1、4大学物理电子教案角动量守恒与刚体的定轴转动docx第四章角动量守恒与刚体的定轴转动(Law of conservation of angular and fixed-axis rotation of rigid body) 4-1 角动量与角动量守恒定律(angular momentum and law of conservation of angula一、角动量(angular momentum)1引言(foreword)大量天体观测显示厂-一位矢 m - -质量 速度0;，険角2 定义(definition)L = rx p = rx(/77v)大小：L = rmvsin 0方向：rx(
2、mv)右手螺旋法则决泄二、质点的角动量定理及其守 tn (theorem of angular momentum of particle and its conservation)1、微分式(form of differential)(1)形式(2)物理意义角动量对时间的导数=质点受到的力矩2 积分形式(form of integral)(1)形式积分上式，得jMdt = jdL = L-L(2)物理意义质点获得的冲量矩Jmdl =角动量的变化L - ()3、特例(cpecial case)(1)形式当历=0时，有-=0,即7二石(2)物理意义当质点不受外力矩或合外力矩为零(如有心力作用)时，
3、质点的角动量 前后不改变。三、质点系的角动量定理1、微分形式(form of differential)(1) 形式角动量 1 =远=X（A/ i内 + M i夕卜）对于i J 一对内力矩 . .M $外=r（ x 耳 + r. x Fj由于可=可，所以瓦=f .=Ar x Fi=0, dL 故 =M外dt(2) 物理意义质点系角动量的导数二它所受到的合外力矩3、积分形式(form of integral)(1) 形式Mdt = dL = L-L(2)物理意义质点系角动量的增量二它所获得的冲量矩四、质点系的角动量守恒1、条件(condition) 财外=02 结果(result) , .AL
4、=厶？一厶=0 orL = L23 产生(produce)(1)大量观察(综合)结果(2)将条件代入质点系动量定理也可作特殊例导出。当质点系所受合外力矩为零时，则质点系的角动量不变(守恒)五、刚体的角动量及其守恒律(angular momentum of rigid body and its conservation) 将刚体划分成无限多个任意小部分，刚可以看成质点系。因此质点系的角动量概念及变化规律适用于刚体。1、角动量(angular momerHum)L =工斥 x mi vi = co = I co转动惯量2、角动量定理(theorem of angular momentum)（1）
5、微分式7 T 一= M,Mdt = dL dt（2） 积分式Mdt=d L = L = I co I co(3 守恒泄律(law of conservation)(1)条件M sf = 0(2)结果厶=厶二常量六、随堂练习（practice on the class）1、 注意（take note）（1） 原则处理质点系，刚体的相关角动量问题的原则是先（考虑）守恒，后（考 虑）定理，再牛顿。（2） 方法1选系统，看条件；2查状态，算参量；3用定（理）律，列方程。2、 例子（example）例42 工程上常用摩（须见书：P67）1、 系统：E轮A, B及啮合器C条件：外力：两重力 Ag,mBg两
6、轴反力心凡外力矩：为零（对水平轴）故宜用守恒定律来做2、 状态及参量初态：啮合前，Lq = IAcoA末态：啮合后，L = （I A +3、 定律L守恒定律方程l = l,IaO）a解之得4-2 刚体的定轴转动(fixed-axis rotation of rigid body)一、 转动惯量(moment of inertia)1、 概念(concept)I = (离散情况)/ = J r1 dm (连续分布)2、 决定因素(decided factor)质量元加对(定)转轴的分布3、 物理意义(physical meaning)转动惯性大小的量度(见二)二、 转动定律(law of)1、内
7、容(content)* dL T da)/ M = = I dt dt刚体产生角加速度的大小与其受到合外力矩成正比，与其转动惯量成反比(M 二C,/T,0 J)2、理解(understand)(1)地位、作用转动定律在转动屮的地位及作用相当于牛顿定律在平动屮的地位及作用(2)合外力矩是产生角加速度的原因有M,就有0，且为瞬时关系(3)M,C0,I的计算均涉及八/. M.coJ须对同一轴取r (“矩”)。三、随堂练习(practice on the class)1、注意(take note)(1)转动惯量的计算关键是充分利用对称性找出质量元d加与其到转轴距离 厂的函数关系，然后积分。(2)转动定
8、律的应用：一是要注意处理好线、角量的关系；二是对既有平动, 又有转动的综合问题，要注意将平、转动分开，平动用牛顿定律列方程,转动用转动定律列方程，后综合求解方程组。3、算例(example)1例4-4计算质量为加，半径为R的匀质圆盘对通过盘心并垂直于盘欣22mrdrR2 4 22 习题416如图，质量为“=16焰的实心圆柱体，其半径 r = 5cm,可绕其水平定轴转动，阻力忽略不计；一轻绳绕在圆 柱上，绳的另一端系质量m2 = 8kg的物体，求(1)开始转动1S后，物体下降的髙度；(2)绳的张力。(3)对mA :转动，由转动定律有Tr = 1/3 = 0 (1)对加2：平动，由牛顿定律有m2g
9、 -T - m2a (2)利用线量、角量关系，得a = r/3 (3)利用运动学公式可求出物体下降高度1 9 1 9h = dt = x4.9xp = 2.45(/n)22由方程(2),得T = m2g -m2a = 8x8.9-8x4.9 = 39.2(N) 三条守恒定律小结(1) 动量守恒：条件：p = 0 结杲：片=-P2(2) 机械能守恒条件：A外+A非得内=0结果：e=e2(4)角动量守恒1条件：M=02结果：厶二厶2四、随堂小议(discuss on the class)某人站在有光滑转轴的转动平台上，双臂水平地举着两个哑铃。在他将两个哑铃水平 收缩到胸前的过程中，人和哑铃组成的系
10、统的机械能和角动量的变化情况是：(1)机械能守恒，角动量也守恒；(2)机械能守恒，角动暈不守恒；(3)机械能不守恒，角动量守恒；(4)机械能不守恒，角动量也不守恒。(3)4-3刚体作定轴转动时的功能关系(relation of work with energy in rotation of rigid body)一、力矩(或力)的功(work of moment)1、元功(elementary work)MeoclA dON =M dt dt二、 动能定理(theorem of kinetic energy)(功与动能变化的关系)1、 功的微形分式(form of differential o
11、f work)d = Mde = If3dO = I de = - Ida)1 dt 22、 动能定理(theorem of kinetic energy)（平动动能 Ek =-mv2）2（转动动能 Ek =丄/）2物义：合外力矩（或外力）对刚体做的功二刚体动能的增加3、说明（explain）若系统既有平动，又有转动，则其动能应为两者动能之和，即Er - E辟+ E熾三、随堂练习（practice on the class）1 注意（take note）（1） 处理物体的定轴转动，最简便的方法是应用角动量守恒，但要有条件： M外=0,若不满足，则应考虑用转动定理或角动量定理来处理；（2） 涉及
12、能量（或功）的问题，最简便的方法是应用机械能守恒来处理，若 不满足守恒条件（即A外+A非得内H0）则宜用动能定理来处理，但此 时的动能应为转动动能，平动动能之和。2、算例（example）例48如图，一长为/ ,质量为加2的匀质细杆，可绕光滑水平轴在竖直平面内转 动。一质量为的子弹水平射入杆Z下端，使杆可最大偏转30角，求子弹的速度心。解 取系统：叫叫外力：mg,m2g,N （轴反力）过程（1）：子弹入射前后（杆欲摆未摆）M, =0,A厶=0,厶二爲（守恒）入射前：厶=ml(1)后：厶2 =加1W + /c （/6J = v）因而有：m|V0/ = 777, vl + Ico过程（2）：（杆与
13、子弹）起摆至最大角& = 30M外及A外H0,只能用系统的动能定理处理。A外=A 重 + = A 重 + 0=mx g/(cos & 1) + m2g (cos 0 -1) A、j - A磨擦=0(子弹与杆无相对位移)初(起摆)动能1 9 1 9Ekl =-mxv +-Ico (平动+转动)2 2末(最咼处)动能Ek2 = 0 (不动)故有人外=人瓦即(2)(3)(4)(5)gZ(cos0_l)(“ + m2) = 0-(WjV2 + lor)2 2 21 9由例43知，I =-m.lr3-由线、角量关系知 v = reo 题给 e = 30联立(1), (2), (3), (4), (5)求解，得/(2 一 V3)(m2 + 2m )(m2 + 3“)四、随堂小议(discuss on the class)如图，两重量相等的学生通过跨过定滑轮的轻绳进行爬绳比赛，一人用力上爬, 一人握绳不动。若滑轮的质量及绳与滑轮磨擦可以忽略，则可能出现的情况是(1)两学生同时到达滑轮最下端高度;(2)用力上爬学生先到；(3)不用力的学生先到；(4)以上结果都不对。r(1)1作业(home work)4-14, 4-15, 4-18, 4-22
