1、学年江苏省无锡市高二第二学期期末考试数学文试题解析版绝密启用前江苏省无锡市20172018学年第二学期高二数学（文）期末试卷评卷人得分一、填空题1复数（为虚数单位）的实部为_【答案】-1【解析】分析：根据复数的综合运算，化简即可得到实部。详解：根据共轭复数的概念，化简得 所以实部为-1点睛：本题考查了复数的混合运算，共轭复数的应用，属于简单题。2函数的定义域为_【答案】【解析】分析：根据根式、分母有意义的条件，求函数定义域的定义。详解：函数有意义，则 所以 ，即定义域为 点睛：本题考查了根式、分母有意义的条件，函数定义域的定义，是基础题。3若函数在上单调递减，则的最小值为_【答案】2【解析】分
2、析：二次函数单调递减，满足对称轴大于等于1即可。详解：二次函数在上单调递减，则对称轴大于等于1，即 所以 所以m的最小值为2点睛：本题考查了二次函数单调性问题，关键是分析对称轴与单调区间的关系，属于基础题。4某班共有人，有围棋爱好者人，有足球爱好者人，同时爱好这两项的人数为，则所有的可能值构成的集合_【答案】【解析】分析：根据集合的交集、补集关系，确定同时两项运动都喜欢的最多人数，两项运动都不喜欢的最少人数，即可通过交集判断m构成的集合。详解：因为足球爱好者比围棋爱好者人数多，所以同时爱好这两项的人数最多有22人既不爱好足球，也不爱好围棋的人最多有2人，最少0人所以同时爱好足球和围棋的人数最少
3、为20人，所以所有m可能值组成的集合为 点睛：本题考查了集合的交集、补集在实际问题中的综合应用，对分析问题、解决问题需要很强的条理性，属于中档题。5若函数的图象相邻最高点与最低点横坐标之差为，且图象过点，则其解析式为_【答案】【解析】分析：根据相邻最高点与最低点横坐标之差，可求得周期；根据过定点，即可求得 的值，进而得到函数表达式。详解：因为图象相邻最高点与最低点横坐标之差为所以 ；由正弦函数的周期 所以 代入原式得因为过点所以，又因为，所以 所以 点睛：本题考查了根据函数的周期和定点问题求三角函数的解析式，属于基础题。6已知复数，满足，则_【答案】【解析】分析：根据复数的模都为1，可求得 及
4、 间的关系，根据方程，得；表示出，代入即可求值。详解：设 因为所以 即化简得 点睛：本题主要考查了复数模的定义及其相关运算，运算过程中注意熟练运用解题的技巧，属于基础题。7设向量，且，则_【答案】7【解析】分析：根据向量的线性运算，求得，根据向量垂直时坐标间满足的关系即可求得k的值。详解：根据向量的坐标运算 因为所以 解得 点睛：本题考查了向量的线性运算、坐标运算和垂直时坐标间的关系，综合性强，但难度不大。8已知，则_【答案】【解析】分析：根据诱导公式和同角三角函数关系式，对三角函数表达式进行变形应用。详解：因为，所以 点睛：本题考查了三角函数诱导公式和同角三角函数关系式的综合应用。熟练掌握“
5、奇变偶不变，符号看象限”的判断原则，属于中档题。9已知函数，若存在两个互不相等的实数，满足，则_【答案】1【解析】分析：根据对数的运算性质和绝对值表达式，化简即可求得的值。详解：设 所以 ，因为 所以所以，即 所以 点睛：本题主要考查了对数的运算性质和去绝对值，化简变形中注意符号变化，属于中档题。10平面上画条直线，且满足任何条直线都相交，任何条直线不共点，则这条直线将平面分成_个部分【答案】【解析】分析：根据几何图形，列出前面几项，根据归纳推理和数列中的累加法即可得到结果。详解：1条直线将平面分成2个部分，即 2条直线将平面分成4个部分，即3条直线将平面分为7个部分，即4条直线将平面分为11
6、个部分，即，所以 .根据累加法得所以 点睛：本题综合考查了数列的累加法、归纳推理的综合应用。在解题过程中，应用归纳推理是解决较难题目的一种思路和方法，通过分析具体项，找到一般规律，再分析解决问题，属于中档题。11已知，且，则实数的范围为_【答案】【解析】分析：去绝对值，分类讨论在x取不同值时函数的单调性；根据函数的图像特征判断不等式成立的条件。详解：去绝对值得 当 时，不等式恒成立，解不等式得 当时，需 ，解不等式得 所以 的取值范围为点睛：本题考查了绝对值函数与单调性、不等式的关系，主要是依据函数图像分析不等式成立条件，因而得到解集，属于难题。12已知，则_【答案】【解析】分析：根据三角函数
7、表达式特征，同时平方相加，得到余弦的差角公式；对所求的用二倍角公式变形，即可得到答案。详解：因为，所以对两个式子两边同时平方，得 两式相加得 所以根据余弦差角公式，合并得 点睛：本题考查三角函数表达式变形、二倍角公式的综合应用，关键是分析出三角函数表达式的特征，灵活变形应用，属于中档题。13如图，正方形的边长为，三角形是等腰直角三角形（为直角顶点），分别为线段，上的动点（含端点），则的范围为_【答案】【解析】分析：建立平面直角坐标系，利用点的坐标和坐标的取值范围求得的范围。详解：以AB所在直线为x轴，以AD所在直线为y轴，以A为坐标原点建立平面直角坐标系因为的边长为，三角形是等腰直角三角形所以
8、 ，设因为 ，所以 所以 由基本不等式，得 因为所以即的范围为点睛：本题考查了向量在解决数量积问题中的应用，建立平面直角坐标系是解决向量问题简单而直接的方法，需要灵活运用，属于中档题。14设函数，若方程恰好有个零点，则实数的取值范围为_【答案】【解析】分析：根据分段函数表达式，分段分离参数m；根据函数图像判断m的取值范围。关键注意也是函数的一个零点。详解：当 时， ，所以是方程的一个零点；当时， ，所以 当 时， ，则 画出关于m的函数图像，如下图所以满足有两个交点的m取值范围为 ，因为也是一个零点所以有3个零点的m取值范围为点睛：本题考查了分离参数法在解决零点个数问题中的应用，特别注意的特殊
9、情况，否则得不到3个解，要结合图像综合分析，属于难题。评卷人得分二、解答题15已知复数在复平面内对应的点位于第二象限，且满足.（1）求复数；（2）设复数满足：为纯虚数，求的值.【答案】（1）；（2）.【解析】分析：（1）解一元二次方程，得到，根据在复平面内对应的点位于第二象限，即可判断的取值。（2）根据复数的乘法运算、纯虚数的概念、模的定义，联立方程求得x、y的值，进而求得的值。详解：（1）因为，所以，又复数对应的点位于第二象限，所以；（2）因为，又为纯虚数，所以，有得，解得，或，；所以.点睛：本题考查了复数相等、纯虚数等概念和复数的混合运算，对基本的运算原理要清晰，属于基础题。16如图，角的
10、终边过点，.（1）求和的值；（2）求点的坐标.【答案】（1）；（2）【解析】分析：（1）根据三角函数在平面直角坐标系中的定义和点，即可求出，的值。（2）根据正弦余弦的和角公式，结合化简求出C点坐标。详解：（1）因为角的终边过点，所以，所以，；（2）因为，所以 ， ，又，所以点的坐标为.点睛：本题考查了平面直角坐标系中三角函数的定义，三角函数和角公式的综合应用，关键在于分析出解决问题的思路和方法，属于基础题。17如图，在中，且，为边上的中点，.（1）求的值；（2）求的值.【答案】（1）；（2）【解析】分析：（1）根据向量的线性运算，得到，再由向量数量积求得，根据同角三角函数关系式求出的值。（2）
11、用 表示出的值，进而通过（1）求出的求值。详解：（1）因为，所以 ，所以，解得，所以；（2）因为，所以 .点睛：本题考查了向量线性运算在求角度、数量积中的应用，核心是用两个基向量表示所要求得的向量，最后利用角度化简求值，属于中档题。18已知函数是奇函数.（1）求的值；（2）用定义证明：函数是上的增函数；（3）若对一切实数满足，求实数的范围.【答案】（1）2；（2）见解析；（3）.【解析】分析：（1）根据奇函数是定义在R上的函数，利用可求出m的值。（2）根据定义证明函数单调性的步骤，一设二差三符号四结论证明即可。（3）根据奇函数的定义和函数单调递增的性质，可化简分离参数式得，根据函数恒成立问题，
12、所以依据三角函数取值有范围的性质，求出实数的范围。详解：（1）因为函数是奇函数，且在处有意义，所以，即，解得；（2）任取，且，则 ，因为，所以，所以，即，所以函数是上的增函数；（3）因为对一切实数满足：，所以有，即对一切恒成立.因为，所以，即.点睛：本题考查了函数的奇偶性、单调性及其综合应用，恒成立问题和分离参数法通常结合起来应用，对综合能力要求较高，属于中档题。19已知函数，将函数图象上所有点的横坐标变为原来的（纵坐标不变），再将所得函数图象向左平移个单位，得到函数.（1）求的解析式；（2）若关于的方程，有个不同的根.求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】分析：（1）根据先伸缩，
13、再平移函数图像变换特征，得到函数解析式。（2）将方程化为关于的方程，令，根据三角函数值域有范围的性质，结合x的取值范围求得有4个根时m的取值范围。详解：（1）；（2）关于的方程，可化为，即，令，当是方程的根时，只有个根，不符合题意.所以关于的方程，有个不同的根，等价于关于的方程在上有两个不同的根，令，则有，解得.点睛：本题考查了三角函数图像的平移变换、换元法在求值域时的应用，属于中档题。20已知函数，.（1）问：能否为偶函数？请说明理由；（2）总存在一个区间，当时，对任意的实数，方程无解，当时，存在实数，方程有解，求区间.【答案】（1）不可能是偶函数；（2）.【解析】分析：（1）根据偶函数定义，分类讨论不同情况下是否存在偶函数的可能。（2）讨论在x取正数、负数两种不同情况下的解集；再对每个情况下对a进行分类讨论存在性成立的条件。详解：（1）定义域为关于原点对称，当时，为偶函数，当时，则，则，若，则，若，则，所以不可能恒等于零，即不可能是偶函数.（2）先考虑，当时，无解；当时，只有当时，才有，当时，可化为，所以，因为不是上式的根，所以，解得，即当时，； 再考虑，当时，无解；当时，只有当时，才有，当时，可化为，所以，因为不是上式的根，所以，解得，即当时，；综上，区间.点睛：本题考查了绝对值函数的综合应用，要对定义域、参数分别分析讨论，要求思考过程严谨，逻辑清晰，属于难题。
