生较慢变化是1/f 噪声的典型特征。图 2.2：时域所对应的 1/f 噪声及统计学分析结果 图 2.3 描述了运算放大器噪声的标准模型，其包括两个不相关的电流噪声源与一个电压噪声源，连接于运算放大器的输入端。我们可将电压噪声源视为随时间变化的输入偏移电压分量，而电流噪声源则可视为随时间变化的偏置电流分量。图 2.3：运算放大器的噪声模型运算放
14、大器噪声分析方法 运算放大器噪声分析方法是根据运放数据表上的数据计算出运放电路峰峰值输出噪声。在介绍有关方法的时候，我们所用的算式适用于最简单的运算放大器电路。就更复杂的电路而言，这些算式也有助于我们大致了解可预见的噪声输出情况。我们也可针对这些更复杂的电路提供较准确的计算公式，但其中涉及的数学计算将更为复杂。对更复杂的电路而言，或许我们最好应采用三步走的办法。首先，用算式进行粗略的估算；然后，采用 spice 仿真程序进行更准确的估算；最后通过测量来确认结果。 我们将以 TI OPA277 的简单非反向放大器为例来说明有关电路的情况（见图 2.4）。我们的目标是测定峰峰值输出噪声。为了实现这
15、一目的，我们应考虑运算放大器的电流噪声、电压噪声以及电阻热噪声。我们将根据产品说明书中的频谱密度曲线来确定上述噪声源的大小。此外，我们还要考虑电路增益与带宽问题。图 2.4：噪声分析电路示例 首先，我们应了解如何将噪声频谱密度曲线转换为噪声源。为了实现这一目的，我们需进行微积分运算。简单提醒一句，积分函数确定曲线下方的面积。图 2.5 显示，我们只须将长宽相乘（即矩形区域面积），便能获得常数函数的积分。这种转换频谱密度曲线为噪声源的关系比较简单。图 2.5：通过积分计算曲线下方面积 人们通常会说，只有将电压频谱密度曲线进行积分计算，才能得到总噪声值。事实上，我们必须对功率谱密度曲线进行积分计算
16、。该曲线实际反映的是电压或电流频谱密度的平方（请记住：P = V2/R 且 P=I2R）。图 2.6 显示了对电压频谱密度曲线进行积分计算所得的奇怪结果。图 2.7 显示，您可将功率谱密度进行积分计算，再通过求结果的平方根将其转换回电压。请注意，我们由此可获得合理结果。图 2.6：计算噪声的不正确方法图 2.7：计算噪声的正确方法 通过对电压与电流频谱的功率谱密度曲线进行积分计算，我们可得到运算放大器模型信号源的 RMS 幅度（图 2.3）。不过，频谱密度曲线将分布在 1/f 区与带低通滤波器的宽带区（见图 2.8）。如计算上述两个区域的总噪声，我们要采用微积分计算推导出的算式。再根据第一部分
17、所讨论的处理非相关信号源的方法，对上述两个计算的结果做和的平方根 (RSS) 运算，对应第一部分中提到的非相关信号源。 首先，我们要对带低通滤波器的宽带区域进行积分计算。理想情况下，曲线的低通滤波器部分是一条纵向直线，我们称之为砖墙式滤波器 (brick wall filter)。由于砖墙式滤波器情况下的曲线下方区域为矩形，因此这一区域的问题比较好解决，长乘宽即可。在实际情况下，我们不能实现砖墙式滤波器。不过，我们可用一组常量来将实际情况下的滤波器带宽转换为等效的砖墙式滤波器带宽，以满足噪声计算的需要。图 2.9 将理论砖墙式滤波器与一阶、二阶及三阶滤波器进行了对比。图 2.8：带滤波器的宽带
18、区图 2.9：砖墙式滤波器与实际滤波器相比较 我们可用方程式 2.2 用于转换实际滤波器或做砖墙式滤波器等效。表 2.1 列出了各阶滤波器的换算系数 (Kn)。举例来说，一阶滤波器带宽乘以 1.57 即为砖墙式滤波器带宽。调节后的带宽有时也称作噪声带宽。请注意，换算系数随着滤波器阶数的提升将越来越接近于1。换言之，滤波器阶数越高，就越接近于砖墙式滤波器。方程式 2.2：宽带区域上简单滤波器的噪声带宽表 2.1：砖墙式滤波器校正系数 既然我们有了将实际滤波器转换为砖墙式滤波器的算式，那么我们就能很方便地进行功率频谱的积分运算了。请记住，功率的积分运算为电压频谱的平方。我们需将积分结果进行平方根运
19、算转换回电压。方程式 2.3 即由此得出（见附录 2.1）。因此，根据产品说明书中的数据套用方程式 2.2 、方程式 2.3便可计算出宽带噪声。方程式 2.3：宽带噪声方程式 我们需记住，我们的目标是测定图 2.3 中噪声源 Vn 的幅度。该噪声源包括宽带噪声与 1/f 噪声。我们用方程式 2.2 与 2.3 可计算出宽带噪声。现在我们应计算 1/f 噪声，这就需求对噪声频率密度图 1/f 区域的功率频谱进行积分计算（如图 2.10所示）。我们可用方程式 2.4 和 2.5 获得有关积分结果。方程式 2.4 将 1/f 区的噪声测量结果归一化为 1Hz 时的噪声。某些情况下，我们可从图中直接读
20、出该数值，有时用方程式更方便求得（见图 2.11）。方程式2.5用归一化噪声、上部噪声带宽与下部噪声带宽来计算 1/f 噪声。附录 2.2 给出了整个演算过程。 图 2.10：1/f 区域方程式 2.4：频率为 1Hz 时的噪声 （归一化）图 2.11：两个 1/f 归一化示例方程式 2.5：1/f 噪声计算 在考虑 1/f 噪声时，我们必须选择低频截止点。这是因为 1/f 函数分母为零时无意义（即 1/0 无意义）。事实上，理论上 0 赫兹时噪声趋近于无穷。但我们应当考虑到，频率极低时，其相应的时间也非常长。举例来说，0.1Hz 对应于 10 秒，而 0.001Hz则对应于 1000 秒。对
21、极低的频率而言，对应的时间有可能为数年（如 10nHz 对应于 3 年）。频率间隔越大，积分计算所得的噪声就越大。不过我们也要记住，极低频噪声检测需要很长时间。我们在以后的文章中将更详细地探讨此问题。目前，我们暂且记住这一点，1/f 计算时通常用 0.1Hz 作为低频截止点。 既然我们已得到了宽带与 1/f 噪声的幅度，现在就用第一部分给出的无相关噪声源算式来叠加噪声源 （见如下方程式 2.6 与本系列文章的第一部分中的方程式 1.8）。方程式 2.6： 1/f 与宽带噪声叠加结果 工程师考虑分析方法时通常会担心，1/f 噪声与宽带噪声是否应在两个不同的区域进行积分计算。换言之，他们认为，由于
22、 1/f 噪声与宽带噪声相加后会超出 1/f 区域，从而出现错误。实际上，1/f 区域与宽带区域一样，都涵盖所有频率。我们必须记住，当噪声频谱显示在对数图上，1/f 区在降至宽带曲线以下后影响极小。两条曲线结合明显的唯一区域就在 1/f 半功率频点处。在此区域中，我们看到两区域结合部的情况与数学模型相同。图 2.12 显示了两区实际重叠的情况，并给出了相应的幅度。图 2.12：1/f 噪声区与宽带区重叠 现在，我们已得到了将噪声频谱密度曲线转换为噪声源所需的全部方程式。请注意，现在我们已推算出了电压噪声所需的方程式，不过相同的方法也可运用于电流噪声的计算。在本系列随后的文章中，我们将讨论用有关
23、方程式来解决运算放大器电流的噪声分析问题。本文总结与下一篇文章简介 在噪声系列文章中，本文介绍了运算放大器的噪声模型与噪声频谱密度曲线。此外，我们还介绍了基本的噪声计算方程式。本系列的第三部分将用实例说明实际电路中的噪声计算过程。致谢！特别感谢以下人员提供的技术意见TIBurr-Brown 产品部：Rod Bert，高级模拟 IC 设计经理Bruce Trump，线性产品经理Tim Green，应用工程设计经理Neil Albaugh，高级应用工程师参考书目Robert V. Hogg 与 Elliot A Tanis 共同编著的概率与统计推断，第三版，麦克米兰出版公司 (Macmillan
24、Publishing Co.)出版；C. D. Motchenbacher 与 J. A. Connelly 共同编著的低噪声电子系统设计，Wiley-Interscience Publication 出版。关于作者：Arthur Kay是 TI 的高级应用工程师。他专门负责传感器信号调节器件的支持工作。他于 1993 年毕业于佐治亚理工学院 (Georgia Institute of Technology)并获得电子工程硕士学位。他曾在 Burr-Brown与 Northrop Grumman 公司担任过半导体测试工程师。附录 2.1：附录 2.2：一阶滤波器“砖墙”校正系数的演算过程。运算
25、放大器电路固有噪声的分析与测量(三)日期：2007-8-21来源：TI 作者：TI 高级应用工程师 Art Kay字体：大 中 小 第三部分：电阻噪声与计算示例 在第二部分中，我们给出了将产品说明书上噪声频谱密度曲线转换为运算放大器噪声源模型的方法。在本部分中，我们将了解如何用该模型计算简单运算放大器电路的总输出噪声。总噪声参考输入 (RTI) 包含运算放大器电压源的噪声、运算放大器电流源的噪声以及电阻噪声等。上述噪声源相加，再乘以运算放大器的噪声增益，即可得出输出噪声。图 3.1 显示了不同噪声源及各噪声源相加再乘以噪声增益后的情况。 图 3.1：噪声源相结合噪声增益是指运算放大器电路对总噪
26、声参考输入 (RTI) 的增益。在某些情况下，这与信号增益并不相同。图 3.2 给出的实例显示了信号增益（1）与噪声增益（2）不同的情况。Vn 信号源是指不同噪声源的噪声影响。请注意，通常在工程设计中，我们会在非反向输入端将所有噪声源结合为单个的噪声源。我们的最终目标是计算出运算放大器电路的噪声参考输出 (RTO)。 图 3.2：噪声增益与信号增益方程式 3.1：简单运算放大器电路的噪声增益在上一篇文章中，我们了解到如何计算电压噪声输入，不过我们如何将电流噪声源转换为电压噪声源呢？一种 办法就是对每个电流源进行独立的节点分析，并用叠加法将结果求和。这时我们要注意，要用和的平方根 (RSS) 对
27、每个电流源的结果进行求和。通过方程式 3.2 和 3.3，我们可将简单运算放大器电路的电流噪声转换为等效电压噪声源。图 3.3 给出了有关图示。附录 3.1 给出了该电路的整个演算过程。 方程式 3.2与3.3：将简单运算放大器的电流噪声转换为电压噪声 (RTI) 图 3.3：将电流噪声转换为电压噪声（等效电路）我们还必须考虑的另一因素是运算放大器电路中电阻器的热电压噪声。我们可用节点分析法来独立分析电压源。我们可用叠加法与 RSS 添加法将结果相结合。通过方程式 3.4 与 3.5，我们可将所有热噪声源相结合，从而得到单个的噪声源参考输入。该噪声输入参考热噪声源表现为等效电阻。图 3.4 给
28、出了相关示图。附录 3.2 给出了该电路的整个演算过程。方程式 3.4与3.5：简单运算放大器电路的热噪声 RTI图 3.4：简单运算放大器电路的热噪声 RTI（等效电路）计算噪声的最后一步就是将所有噪声源相结合，再乘以噪声增益，从而计算出输出噪声。该均方根噪声乘以 6 通常用于估算峰值对峰值噪声。我们记得，在第一部分中，瞬时噪声测量结果小于均方根噪声乘以 6 的概率达 99.7%。根据方程式 3.6、3.7 及 3.8， 即可计算出输出噪声。方程式 3.6：所有噪声源 RTI 相加方程式 3.7：乘以噪声增益方程式 3.8：转换为峰值对峰值噪声计算实例现在，我们终于可以讨论实际情况了。有时，
29、许多工程师因为难以完成所需的大量计算工作而不能得出最终结果。实际上，我们可用模拟软件来执行部分繁琐的计算工作。不过，了解理论背景非常重要，因为这将帮助我们更好地了解噪声的原理。此外，我们还应在模拟电路前对数字进行简短分析，这样才能知道模拟结果是否准确。在第四部分中，我们将探讨如何用 SPICE 仿真器套件来进行相关分析。图 3.5 显示了用于本例分析的简单运算放大器的配置情况。请注意，本例所用的参数源于 OPA627 产品说明书，您可从 TI 网站下载该产品说明书 ()。图 3.5：电路实例分析要做的第一步就是测定电路的噪声增益与噪声带宽。运用方程式 3.2，可计算出噪声增益即：噪声增益 = Rf/R1 + 1 = 100k/1k + 1 = 101。信号带宽受到运算放大器的闭环带宽的影像。根据产品说明书中的单位增益带宽，我们可用方程式 3.9 来确定闭环带宽。图 3.6 显示了有关情况。方程式 3.9：简单非反向放大器的闭环带宽图 3.6
