1、不规则立体图形的表面积和体积立体几何专题不规则立体图形的表面积和体积基础知识：规则立体图形的表面积和体积表面积体积正方体（棱长为a）6a2a3长方体（边长a、b、c）2（ab+bc+ca）abc圆柱体（底面半径r，高h）2r2+2rhr2h圆锥体（底面半径r，高h）r2+rl例1.把19个边长为2厘米的正方体重叠起来，作成如图那样的组合形体，求这个组合形体的体积和表面积。答疑编号505787490101【答案】体积是152立方厘米；表面积是216平方厘米。【解答】体积：1923152（立方厘米）上下看：339左右看：4318前后看：44310（9810）222216（平方厘米）进一步思考：（1
2、）对于由小正方体搭起来的组合形体，其表面积总是等于三个方向看到的面积之和的两倍？答疑编号505787490102【答案】不是（2）如果挪动最上面那个小正方体，将它移动到其他位置，那么所得到的新的组合形体的表面积最少是多少？答疑编号505787490103【答案】200平方厘米【解答】找盖住的面最多的位置，最多可以盖住3个面。例2.如图，用高都是1米，底面半径分别为1.5米、1米和0.5米的3个圆柱组成一个物体。问这个物体的表面积是多少平方米？（取3.14。）答疑编号505787490104【答案】32.97平方米【解答】结合例1的方法，我们将这个物体的表面积分为上下底的面积和侧面积两部分，不难
3、看出这种叠放并不影响上下底的面积。解：上底面积与下底面积相等，都是1.52=2.25（平方米）；侧面积就是三个圆柱体的侧面积之和，等于2（1.5+1+0.5） 1=6（平方米）；这个物体的表面积是2.252+6=10.5=32.97（平方米）。进一步思考：如果沿这个物体的中心轴切一刀，将之分成两个相同的立体图形，那么两个新立体图形的表面积之和是多少？答疑编号505787490105【答案】44.97平方米【解答】原来的表面还是表面不变，增加的就是切口。1121316（平方米）32.976244.97（平方米）例3. 如图，有一个边长是5的正方体，如果它的左上方截去一个边长分别是5、3、2的长方
4、体，那么它的表面积减少了百分之几？答疑编号505787490106【答案】8%【解答】与前面的例题类似，我们一般不直接计算切割后的立体图形的表面积，而是先将切割前后的两个立体图形进行比较。减少的面就就是两个326的小长方形。12150100%8%。例4.如图，有一个边长为20厘米的大立方体，分别在它的角上、棱上、面上各挖掉一个大小相同的小立方体后，表面积变为2454平方厘米.那么挖掉的小立方体的边长是多少厘米？答疑编号505787490107【答案】3厘米【解答】大立方体的表面积是202062400平方厘米.在角上挖掉一个小正方体后，外面少了3个面，但里面又多出3个面；在棱上挖掉一个小正方体后
5、，外面少了2个面，但里面却多出4个面；在面上挖掉一个小正方体后，外面少了1个面，但是里面却多出5个面.所以最后的情况是挖掉了三个小正方体，但反倒多出了6个面.可以计算出每个面的面积是（24542400）69，那么小正方体的棱长就是3.例5.如下图，是一个边长为2厘米的正方体。在正方体的上面的正中间向下挖一个边长为1厘米的正方体小洞.接着在小洞的底面正中再向下挖一个边长为厘米的小洞；第三个小洞的挖法与前两个相同，边长为厘米。求最后得到的立体图形表面积是多少平方厘米。答疑编号505787490108【答案】29平方厘米【解答】正方体在挖小洞之前的表面积为622平方厘米，挖了小洞之后面积不但没有减少
6、，反而还要加上三个小洞的侧面积的和。三个小洞各有四个侧面，每个侧面的面积分别是：12，（）2，（）2，因此总的表面积为：6224124（）24（）229（平方厘米）例6.下图是一个边长为4厘米的正方体，分别从前后、左右、上下各面的中心处向内挖去一个边长1厘米的正方体，做成一个玩具，它的表面积是多少平方厘米？答疑编号505787490109【答案】120平方厘米【解答】4261146120（平方厘米）进一步思考：如果将各个相对的面挖通，得到一个新的玩具，那么这个玩具的表面积是多少平方厘米？答疑编号505787490110【答案】126平方厘米【解答】这回不容易直接想象内部的空间，那么可以反过来，
7、从挖掉的部分入手考虑。1（41）4336（平方厘米）36426126126（平方厘米）例1.有一个棱长为5厘米的正方体木块，从它的每个面看都有一个穿透的完全相同的孔（如图），求这个立体图形的表面积。答疑编号505787490201【答案】216平方厘米【解答】由于正方体中间被穿了孔，表面积不好计算。我们可以将这个立体图形看成由8个棱长为2厘米的正方体和12个棱长为1厘米的立方体粘合而成。如右上图所示，八个棱长为2厘米的正方体分别在8个顶角，12个棱长1厘米的正方体分别在12条棱的中间。由于每个小正方体都有2个面分别粘接两个较大正方体，相对于不粘接，减少了表面积4平方厘米，所以总的表面积为（22
8、6）8（116）12412216（平方厘米）。例2.如图，在一个正方体的两对侧面的中心各打通一个长方体的洞，在上下侧面的中心打通一个圆柱形的洞。已知正方体边长为10厘米，侧面上的洞口是边长为4厘米的正方形，上下侧面的洞口是直径为4厘米的圆，求该图立体的表面积和体积?（取3.14）答疑编号505787490202【答案】785.12平方厘米；668.64立方厘米【解答】这个几何体的表面积可分为外表面积和内表面积两部分，外表面积好求；求内表面积时，可把挖去部分的立体图形从原立方体中等积位移出来后分析求得。体积则用原立方体的体积减去被挖部分体积即可。解：表面积立方体表面积4个正方形面积2个圆形面积4
9、个长为4宽为3的上下左右面（两个正方形挖去两个圆的部分）高为6的圆柱侧面积.102642422244（104）222（442222）22（33）5368192328247608785.12（平方厘米）体积大正方体4个4乘4乘3的立方体1个边长为4的正方体1个高为6的圆柱.10344344322（33）100025624668.64（立方厘米）例3.将图中的平面图形折叠成一个四棱锥（中央是一个面积为18平方厘米的正方形，四周都是腰长为5厘米的等腰三角形），那么这个四棱锥的体积是多少？答疑编号505787490203【答案】24立方厘米【解答】根据面积可以求出正方形对角线的长为：6厘米。四棱锥的高
10、h25232，解得h4厘米。四棱锥的体积为：Vsh18424立方厘米例4.一个盛水的容器是由两个圆柱体组成的，大圆柱体的底面半径为10厘米，并且它的底面半径和高都是小圆柱体的两倍.现在容器里有一些水，水面离容器顶有11厘米（如图1），而如果把容器倒过来，水面离顶部有5厘米（如图2）.那么这个容器的容积是_立方厘米（取p3）？答疑编号505787490204【答案】5400立方厘米【解答】大圆柱体的底面积是小圆柱体的底面积的4倍.假设小圆柱体的高是x厘米，根据两个图中的白色部分体积相等，可以列方程得：x4（11x）5，解得：x8.所以该容器的容积是：553810103（82）6004800540
11、0（立方厘米）例5.中国古代数学家如何求出半径为R的球的体积。祖暅原理：两个立体图形，用一组平行的平面去截，如果其中每个平面截这两个立体图形得到的截面面积都相等，那么这两个立体图形的体积就相等。应用祖暅原理求出半径为R的球的体积（先求半球的体积）：构造一个新的立体图形，首先做一个底面半径为R，高也为R的圆柱体，再从圆柱体的上表面向下挖去一个高为R的圆锥体（如图所示）。将这个新的立体图形与半球放置在同一个桌面上。对于平行于底面的一组平面，用它们去截半球和新的立体图形。考察高度为H的平面，它截半球得到一个圆（设半径为a），截另一个得到一个圆环（外径为R，设内径为b）。由勾股定理，有a2+H2=R2，所以圆的面积是pa2=p（R2-H2）；再分析右面这个图形，可知内径b=H，因此圆环的面积是pR2-pH2=p（R2-H2）。由祖暅原理可知，半球的体积与右面的立体图形相等，所以球的体积是。例6.如图，有一个半径为20的实心球，以某条直径为中心轴挖去一个半径为12的圆形的洞，那么挖出部分的体积是多少？（p取3）答疑编号505787490205【答案】15616【解答】将所剩几何体的上半部分与半径为16的半球作比较，将它们的底面置于同一水平面，并考察高度为h的水平面与两个几何体所截的截面面积。由祖暅原理知两个几何体的体积是相等的。所以挖出部分的体积是。
