1、勤径考研雷西儿数学难点总结精品文档17页大名鼎鼎的雷西儿，当年中国科大考了总分441.前面的话：这三篇总结文章，来自于我五一给学生的几堂总结课，当时没有做书面材料，后来才想到把它们整理成文。考虑到现在大多数人都还在进行第一轮，也就是基础阶段的复习，所以先把自己对高数知识点的总结奉上，希望对大家能有帮助。可能以后也会有关于线代和概率的总结。上册除了空间解析几何基本都涉及了，这是数一数二数三数四的共通内容。下册（一）是关于多元微积分和级数的，其中数二数四的就不用看级数了。下册（二）是关于线面积分的，数一专题。上册：函数（高等数学的主要研究对象）极限：数列的极限（特殊）函数的极限（一般）极限的本质是
2、通过已知某一个量（自变量）的变化趋势，去研究和探索另外一个量（因变量）的变化趋势由极限可以推得的一些性质：局部有界性、局部保号性应当注意到，由极限所得到的性质通常都是只在局部范围内成立在提出极限概念的时候并未涉及到函数在该点的具体情况，所以函数在某点的极限与函数在该点的取值并无必然联系连续：函数在某点的极限 等于 函数在该点的取值连续的本质：自变量无限接近，因变量无限接近导数的概念本质是函数增量与自变量增量的比值在自变量增量趋近于零时的极限，更简单的说法是变化率微分的概念：函数增量的线性主要部分，这个说法有两层意思，一、微分是一个线性近似，二、这个线性近似带来的误差是足够小的，实际上任何函数的
3、增量我们都可以线性关系去近似它，但是当误差不够小时，近似的程度就不够好，这时就不能说该函数可微分了不定积分：导数的逆运算什么样的函数有不定积分定积分：由具体例子引出，本质是先分割、再综合，其中分割的作用是把不规则的整体划作规则的许多个小的部分，然后再综合，最后求极限，当极限存在时，近似成为精确什么样的函数有定积分求不定积分（定积分）的若干典型方法：换元、分部，分部积分中考虑放到积分号后面的部分，不同类型的函数有不同的优先级别，按反对幂三指的顺序来记忆定积分的几何应用和物理应用高等数学里最重要的数学思想方法：微元法微分和导数的应用：判断函数的单调性和凹凸性微分中值定理，可从几何意义去加深理解泰勒
4、定理：本质是用多项式来逼近连续函数。要学好这部分内容，需要考虑两个问题：一、这些多项式的系数如何求？二、即使求出了这些多项式的系数，如何去评估这个多项式逼近连续函数的精确程度，即还需要求出误差（余项），当余项随着项数的增多趋向于零时，这种近似的精确度就是足够好的下册（一）：多元函数的微积分：将上册的一元函数微积分的概念拓展到多元函数最典型的是二元函数极限：二元函数与一元函数要注意的区别，二元函数中两点无限接近的方式有无限多种（一元函数只能沿直线接近），所以二元函数存在的要求更高，即自变量无论以任何方式接近于一定点，函数值都要有确定的变化趋势连续：二元函数和一元函数一样，同样是考虑在某点的极限和
5、在某点的函数值是否相等导数：上册中已经说过，导数反映的是函数在某点处的变化率（变化情况），在二元函数中，一点处函数的变化情况与从该点出发所选择的方向有关，有可能沿不同方向会有不同的变化率，这样引出方向导数的概念沿坐标轴方向的导数若存在，称之为偏导数通过研究发现，方向导数与偏导数存在一定关系，可用偏导数和所选定的方向来表示，即二元函数的两个偏导数已经足够表示清楚该函数在一点沿任意方向的变化情况高阶偏导数若连续，则求导次序可交换微分：微分是函数增量的线性主要部分，这一本质对一元函数或多元函数来说都一样。只不过若是二元函数，所选取的线性近似部分应该是两个方向自变量增量的线性组合，然后再考虑误差是否是
6、自变量增量的高阶无穷小，若是，则微分存在仅仅有偏导数存在，不能推出用线性关系近似表示函数增量后带来的误差足够小，即偏导数存在不一定有微分存在若偏导数存在，且连续，则微分一定存在极限、连续、偏导数和可微的关系在多元函数情形里比一元函数更为复杂极值：若函数在一点取极值，且在该点导数（偏导数）存在，则此导数（偏导数）必为零所以，函数在某点的极值情况，即函数在该点附近的函数增量的符号，由二阶微分的符号判断。对一元函数来说，二阶微分的符号就是二阶导数的符号，对二元函数来说，二阶微分的符号可由相应的二次型的正定或负定性判断。级数敛散性的判别思路：首先看通项是否趋于零，若不趋于零则发散。若通项趋于零，看是否
7、正项级数。若是正项级数，首先看能否利用比较判别法，注意等比级数和调和级数是常用来作比较的级数，若通项是连乘形式，考虑用比值判别法，若通项是乘方形式，考虑用根值判别法。若不是正项级数，取绝对值，考虑其是否绝对收敛，绝对收敛则必收敛。若绝对值不收敛，考察一般项，看是否交错级数，用莱布尼兹准则判断。若不是交错级数，只能通过最根本的方法判断，即看其前n项和是否有极限，具体问题具体分析。比较判别法是充分必要条件，比值和根值法只是充分条件，不是必要条件。函数项级数情况复杂，一般只研究幂级数。阿贝尔定理揭示了幂级数的重要性质：收敛区域存在一个收敛半径。所以对幂级数，关键在于求出收敛半径，而这可利用根值判别法
8、解决。逐项求导和逐项积分不改变幂级数除端点外的区域的敛散性，端点情况复杂，需具体分析。一个函数能展开成幂级数的条件是：存在任意阶导数。展开后的幂级数能收敛于原来函数的条件是：余项（误差）要随着项数的增加趋于零。这与泰勒展开中的结论一致。微分方程：不同种类的方程有不同的常见解法，但理解上并无难处。下册（二）定积分、二重积分、三重积分、第一类曲线积分、第一类曲面积分都可以概率为一种类型的积分，从物理意义上来理解是某个空间区域（直线段、平面区域、立体区域、曲线段、曲面区域）的质量，其中被积元可看作区域的微小单元，被积函数则是该微小单元的密度这些积分最终都是转化成定积分来计算第二类曲线积分的物理意义是
9、变力做功（或速度环量），第二类曲面积分的物理意义是流量在研究上述七类积分的过程中，发现其实被积函数都是空间位置点的函数，于是把这种以空间位置作为自变量的函数称为场函数场函数有标量场和向量场，一个向量场相当于三个标量场场函数在一点的变化情况由方向导数给出，而方向导数最大的方向，称为梯度方向。梯度是一个向量，任何方向的方向导数，都是梯度在这个方向上的投影，所以梯度的模是方向导数的最大值梯度方向是函数变化最快的方向，等位面方向是函数无变化的方向，这两者垂直梯度实际上一个场函数不均匀性的量度梯度运算把一个标量场变成向量场一条空间曲线在某点的切向量，便是该点处的曲线微元向量，有三个分量，它建立了第一类曲
10、线积分与第二类曲线积分的联系一张空间曲面在某点的法向量，便是该点处的曲面微元向量，有三个分量，它建立了第一类曲面积分和第二类曲面积分的联系物体在一点处的相对体积变化率由该点处的速度场决定，其值为速度场的散度散度运算把向量场变成标量场散度为零的场称为无源场高斯定理的物理意义：对散度在空间区域进行体积分，结果应该是这个空间区域的体积变化率，同时这种体积变化也可看成是在边界上的流量造成的，故两者应该相等。即高斯定理把一个速度场在边界上的积分与速度场的散度在该边界所围的闭区域上的体积分联系起来无源场的体积变化为零，这是容易理解的，相当于既无损失又无补充物体在一点处的旋转情况由该点处的速度场决定，其值为
11、速度场的旋度旋度运算把向量场变成向量场旋度为零的场称为无旋场斯托克斯定理的物理意义：对旋度在空间曲面进行第二类曲面积分，结果应该表示的是这个曲面的旋转快慢程度，同时这种旋转也可看成是边界上的速度环量造成的，故两者应该相等。即斯托克斯定理把一个速度场在边界上形成的环量与该边界所围的曲面的第二类曲面积分联系起来。该解释是从速度环量的角度出发得到的，比高斯定理要难，不强求掌握。无旋场的速度环量为零，这相当于一个区域没有旋转效应，这是容易理解的格林定理是斯托克斯定理的平面情形进一步考察无旋场的性质旋度为零，相当于对旋度作的第二类曲面积分为零即等号后边的第二类曲线积分为零，相当于该力场围绕一闭合空间曲线
12、作做的功为零即从该闭合曲线上任选一点出发，积分与路径无关相当于所得到的曲线积分结果只于终点的选择有关，与路径无关，可看成终点的函数，这是一个场函数（空间位置的函数），称为势函数所得的势函数的梯度正好就是原来的力场因为力场函数是连续的，所以势函数有全微分简单的概括起来就是：无旋场积分与路径无关梯度场有势场全微分要注意以上这些说法之间的等价性三定理（Gauss Stokes Green）的向量形式和分量形式都要熟悉线性代数知识点框架及习题解读注：本篇可看作高等数学难点总结及习题解读的姊妹篇 呵呵再次强调下，本人所做的习题解读分别针对：同济五版线代 同济五版高数浙大版的概率等有时间再写首先是知识框架
13、：线性代数知识点框架（一）线性代数的学习切入点：线性方程组。换言之，可以把线性代数看作是在研究线性方程组这一对象的过程中建立起来的学科。线性方程组的特点：方程是未知数的一次齐次式，方程组的数目s和未知数的个数n可以相同，也可以不同。关于线性方程组的解，有三个问题值得讨论：（1）、方程组是否有解，即解的存在性问题；（2）、方程组如何求解，有多少个解；（3）、方程组有不止一个解时，这些不同的解之间有无内在联系，即解的结构问题。高斯消元法，最基础和最直接的求解线性方程组的方法，其中涉及到三种对方程的同解变换：（1）、把某个方程的k倍加到另外一个方程上去；（2）、交换某两个方程的位置；（3）、用某个常
14、数k乘以某个方程。我们把这三种变换统称为线性方程组的初等变换。任意的线性方程组都可以通过初等变换化为阶梯形方程组。由具体例子可看出，化为阶梯形方程组后，就可以依次解出每个未知数的值，从而求得方程组的解。对方程组的解起决定性作用的是未知数的系数及其相对位置，所以可以把方程组的所有系数及常数项按原来的位置提取出来，形成一张表，通过研究这张表，就可以判断解的情况。我们把这样一张由若干个数按某种方式构成的表称为矩阵。可以用矩阵的形式来表示一个线性方程组，这至少在书写和表达上都更加简洁。系数矩阵和增广矩阵。高斯消元法中对线性方程组的初等变换，就对应的是矩阵的初等行变换。阶梯形方程组，对应的是阶梯形矩阵。
15、换言之，任意的线性方程组，都可以通过对其增广矩阵做初等行变换化为阶梯形矩阵，求得解。阶梯形矩阵的特点：左下方的元素全为零，每一行的第一个不为零的元素称为该行的主元。对不同的线性方程组的具体求解结果进行归纳总结（有唯一解、无解、有无穷多解），再经过严格证明，可得到关于线性方程组解的判别定理：首先是通过初等变换将方程组化为阶梯形，若得到的阶梯形方程组中出现0=d这一项，则方程组无解，若未出现0=d一项，则方程组有解；在方程组有解的情况下，若阶梯形的非零行数目r等于未知量数目n，方程组有唯一解，若rn，则方程组有无穷多解。在利用初等变换得到阶梯型后，还可进一步得到最简形，使用最简形，最简形的特点是主
16、元上方的元素也全为零，这对于求解未知量的值更加方便，但代价是之前需要经过更多的初等变换。在求解过程中，选择阶梯形还是最简形，取决于个人习惯。常数项全为零的线性方程称为齐次方程组，齐次方程组必有零解。齐次方程组的方程组个数若小于未知量个数，则方程组一定有非零解。利用高斯消元法和解的判别定理，以及能够回答前述的基本问题（1）解的存在性问题和（2）如何求解的问题，这是以线性方程组为出发点建立起来的最基本理论。对于n个方程n个未知数的特殊情形，我们发现可以利用系数的某种组合来表示其解，这种按特定规则表示的系数组合称为一个线性方程组（或矩阵）的行列式。行列式的特点：有n!项，每项的符号由角标排列的逆序数
17、决定，是一个数。通过对行列式进行研究，得到了行列式具有的一些性质（如交换某两行其值反号、有两行对应成比例其值为零、可按行展开等等），这些性质都有助于我们更方便的计算行列式。用系数行列式可以判断n个方程的n元线性方程组的解的情况，这就是克莱姆法则。总而言之，可把行列式看作是为了研究方程数目与未知量数目相等的特殊情形时引出的一部分内容。线性代数知识点框架（二）在利用高斯消元法求解线性方程组的过程中，涉及到一种重要的运算，即把某一行的倍数加到另一行上，也就是说，为了研究从线性方程组的系数和常数项判断它有没有解，有多少解的问题，需要定义这样的运算，这提示我们可以把问题转为直接研究这种对n元有序数组的数
18、量乘法和加法运算。数域上的n元有序数组称为n维向量。设向量a=(a1,a2,.,an)，称ai是a的第i个分量。n元有序数组写成一行，称为行向量，同时它也可以写为一列，称为列向量。要注意的是，行向量和列向量没有本质区别，只是元素的写法不同。矩阵与向量通过行向量组和列向量组相联系。对给定的向量组，可以定义它的一个线性组合。线性表出定义的是一个向量和另外一组向量之间的相互关系。利用矩阵的列向量组，我们可以把一个线性方程组有没有解的问题转化为一个向量能否由另外一组向量线性表出的问题。同时要注意这个结论的双向作用。从简单例子（如几何空间中的三个向量）可以看到，如果一个向量a1能由另外两个向量a2、a3
19、线性表出，则这三个向量共面，反之则不共面。为了研究向量个数更多时的类似情况，我们把上述两种对向量组的描述进行推广，便可得到线性相关和线性无关的定义。通过一些简单例子体会线性相关和线性无关（零向量一定线性无关、单个非零向量线性无关、单位向量组线性无关等等）。从多个角度（线性组合角度、线性表出角度、齐次线性方程组角度）体会线性相关和线性无关的本质。部分组线性相关，整个向量组线性相关。向量组线性无关，延伸组线性无关。回到线性方程组的解的问题，即一个向量b在什么情况下能由另一个向量组a1,a2,.,an线性表出？如果这个向量组本身是线性无关的，可通过分析立即得到答案：b, a1, a2, ., an线
20、性相关。如果这个向量组本身是线性相关的，则需进一步探讨。任意一个向量组，都可以通过依次减少这个向量组中向量的个数找到它的一个部分组，这个部分组的特点是：本身线性无关，从向量组的其余向量中任取一个进去，得到的新的向量组都线性相关，我们把这种部分组称作一个向量组的极大线性无关组。如果一个向量组A中的每个向量都能被另一个向量组B线性表出，则称A能被B线性表出。如果A和B能互相线性表出，称A和B等价。一个向量组可能又不止一个极大线性无关组，但可以确定的是，向量组和它的极大线性无关组等价，同时由等价的传递性可知，任意两个极大线性无关组等价。注意到一个重要事实：一个线性无关的向量组不能被个数比它更少的向量
21、组线性表出。这是不难理解的，例如不共面的三个向量（对应线性无关）的确不可能由平面内的两个向量组成的向量组线性表出。一个向量组的任意两个极大线性无关组所含的向量个数相等，我们将这个数目r称为向量组的秩。向量线性无关的充分必要条件是它的秩等于它所含向量的数目。等价的向量组有相同的秩。有了秩的概念以后，我们可以把线性相关的向量组用它的极大线性无关组来替换掉，从而得到线性方程组的有解的充分必要条件：若系数矩阵的列向量组的秩和增广矩阵的列向量组的秩相等，则有解，若不等，则无解。向量组的秩是一个自然数，由这个自然数就可以判断向量组是线性相关还是线性无关，由此可见，秩是一个非常深刻而重要的概念，故有必要进一
22、步研究向量组的秩的计算方法。线性代数知识点框架（四）在之前研究线性方程组的解的过程当中，注意到矩阵及其秩有着重要的地位和应用，故还有必要对矩阵及其运算进行专门探讨。矩阵的加法和数乘，与向量的运算类同。矩阵的另外一个重要应用：线性变换（最典型例子是旋转变换）。即可以把一个矩阵看作是一种线性变换在数学上的表述。矩阵的乘法，反映的是线性变换的叠加。如矩阵A对应的是旋转一个角度a，矩阵B对应的是旋转一个角度b，则矩阵AB对应的是旋转一个角度a+b。矩阵乘法的特点：若C=AB，则C的第i行、第j列的元素是A的第i行与B的第j列的元素对应乘积之和；A的列数要和B的行数相同；C的行数是A的行数，列数是B的列
23、数。需要主义的是矩阵乘法不满足交换律，满足结合律。利用矩阵乘积的写法，线性方程组可更简单的表示为：Ax=b。对于C=AB，还可作如下分析：将左边的矩阵A写成列向量组的形式，即意味着C的列向量组能由A的列向量组表示，从而推知C的列秩小于等于A的列秩；将右边的矩阵B写成行向量组的形式，即意味着C的行向量组能由B的行向量组表示，从而推知C的行秩小于等于B的行秩，再考虑到矩阵的行秩等于列秩等于矩阵的秩，最终可得到结论，C的秩小于等于A的秩，也小于等于B的秩，即矩阵乘积的秩总不超过任一个因子的秩。关于矩阵乘积的另外一个重要结论：矩阵乘积的行列式等于各因子的行列式的乘积。一些特殊的矩阵：单位阵、对角阵、初
24、等矩阵。尤其要注意，初等矩阵是单位阵经过一次初等变换得到的矩阵。每一个初等矩阵对应一个初等变换，因为左乘的形式为PA（P为初等矩阵），将A写成行向量组的形式，PA意味着对A做了一次初等行变换；同理，AP意味着对A做了一次初等列变换，故左乘对应行变换，右乘对应列变换。若AB=E，则称A为可逆矩阵，B是A的逆阵，同样，这时的B也是可逆矩阵，注意可逆矩阵一定是方阵。第一种求逆阵的方法：伴随阵。这种方法的理论依据是行列式的按行（列）展开。矩阵可逆，行列式不为零，行（列）向量组线性无关，满秩，要注意这些结论之间的充分必要性。单位阵和初等矩阵都是可逆的。若矩阵可逆，则一定可以通过初等变换化为单位阵，这是不
25、难理解的，因为初等矩阵满秩，故最后化成的阶梯型（最简形）中非零行数目等于行数，主元数目等于列数，这即是单位阵。进一步，既然可逆矩阵可以通过初等变换化为单位阵，而初等变换对应的是初等矩阵，即意味着：可逆矩阵可以通过左（右）乘一系列初等矩阵化为单位阵，换言之可逆矩阵可看作是一系列初等矩阵的乘积，因为单位阵在乘积中可略去。可逆矩阵作为因子不会改变被乘（无论左乘右乘）的矩阵的秩。由于可逆矩阵可以看作是一系列初等矩阵的乘积，可以想象，同样的这一系列初等矩阵作用在单位阵上，结果是将这个单位阵变为原来矩阵的逆阵，由此引出求逆阵的第二种方法：初等变换。需要注意的是这个过程中不能混用行列变换，且同样是左乘对应行
26、变换，右乘对应列变换。矩阵分块，即可把矩阵中的某些行和列的元素看作一个整体，对这些被看作是整体的对象构成的新的矩阵，运算法则仍然适用。将矩阵看成一些列行向量组或列向量组的形式，实际也就是一种最常见的对矩阵进行分块的方式。时隔一年，总算把特征值特征向量以及二次型部分给大家补上了：）还是那句话，个人水平有限，加上不同人的不同的思维习惯，所以只能说我把自己的思路提供出来给大家作为参考，希望能起到点提纲挈领的作用吧。说实话，写最后这部分时，还是感觉到有些压力，最主要怕写出来不如前四章那样让大家满意，呵呵，不过无论如何，我已经尽力了，线代的知识框架总结也算是形成了一个完整的篇章，至少有始有终吧。最近一段
27、时间课题任务比较重，可能要过个把月才有空把高数部分重新修订了。最后一个小说明，因为这个系列文章的重点是挖掘、梳理各知识点之间的相互联系和脉络，所以内容上并没有全盘覆盖课本，而是有所侧重，打个比方，相当于是勾勒出的一个线性代数的基本框架，那么建议大家在此基础上多开阔思路，通过发散思维把框架之外的剩余部分囊括到自己的脑海中来：）线性代数知识点框架（五）由矩阵乘法的特点可知，计算一个矩阵A的n次方，相对于数乘运算来说要繁琐得多。我们注意到，如果存在可逆矩阵P和对角矩阵，使得A=P*P逆，那么有：An=（P*P逆）n=（P*P逆）（P*P逆）（P*P逆）=P*n*P逆由于对角矩阵的乘方容易计算，从而问
28、题得到大幅简化。对矩阵A、B来说，如果存在着可逆矩阵P，使得A=P *B*P逆，我们称A与B是相似的。特别地，如果A与对角矩阵相似，则称A可对角化。由此可见，如果矩阵A可对角化，那么An的计算将变得简单许多。故可把相似的说法理解为一个在寻找矩阵乘方简便运算的过程中提出来的概念。相似的矩阵有许多共同的性质，如有相同的秩和相同的行列式值，相似的矩阵或者都可逆，或者都不可逆，等等。设矩阵A相似于对角矩阵，那么：A=P*P逆 AP=P，其中P为可逆矩阵 A*（a1, a2, , an）=（a1, a2, , an）*，其中a1, a2, , an分别为可逆矩阵P的列向量，1, 2, , n分别为对角矩
29、阵的主对角线上元素 A*a1=1*a1，A*a2=2*a2，A*an=n*an也就是说，矩阵A能对角化的关键，在于找到n个常数1, 2, , n和n个线性无关的向量a1, a2, , an（因为这些向量构成的矩阵可逆，这也决定了零向量不是特征向量），使得A*ai=i*ai（i=1，2，3，n）。我们把满足条件A*ai=i*ai的i称为矩阵A的特征值，ai称为矩阵A对应特征值i的特征向量。换句话说，一个矩阵能够相似于对角矩阵的充分必要条件是：存在n个线性无关的特征向量。接下来的问题是如何求矩阵的特征值和特征向量？一个方案是从定义A*ai=i*ai出发，直接寻找满足这样要求的i 和ai，但这一般是
30、不容易做到的，故还有必要去建立一种更为普遍的方法。设A*ai=i*ai（A-i*E）*ai=0 对i来说，ai是齐次线性方程组（A-i*E）*X=0的一个非零解（因为ai构成的向量组线性无关） 方程组的系数行列式det（A-i*E）=0由此可见，每一个特征值i都是多项式det（A-*E）在指定数域（一般是实数域）上的根，我们称这个多项式为矩阵A的特征多项式，不难验证，它是一个的n次多项式。依据特征方程det（A-*E）=0，即可求出矩阵A的全部特征值。对矩阵A的每个特征值i，求齐次线性方程组（A-i*E）*X=0的解，得到的全部非零解（一般可用基础解系表示）就是A的属于特征值i的全部特征向量。
31、由此可得到两点启示：对同一个特征值来说，特征向量不唯一；对同一特征值来说，特征向量的线性组合仍为特征向量。相似的矩阵有相同的特征多项式和特征值，但有相同特征多项式的两个矩阵不一定相似。相似的矩阵有相同的秩，故一个可对角化矩阵的非零特征值的数目即为其秩。在求出矩阵的全部特征值和全部特征向量以后，剩下的问题就是判断这些所有的特征向量中有没有n个是线性无关的？如果有，意味着矩阵可对角化，如果没有，则矩阵不可对角化。对一个矩阵A来说，考虑到其n个特征值可能相同也可能不同，故最一般的情况应该是把A的这n个特征值分为m组，分别为1, 2, , m，每组的个数分别为j1，j2，jm（注意有j1+j2+jm=n），对每个
