1、弗赖登塔尔关于数学化的演讲稿弗赖登塔尔关于数学化的演讲稿数学教育再探-在中国的讲学 荷兰 弗赖登塔尔1.3 数学化1.3.1术语 在讨论了数学的前后关系和内外结构之后，我们再回过头来把数学当成一种活动，来看看它的一个要紧特点：数学化。是谁最先使用那个术语，用以描述依照数学家的需要和爱好整理现实性的这种过程呢？这种术语通常是先显现在非正式的谈话和讨论中，而后才显现在文献著作里，因此没有人能说出是谁的发明。不管如何说，数学化是一个过程，只要现实世界在一系列因素的阻碍下进行着变化、延拓和深化，那个过程就在连续着，这些因素也包括数学，而且数学反过来被变化着的现实所吸取。 往常用的术语，诸如公理化、形式
2、化、图式化等也许是在数学化之前提出的，其中公理化也许是在数学的行文中显现得最早。公理和公式古已有之，尽管在岁月的长河中，公理或公设的意义及公式的形式有所改变.过去几个世纪里，人们认为欧几里得的几何原本不是完美推导的典范，其原意也并非如此，看来今天有人仍这么认为。我们现在使用的公理体系那个术语，是一种现代思想，把它归为古希腊人的功劳尽管他们是先驱是一种时代的错误。然而，重新组合某一领域的知识，以至于结论被当作动身点，以及相反地把已证明的性质作为定义来证明原始的定义-这种颠倒的构造是一种久远的数学活动，它和古希腊数学一样古老，或许更古老；尽管只是到了近代，人们才像热衷于知识的组织和重组的古希腊人那
3、样，有意识地、有条理地、热切地运用它。今天雨后春笋似的公理体系是人们试图重新组织数学研究领域的结果。这种技术就叫公理化。它被现代的数学家深刻地明白得和把握。它早期显著的例子是群。18世纪以来，数学家们遇到了集合到自身映射的问题，映射通常由一些不变性质去限制，从而导致去构造这种映射。如此他们开始熟悉了变换的集合，在构造之下自动地满足一些熟知的假设，这种假设是后来群所需要的。1854年凯莱Cayley用这些假设统一定义了这种有限的对象，他称作群。然而，直到1870年这一新概念才被一些领头制造的数学家们完全认可。之后又用到无限基的情形。在日常生活和符号语言中，公式是像公理一样古老，甚或更古老的一种专
4、门形式。用日益有效的符号或符号法来改进语言表达是一个长期的过程，它第一涉及到数学题材，后来才阻碍到表述这种题材所用的语言。这种对语言的整理、修正和转化的过程就叫做形式化。 能够确信，公理化可能会像公理一样在现代数学中流行，他们只是一项活动过程中的杰出部分和最后的润色，在那个过程中重点强调的是形式而不是内容。公式和形式化也同样如此。公理来源于范例或一系列范例，而公理化那么意味着总结熟练的范例。人们早已适应于把经历和行为示范性地推广，从中抽象出定律和规那么.形成与现实的体系相吻合的图式。最后一步确实是图式化，它和公理化、形式化相对应，专门是当考虑的是内容而不是抽象的形式或语言的时候。 上面一段说明
5、，通过与公理化、形式化、图式化作类比，说明了数学化一词的来源。值得一提的是，在教育中，把它局限于其某一方面的内容是屡见不鲜的，因此我才占一定的篇幅来说明它。我自己那么坚持那个术语应该包括数学家的全部组织活动，不管它是用于数学的内容和表达，依旧用于更通俗的直觉意义上，比如生活体会，日常语言的表达。然而我们别忘了，在扩展的现实性和进展语言的复杂性中，生活和日常生活的个体的与环境的依靠性。1.3.2某些方面 建立模型 然而，一谈到图式化就有一种倾向，把图式与形式化数学里的解题公式和步骤等问题等同起来。今天，在更广泛的意义上说，图式一词看起来被更时兴的模型所替代-这是一个专门有价值的术语，然而不幸的是
6、，由于人们的滥用和误用而降低了其含义。我一直反对如此做，至少在我看来是如此的。 数学总是被应用于自然和社会，然而长期以来，人们只是过多地考虑它的应用，而专门少想到应用它的方法以及它什么缘故能用。记数实际上是由生活得来的常识，土地测量员的工作看起来是说他们用的界钉和标杆确实是几何上的点和线，还有外币兑换员，商人及药剂师看起来都在说明比例是自然界和社会的一个显而易见的特点。甚至古巴比伦王国的天文学家专门早就适应于用线性内插或外插法，来试着数值化地描述天文现象，也确实是用分段线性函数和锯齿形函数的方法，后来的希腊人最终把它们变成测角函数。然而测角函数可不能从他们仰望的天空里掉下来，其差不多理论是天体
7、运动应该是环形的。为了说明这种假设和一些互相矛盾的现象，产生了一个我们现在称之?quot;模型的东西来描述天体的运动，那个模型包括了圆、本轮epicycles和外心的新发明，不管对它们进行几何上依旧数值上的处理都需要用到测角函数。那个模型连续了近两千年。开普勒Kepler没有给出新模型，而是提出了行星运动的三大数学定律，后来牛顿Newton由此得出了万有引力理论的一系列结果。牛顿自己不肯设计简单的机械模型来说明地球引力。随着时刻的推移，物理学家们才将就地同意地球引力的吸引本身确实是一个模型，它超过了一样意义上的体会，是第一个近代的模型，其意义仅亚于惠更斯Huygens的光的波动理论，历史在不断
8、重复：依照19世纪的力学常识，人们提出了关于光传播理论的一些弹性的模型，但由于研制惠更斯的波动理论的失败，物理学家们不得不同意马克斯韦尔Maxwell的光的电磁理论模型。 建模是现代的产物，只是到了近代，人们才或多或少有意识地忽略了所有看起来不重要的干扰，把在模糊的自然界和环境中应用的数学浓缩成了精确的数学，是它们破坏了理想情形。长期以来，简单的几何学和代数学已足以满足这种需要。然而什么是理想情形，什么又是不重要的干扰呢？伽利略GaliIeo第一给出了一个例子，说明了它们在特定含义下的区别：即匀速运动是理想情形，但又受到阻力的干扰，或像牛顿说的更一样意义上的外力干扰。如此，这种方法就连续到了今
9、天。即使有了精确的理论，也是通过简化后才使用，以使其更接近于实际的过程：如此后者就有可能用更好的靠近或者反馈模型提炼出来。这种了不得的理想化方法的最伟大的例子当属达朗倍尔dAlembert的绷紧的弦的振动问题：通过忽略弦线的曲度，他能把微分方程线性化，而方程一旦线性化以后问题就轻易地解决了。实际上，通过线性化的手法重建物理上的模型已成了应用数学的一样手段。 在自然科学里，最早使用模型一词也许是与众所周知的太阳系模型相联系的，它用一个机械装置，通过粗略简化以后给出了在引力作用下行星和月亮运动的相互作用：由于它只是一个模型，因此只考虑到运动学问题，而不牵涉天体运动的动力学问题：另外，由于实际的缘故
10、，代表天体的球形的半径互相不成比例，和轨道大小相比也不成比例。还有人们熟知的卢瑟福波耳Rutherford-Bohr原子模型，它把原子及其示意图描述成一个小太阳系形状，在可能的轨道上作一些奇特的限制模型的特点来自于轨道遵守的特定条件，以及关于从一个轨道向另一个轨道跃迁时的特定假设，和经典物理的原理大不相同。再近一些的模型有原子核分裂模型，其中的质子和中子像液体一样被开释出来-这种思想是简单化模型的典型。另外一个典型是开放的宇宙体系的宇宙生成模型，它起初是对朝各个方向运动的星群的纯运动学上的说明。随着时刻的推移，由于加入动力学和差不多粒子物理的许多特点而丰富起来，因此它仍被认为是宇宙进化的粗略的
11、简化模型。 这些差不多上理想化的模型，它们有的把数学的精确性引入到相对粗糙的物理现实中：或者是简化现实，而心照不宣地承认现实要比这些称为模型的东西复杂得多。惊奇的是，数学上最早使用模型一词却正好相反：用塑料、电线或纸板做的抽象几何形状的具体模型。假如我没弄错的话，弗里克斯克莱因作为一个数学家，他收集了大量的几何模型，同时也是第一把模型一词用于数学中的人。那个地点是指非欧氏几何在射影几何里的映象的问题-这是凯莱的发明，克莱因阐释为模型，用来把看起来专门抽象的非欧氏几何映射到射影几何的框架里，后者看上去要比前者具体些。尽管不像石膏模型那样显而易见，那个模型实际上要比它的原象易于想象。克莱因的例子说
12、明了公理体系中现代模型概念的根源：用一个合适的数学对象来明确形式公理中所暗含的东西.看起来就像用真实的内容来填充公理的形式。举例来说，一个专门的群或一样函数上的变换群能够作为一样意义上公理化定义的群的模型。还有欧氏空间，专门是三维空间，能够作为公理化定义的线性空间或度量空间的模型。仅就具体化而言，能够超过纯数学的范畴，考虑把物质的或仅仅是体会型的空间作为公理化定义的某种原像的模型。 只是为了保持完整，我才提到了模型的这种应用，它和我们开始所说的模型正好相反。实际上，在那个地点的行文中，我们没有考虑公理体系的模型，尽管它在基础研究中被大量使用，而是考虑理想化意义上的模型。用这种方法，我们能够简化
13、一些复杂的条件，它们太复杂而无法付诸实际，或者是仅仅能用一些特定的数学理论来应付它们。 因为我们的主题是建模，并把它作为数学化的一个方面，需要强调的是，在那个地点的行文中应包括一些真实的具体模型，像检验飞机模型的风洞，或流体动力学理论的实验室模拟。换句话说，是用观看结果而不是用数学来进行评判的一些模型，尽管建筑它们用到的数学知识也许比得到一些不那么真实的模型用的更多。我看甚至还应该包括对如此的真实模型的运算机模拟，它在进行评判时比模拟活动本身更少地依靠于数学。另外，我强烈反对给代数、微分、积分方程等体系贴上一?quot;模型标签的做法-数学模型-因为有人喜爱这么叫。依照我的术语观，模型确实是不
14、可缺少的一种中介，用它把复杂的现实或理论来理想化或简单化，从而更易于进行形式的数学处理。因此我不喜爱在行民主文中用数学模型一词，它让人误以为数学是直截了当地用于环境中，或者几乎如此：实际上只是当数学被紧紧地局限于周围环境中才会发生这种情形。我之因此如此强调模型的中介作用，因为人们往往意识不到它是不可缺少的：专门多情形下，数学公式像要领样用于复杂的现实，而缺乏一种中介模型来检验它们的用场。 概率和统计确实是专门突出的例子。在概率论里，盛签用的容器还有其他的随机装置，确实是模型，人们用它把世界一切看起来由偶然因素决定的情况数学化，这包括：同种植物间的授粉，某个种族间的婚姻和死亡，就像是出生和死亡是
15、由掷签来决定的-因此有的合适，有的那么不尽然。而概率在统计学上的应用也仅仅需要这么一个模型。然而，就我所知，在相关性和回来系数的常规的一一或者应该说是例行的一一应用以及某些社会的专门是教育的研究中因素分析之间，还不存在模型。这些工具只是从其他科学里翻版过来的，在那儿它们是在使用的时候有中介模型来验证的。 再回过头来看看，我意识到对模型的谈论已超过了建模，而且使用了颇为通常意义下的术语；我犹疑这么久还没接触正题的缘故.正是担忧这种情形发生。因此，我本应该让读者领会一系列合理化的模型，像谐振器、电力网、变换阵、传播过程、游戏、引导装置、人口动力学、排队论等等。其中有些例子有专门大的变化范畴，假如期
16、望他们能专门好地利用的话，因此值得让学生们了解：另一方面，我把建模定义成理想化和简单化一一不管我的定义多么地不精确，它依旧切中了要害：把握某种静态或动态的情境的要点，在丰富的相关情境中我前面阐述过的关注它们：同时随着事物的进展，会有更加丰富一些的内容。那么，这确实是我连续考查数学化的其他方面的动身点。 查找本质 即在行文中找出哪些能表示成如下形式 在一种情境之内和交叉的情形 在一个问题之内和交叉的问题 在一个过程之内和交叉的过程 在一个组织之内和交叉的组织 在一个图式之内和交叉的图式 在一个算法之内和交叉的算法. 在一个结构之内和交叉的结构 在一个公式之内和交叉的公式 在一个符号体系之内和交叉
17、的符号体系 在一个公理体系之内和交叉的公理体系 什么缘故有这么多种和交叉的呢？因为找出一样的特点、相似、类比，同构才能够行 概括 成为一种下意识的适应或是多多少少有意识的行为。从一个简单的 范例 不经意的体会，同时只靠一些范例尽管不是专门多来强化就能得出一样性，人们往往是不相信的。现在， 概括范例. 是对 举例说明一样概念的颠倒。假如过分地说，这正是我称为违反教学法的颠倒的一个例子，后文中还会牵涉到。然而， 示范性地探讨未确定的一样性 是一种有价值的 启发式活动 这和流行的启发式教学有所不同，后者被认为是一种预先设置好的工具。 当强调单一的范例的作用时，我突然想到一些新奇的思维对象和运算，而对
18、象和运算通过日常练习能够程序化，并最终导致成为 合理化和捷径 这就会导致 不断进展的 组织化 图示化 结构化 专门考虑到一些拙劣的语言和符号，就会产生 不断进步的 形式化 算法化 符号化 数学化一个十分重要的方面确实是 反思自己的活动 从而促使 改变看问题的角度 并相伴着局部结果的 颠倒 和整体的 公理化 说重一些，这也是违反教学法的颠倒的一个例子。 1.3.3例子 1.在数轴上找出16和72的中间值！ 据我观看，小孩们把两个点平均地相向移动：开始一个一个单位地移，后来步子大一些，最多的每次移10个单位；得出的捷径是把它们的差平均分，再把其中一半加到较小的数上，开一样术语来描述确实是表达式a
19、ba，通过代数运算有更一样的表达式 ab。 在我说明把两个数朝反向移动仍保持中间值不变以后，小孩们最后把较小的数变成O，同时把较大的数变成ab，如此也能证明求中间值的一样表达式。 假如不仅仅局限于只是找到求两个数的中间值的方法，还能够通过不断改进的图式化来逐步进展。为了找到这种图式的一样性，一个范例看来就足够了，即使扩大到整数域上也是如此。夸张地说，我把两个己知数加起来，然后被2除这种一样的结果，能够通过用代数语言两个己知数的和的一半来进一步公式化，如此就能促使代数语言的产生和运用。 另一种概括的系列确实是对多于两个的数提出同样的问题，从而建立平均数如此一个思维对象和求平均数的图式。只有在得出
20、给定的数的和被所给的数的个数来?quot;那个形式的概括或者它的代数表达式之后，人们才能中意。另一方面，一旦内容确定以后，人们应该找出哪些情形下所设想的加法用起来自然，或对这种情形来说含义比较含蓄。比如：加的不是单纯的年龄、尺寸、价格等，而是食物的日常消费，工作时刻，某人一周或一月总和求每笔单位资金的消费，或者由时速求出每秒的速度。 假如仅仅作为图式化和形式化的代表，再认真研究平均数的概念就没有必要了。而下面我要再提出一个中间值概念的概括，即平面图形或立体图形的中心，数学化的专门多方面需要回答下文中要提出的问题。 2.假如一个水龙头1小时能把水池灌满，另一个需要2小时才能把那个水池灌满，那么这
21、两个水笼头同时灌需要多长时刻能自灌满水池？这种古老的问题还有其他像两个工人一起劳动、两个人起吃一定数量的食物等等假如不跟数学化的广泛背景结合起来，同时用传统的图式来解决的话，这问题看起来就专门可笑。我提出问题后，小孩们把满的水池分成两部分，假想每个水龙头负责其中的一部分：三分之二的部分由大的水龙头承担，另外的三分之一由小的水龙头承担，因此两部分都能在2/3小时内灌满。即使给一些更大的数，小孩们仍坚持按这种形象化的比例来推算，并举例论证：比如，认为用几个慢的水龙头来取代一个快的。这明显背离了传统认可的简化为1小时的图式，即：假如两个水龙头能分别用a小时和b小时把水池灌满，那么1小时内，第一个水龙
22、头灌池子的1/a，第二个灌去1/b，因此它们在1小时内一共灌1/a+1/b，整个水池在 = 小时内灌满。而按照小孩们的推理，对应地把整个水池按b：的比率分开，两个水龙头分别灌，那么第一个水龙头应该灌整个池子的b/ab，它确实是按原先的a小时灌满时，所应乘的因子。 然而惊奇的是，当用两个人以不同的速度相向而行的问题采取代这类问题的时候，对这类问题专门熟悉的成年人，往往不注意它与其他问题的同构性，而去用线性的路程时刻简图来求解问题。这看起来看起来是在两个人之间分配距离，只是为了得到几何策略而不是求数量关系，就像水龙头灌水、工作、食物等一样。像速度如此的思维对象，有两种截然相反的差不多的图式化和形式
23、化的方法：每段时刻所走的路程和每段路程所花费的时刻；后者在比较运动成绩的时候经常用到。这种双向图式化的另一个例子是耗油问题：为了明白用一箱油能否走完某段距离，司机要算出来一箱油能走多远。 这种双向图式化牵涉到各种现象，同时它的因素之间有着重要联系。假如能够意识到这些，水池和水龙头之类的问题就可不能再让人看起来觉得可笑。调和的相加和求平均即变成倒数之后实际上是一个重要的图式，要得到它，因此需要详细的图式化去引导。 3.在学校里教学能被9整除的数的特点，专门难说是数学知识.只只是是在验证它的正确有效性罢了。以算盘为模型的定位系统，能够成为一种图式化：假如用算盘上的算珠代表所给出的数，那么把一个算珠
24、移到另一个档上，数的改变量确实是9的倍数；因此，假如所有的算珠都移到个位上，就得出那个数和它的所有位上的数之和被9除同余。这种推理能够推广到其他定位系统。 4.对图示化而言，百分数那个工具由于用途广泛而不宜在此进行详细论述，我们仅给出一个特点，来说明它的极度重要性，它涉及到一种重新组织的转换：增加或减少p，即达到原先的1 倍或1 倍。 5.钟表的两个指针什么时候重合？用无穷级数、简单的代数学、线性草图都能解决那个问题，而一旦得出结果，就有一条捷径得出恰当的图式：时针每转一圈，分针转了12圈，因此在12小时内追上时针11次，同时保持相同的时刻间隔。这是一个用途专门广泛的图式，应用到其他问题里能说
25、明一些天文现象。 6.生日宴会上有十个小孩，男孩比女孩多两个。 一个盛着牛奶的桶共重10千克，牛奶比桶重2千克。院子里有鸡和兔子：13个脑袋，36条腿。小孩们最初想用尝试错误法来解答这些问题，然而遇到大数目时效率就显得专门低；而后就开始利用更显而易见的形形式式的图式来解决有关的问题。比如用假设来进行推理：假设每个女孩找一个男孩假设每个兔子是一只鸡的话如此不断地进行概括，就产生了代数。 7.假如你还不熟悉的话，就停下来想想下面的问题：在一群人中任意5个人里总有两个人的岁数相同，请证明在他们的17个人中总有5个人的岁数相同，你或许会想出专门多图式来解决那个问题，但最终的结果会使你改变看问题的观点：
26、实际上17个人中间至多有4个年龄层次。 8.一堆火柴100根，两个游戏者轮番每次拿掉110根，能拿走最后一根火柴的人为胜。那个地点只要明白要领就能取胜，这几乎人人都明白。现在来玩另外一种游戏：一堆火柴，轮番每次从中拿走2的方幂2 根，也是能拿走最后一根的人取胜。假如只有1根或2根火柴，那么最先拿的人获胜；假如是3根的话，他就输；假如有4根那么能胜，5根也是如此；先拿走2根，剩下3根另外一个人如何拿都输。假如有6根，不管他拿1根，2根依旧4根，他都把有利形势让给了对方，自己那么只好输掉。7根和8根的情形，分别拿走1根或2根那么都能赢剩6根。但9根又是一个不利的情形。连续分析，就能猜到：对轮到拿的
27、人来说，假如火柴根数是3的倍数，那么处于失败境地，其他情形那么可不能输。你能证明吗？结果说明要考虑模3的算术。2的方幂模3余2或1。因此那些2的高次幂都没什么关系，而是最后归结成取1根依旧2根的问题-这是古老游戏的一种细微的变形。 另外一种变形：只承诺拿走素数根还包括l。 我们来列出轮到拿的人所处的有利位置和不利位置的情形。 明显， 1、2、3、5、6、7、9、10、11、是有利的， 4、8、12是不利的。 实际上，以12为例，不管你从中拿哪个素数，你都把有利位置让给了对方；而把上一行的数分别减去1、2或3，都能把对方送到下面一行。这说明要考虑模4的算术，在那个地点只需用3来代替10，就退化成
28、古老的游戏。还有一种变形：每次可拿1根或4根，那么 1、3、4、6、8、9、11、是处于有利位置； 2、5、7、10、12、是处于不利位置。 被5除，余1、3、4那么有利，余0、2那么不利。 实际上，假如轮到拿的人处于第一种状况，他就能采取任何拿走4根或者1根的行动，如此就能保持有利的状况。 那个地点给出的游戏相互之间表现出了相似的特点。它们的相似性背后又有什么更深的属性呢？它们能作为更一样的游戏的范例吗？假如如此的话，如何样更一样的阐述呢？ 在我们做过的游戏里，与其说是示范性地开始，倒不如说展开问题的一样方法是：先找出最后的结果，再来证明它-即违反教学法的颠倒。我们给出的是开放的结果，而不是
29、最后的结论。 9.一系列圆盘，编号为1、2、3，盘的一面是黑色，另一面是白色。开始所有的黑面都朝上，先把编号为偶数的盘翻过来，然后把编号能被3整除的圆盘翻过来，接着把编号能被4整除的圆盘翻过来，等等。最后哪些圆盘的黑色一面仍朝上？人们总是先做实验，然后找素数因子及一些有类似特点的，只是在最后才找到捷径：关于数n的任意非平凡因子k，都有相应的因子 ，只是当n是一个平方数时，这两个数才保持一致。从这一点动身，才能得到简洁的论述。 10.下面的例子说明，图式化得来的体会能导致重复计数等思想的产生：立方体的八个顶点处有三条边相交，看起来说明应该得到83条边，而实际上只有12条边。 11.通过骰子上的五
30、个点图2画一条折线，每个点通过且只通过一次，能得到多少不同的图形？第一，必须对不同的图形的概念图式化，能够用全等的方法来区别。其次，计数的过程必须通过适当的分类来构造，举例说，考虑五个点的中间一个：把它作为起点，作为折线的第一站、折线的第二站，再对四个角上的点连续以同样方式处理。 12.除了前面的问题外，数学化另外一个重要的方面能够用例子来说明，?quot;棋盘上的谷粒这一闻名问题：为了估算2 ，用10 代替2 ，这确实是数值图式化的一个例子。 13.至此，我忽略了数学化的语言特点。为了有所选择，我参考了87，第4章，p.15。选择即意味着舍弃，我不愿如此做，只好如此了。 14.我也没充分注意
31、到观点的改变。像87，第4章，p16的例子所显示的那样，这是一个十分丰富的课题，那个课题需要更加系统地去处理，我还不敢妄为。对此我能够补充专门多，但我不愿。 15.一个木桶，上盖封住，有4个洞，呈正方形图3。 在洞的正下方有四个圆盘，一面黑色，一面白色，而颜色是看不见的。游戏者承诺选择打开1个或2个洞，把相应的圆盘翻过来。操作一次之后，绕着桶的竖轴随意地旋转木桶，使游戏者找不到他刚选择的孔洞，如此随意重复下去，一旦四个圆盘的上面的颜色差不多一致，那么响铃示意游戏终止。找一个方案，保证最后能让所有圆盘显示相同的颜色！ 那个例子包蕴着丰富的数学化特点。为了让情愿自己独立解决那个问题的读者不至于败兴，我把答案归到附录里。
