1、步步高大一轮复习讲义数学25二次函数2.5二次函数1二次函数的定义与解析式(1)二次函数的定义形如：f(x)ax2bxc (a0)的函数叫做二次函数(2)二次函数解析式的三种形式一般式：f(x)_.顶点式：f(x)_.零点式：f(x)_.2二次函数的图像和性质图像函数性质a0定义域xR(个别题目有限制的，由解析式确定)值域a0a0y，)y(，奇偶性b0时为偶函数，b0时既非奇函数也非偶函数a0a0时，图像与x轴有两个交点M1(x1,0)、M2(x2,0)，|M1M2|x1x2|.难点正本疑点清源1求二次函数解析式的方法：待定系数法根据所给条件的特征，可选择一般式、顶点式或零点式中的一种来求已知
2、三个点的坐标时，宜用一般式已知二次函数的顶点坐标或与对称轴有关或与最大(小)值有关时，常使用顶点式已知二次函数与x轴有两个交点，且横坐标已知时，选用零点式求f(x)更方便2二次函数对应的一元二次方程的区间根的分布讨论二次函数相应的二次方程的区间根的分布情况一般需从三方面考虑：判别式；区间端点的函数值的符号；对称轴与区间的相对位置在讨论过程中，注意应用数形结合的思想1若二次函数f(x)ax2bx2满足f(x1)f(x2)，则f(x1x2)_.2(课本改编题)已知函数yx22x3在闭区间0，m上有最大值3，最小值2，则m的取值范围为_3若函数yx2(a2)x3，xa，b的图像关于直线x1对称，则b
3、_.4已知函数f(x)x22(a1)x2在区间(，3上是减函数，则实数a的取值范围为_5若方程x22mx40的两根满足一根大于1，一根小于1，则m的取值范围是() A. B. C(，2)(2，) D. 题型一求二次函数的解析式例1已知二次函数f(x)满足f(2)1，f(1)1，且f(x)的最大值是8，试确定此二次函数探究提高二次函数的解析式有三种形式：(1)一般式：f(x)ax2bxc (a0)；(2)顶点式：f(x)a(xh)2k (a0)；(3)两根式：f(x)a(xx1)(xx2)(a0)已知函数的类型(模型)，求其解析式，用待定系数法，根据题设恰当选用二次函数解析式的形式，可使解法简捷
4、 设f(x)是定义在R上的偶函数，当0x2时，yx，当x2时，yf(x)的图像是顶点为P(3,4)，且过点A(2,2)的抛物线的一部分(1)求函数f(x)在(，2)上的解析式；(2)在下面的直角坐标系中直接画出函数f(x)的草图；(3)写出函数f(x)的值域题型二二次函数的图像与性质例2已知函数f(x)x22ax3，x4,6(1)当a2时，求f(x)的最值；(2)求实数a的取值范围，使yf(x)在区间4,6上是单调函数；(3)当a1时，求f(|x|)的单调区间探究提高(1)二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型：轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动，不论哪种类型，解决的关键是考查对称轴与区间的关
5、系，当含有参数时，要依据对称轴与区间的关系进行分类讨论；(2)二次函数的单调性问题则主要依据二次函数图像的对称轴进行分析讨论求解 已知函数f(x)4x24ax4aa2在区间0,1内有一个最大值5，求a的值题型三二次函数的综合应用例3若二次函数f(x)ax2bxc (a0)满足f(x1)f(x)2x，且f(0)1.(1)求f(x)的解析式；(2)若在区间1,1上，不等式f(x)2xm恒成立，求实数m的取值范围探究提高二次函数、二次方程与二次不等式统称“三个二次”，它们常有机结合在一起，而二次函数又是“三个二次”的核心，通过二次函数的图像贯穿为一体因此，有关二次函数的问题，数形结合，密切联系图像是
6、探求解题思路的有效方法用函数思想研究方程、不等式(尤其是恒成立)问题是高考命题的热点 已知函数f(x)x2mxn的图像过点(1,3)，且f(1x)f(1x)对任意实数都成立，函数yg(x)与yf(x)的图像关于原点对称(1)求f(x)与g(x)的解析式；(2)若F(x)g(x)f(x)在(1,1上是增函数，求实数的取值范围2.分类讨论在二次函数中的应用试题：(13分)(2011济南模拟)设a为实数，函数f(x)2x2(xa)|xa|.(1)若f(0)1，求a的取值范围；(2)求f(x)的最小值；(3)设函数h(x)f(x)，x(a，)，直接写出(不需给出演算步骤)不等式h(x)1的解集审题视角
7、(1)求a的取值范围，是寻求关于a的不等式，解不等式即可(2)求f(x)的最小值，由于f(x)可化为分段函数，分段函数的最值分段求，然后综合在一起(3)对a讨论时，要找到恰当的分类标准规范解答解(1)因为f(0)a|a|1，所以a0，即a0，由a21知a1，因此，a的取值范围为(，1 3分(2)记f(x)的最小值为g(a)，则有f(x)2x2(xa)|xa| 5分()当a0时，f(a)2a2，由知f(x)2a2，此时g(a)2a2. 7分()当aa，则由知f(x)a2.若xa，由知f(x)2a2a2.此时g(a)a2，综上，得g(a). 10分(3)()当a时，解集为(a，)；()当a时，解集
8、为；()当a时，解集为. 13分批阅笔记分类讨论的思想是高考重点考查的数学思想方法之一本题充分体现了分类讨论的思想方法在解答本题时有两点容易造成失分：一是求实数a的值时，讨论的过程中没注意a自身的取值范围，易出错；二是求函数最值时，分类讨论的结果不能写在一起，不能得出最后的结论除此外，解决函数问题时，以下几点容易造成失分：1含绝对值问题，去绝对值符号，易出现计算错误；2分段函数求最值时要分段求，最后写在一起时，没有比较大小或不会比较出大小关系；3解一元二次不等式时，不能与一元二次函数、一元二次方程联系在一起，思路受阻.方法与技巧1数形结合是讨论二次函数问题的基本方法特别是涉及二次方程、二次不等
9、式的时候常常结合图形寻找思路2含字母系数的二次函数问题经常使用的方法是分类讨论比如讨论二次函数的对称轴与给定区间的位置关系，又例如涉及二次不等式需讨论根的大小等3关于二次函数yf(x)对称轴的判断方法(1)对于二次函数yf(x)对定义域内所有x，都有f(x1)f(x2)，那么函数yf(x)图像的对称轴方程为x.(2)对于二次函数yf(x)对定义域内所有x，都有f(ax)f(ax)成立，那么函数yf(x)图像的对称轴方程为xa(a为常数)(3)对于二次函数yf(x)对定义域内所有x，都有f(x2a)f(x)，那么函数yf(x)图像的对称轴方程为xa(a为常数)注意：(2)(3)中，f(ax)f(
10、ax)与f(x2a)f(x)是等价的(4)利用配方法求二次函数yax2bxc (a0)对称轴方程为x；(5)利用方程根法求对称轴方程若二次函数yf(x)对应方程f(x)0的两根为x1、x2，那么函数yf(x)图像的对称轴方程为x.失误与防范1求二次函数的单调区间时要经过配方法，要熟练准确利用配方法2对于函数yax2bxc要认为它是二次函数，就必须认定a0，当题目条件中未说明a0时，就要讨论a0和a0两种情况3对于二次函数yax2bxc (a0)给定了定义域为一个区间k1，k2时，利用配方法求函数的最值是极其危险的，一般要讨论函数图像的对称轴在区间外、内的情况，有时要讨论下列四种情况：k1；k1
11、；0，二次函数f(x)ax2bxc的图像可能是 ()2(2010四川)函数f(x)x2mx1的图像关于直线x1对称的充要条件是 () Am2 Bm2Cm1 Dm13已知函数f(x)ax2(bc)x1 (a0)是偶函数，其定义域为ac，b，则点(a，b)的轨迹是 ()A线段 B直线的一部分C点 D圆锥曲线二、填空题4二次函数的图像过点(0,1)，对称轴为x2，最小值为1，则它的解析式为_5若函数ymx2x5在2，)上是增函数，则m的取值范围是_6若函数f(x)axb (a0)的一个零点是1，则函数g(x)bx2ax的零点是_三、解答题7是否存在实数a，使函数f(x)x22axa的定义域为1,1时
12、，值域为2,2？若存在，求a的值；若不存在，说明理由8已知二次函数f(x)ax2bx (a，b为常数，且a0)，满足条件f(1x)f(1x)，且方程f(x)x有等根(1)求f(x)的解析式；(2)是否存在实数m、n (m B. a Da0，12，则实数m的取值范围是_.5若方程x211x30a0的两根均大于5，则实数a的取值范围是_6已知f(x)ax2bx3ab是偶函数，且其定义域为a1,2a，则yf(x)的值域_7已知函数f(x)的自变量的取值区间为A，若其值域也为A，则称区间A为f(x)的保值区间函数f(x)x2形如n，) (n(0，)的保值区间是_三、解答题8已知关于x的二次函数f(x)
13、x2(2t1)x12t.(1)求证：对于任意tR，方程f(x)1必有实数根；(2)若t2时，f(x)2x212x14.当x2.又f(x)为偶函数，f(x)f(x)2(x)212x14，即f(x)2x212x14.函数f(x)在(，2)上的解析式为f(x)2x212x14.(2)函数f(x)的图像如图：(3)由图像可知，函数f(x)的值域为(，4例2解(1)当a2时，f(x)x24x3(x2)21，由于x4,6，f(x)在4,2上单调递减，在2,6上单调递增，f(x)的最小值是f(2)1，又f(4)35，f(6)15，故f(x)的最大值是35.(2)由于函数f(x)的图像开口向上，对称轴是xa，
14、所以要使f(x)在4,6上是单调函数，应有a4或a6，即a6或a4.(3)当a1时，f(x)x22x3，f(|x|)x22|x|3，此时定义域为x6,6，且f(x)，f(|x|)的单调递增区间是(0,6，单调递减区间是6,0变式训练2解f(x)424a，对称轴为x，顶点为.当1，即a2时，f(x)在区间0,1上递增ymaxf(1)4a2.令4a25，a12(舍去)当01，即0a2xm等价于x2x12xm，即x23x1m0，要使此不等式在1,1上恒成立，只需使函数g(x)x23x1m在1,1上的最小值大于0即可g(x)x23x1m在1,1上单调递减，g(x)ming(1)m1，由m10得，m1.
15、因此满足条件的实数m的取值范围是(，1)变式训练3解(1)f(x)x2mxn，f(1x)(1x)2m(1x)nx22x1mxnmx2(m2)xnm1f(1x)(1x)2m(1x)nx22x1mxmnx2(2m)xnm1又f(1x)f(1x)，m22m，即m2.又f(x)的图像过点(1,3)，312mn，即mn2，n0，f(x)x22x，又yg(x)与yf(x)的图像关于原点对称，g(x)(x)22(x)，g(x)x22x.(2)F(x)g(x)f(x)(1)x2(22)x，当10时，F(x)的对称轴为x，又F(x)在(1,1上是增函数或.1或10.当10，即1时，F(x)4x显然在(1,1上是
16、增函数综上所述，的取值范围为(，0课时规范训练A组1D2.A3.B4.y(x2)2150m6.0或17解f(x)(xa)2aa2.当a1时，f(x)在1,1上为增函数，a1(舍去)；当1a0时，a1；当01时，f(x)在1,1上为减函数，a不存在综上可得a1.8解(1)f(x)满足f(1x)f(1x)，f(x)的图像关于直线x1对称而二次函数f(x)的对称轴为x，1.又f(x)x有等根，即ax2(b1)x0有等根，(b1)20.由得b1，a.f(x)x2x.(2)f(x)x2x(x1)2.如果存在满足要求的m，n，则必需3n，n.从而mn1，而x1，f(x)单调递增，可解得m4，n0满足要求存在m4，n0满足要求B组1D2.B3.C4. 50a6.7.1，)8证明(1)由于f(x)x2(2t1)x12t.f(x)1(x2t)(x1)0， (*)x1是方程(*)的根，即f(1)1.因此x1是f(x)1的实根，即f(x)必有实根(2)当t0.f(0)12t20.又函数f(x)的图像连续不间断因此f(x)0在区间(1,0)及上各有一个实根
