1、完整版六年级奥数专题01染色问题doc二十 染色问题 (1)年级 班 姓名 得分(编者按 : 由于内容本身的限制 ,本讲不设填空题 )1.某影院有 31 排,每排 29 个座位 .某天放映了两场电影 ,每个座位上都坐了一个观众 .如果要求每个观众在看第二场电影时必须跟他 (前、后、左、右 )相邻的某一观众交换座位 ,这样能办到吗 ?为什么 ?2.如图是一所房子的示意图 ,图中数字表示房间号码 ,每间房子都与隔壁的房间相通 .问能否从 1 号房间开始 ,不重复的走遍所有房间又回到 1 号房间 ?1234567893.在一个正方形的果园里 ,种有 63 棵果树、加上右下角的一间小屋 ,整齐地排列成
2、八行八列 (见图 (a).守园人从小屋出发经过每一棵树 ,不重复也不遗漏 (不许斜走 ),最后又回到小屋 ,行吗 ?如果有 80 棵果树 ,连小屋在内排成九行九列 (图 (b) 呢?(a)(b)4.一个 8 8 国际象棋 (下图 )去掉对角上两格后,是否可以用31 个 2 1 的“骨牌 ”(形如)把象棋盘上的62 个小格完全盖住?5.如果在中国象棋盘上放了多于 45 只马 ,求证 :至少有两只马可以 “互吃 ”.6.空间 6 个点 ,任三点不共线 ,对以它们为顶点的线段随意涂以红色或蓝色 ,是否必有两个同色三角形 ?7.如图 ,把正方体分割成 27 个相等的小正方体 ,在中心的那个小正方体中有
3、一只甲虫 ,甲虫能从每个小正方体走到与这个正方体相邻的 6 个小正方体中的任一个中去 .如果要求甲虫能走到每个小正方体一次 ,那么甲虫能走遍所有的正方体吗?8.中国象棋的马走 “日”字 ,车走横线或竖线 ,下图是半张中国象棋盘 ,试回答下面的问题 :A B一只马从起点出发 ,跳了 n 步又回到起点 .证明 :n 一定是偶数 .9.中国象棋的马走 “日”字 ,车走横线或竖线 ,下图是半张中国象棋盘 ,试回答下面的问题 :A B一只马能否跳遍这半张棋盘 ,每一点都不重复 ,最后一步跳回起点 ?10.中国象棋的马走 “日 ”字 ,车走横线或竖线 ,下图是半张中国象棋盘 ,试回答下面的问题 :A B证
4、明 :一只马不可能从位置 B 出发 ,跳遍半张棋盘而每个点都只经过一次 (不要求最后一步跳回起点 ).11.中国象棋的马走 “日”字 ,车走横线或竖线 ,下图是半张中国象棋盘 ,试回答下面的问题 :A B一只马能否从位置 B 出发 ,用 6 步跳到位置 A?为什么 ?12.中国象棋的马走 “日 ”字 ,车走横线或竖线 ,下图是半张中国象棋盘 ,试回答下面的问题 :AB一只车从位置 A 出发 ,在这半张棋盘上走 ,每步走一格置 B.证明 :至少有一个格点没被走过或被走了不止一次 .,走了若干步后到了位13.8 8 的国际象棋棋盘能不能被剪成 7 个 2 2 的正方形和形?如果可以 ,请给出一种剪
5、法 ;如果不行 ,请说明理由 .9 个 4 1 的长方14.(表1)是由数字 0,1 交替构成的 ,(表 2)是由 (表1)中任选、三种形式组成的图形 ,并在每个小方格全部加 1 或减 1,如此反复多次进行形成的 , 试问 (表 2)中的 A 格上的数字是多少 ?并说明理由 .1010101001010101101010100101010010101010010101011010101001010101表111111111111111111111111111111111111111A1111111111111111111111111表2 答 案1.把影院的座位 画成黑白相 的矩形 .(29 3
6、1),共有 899 个小方格 .不妨假定四角 黑格 , 共有黑格 450 个,白格 449 个.要求看第二 影 ,每位 众必 跟他相 的某一 众交 位置 ,即要求每一黑白格必 互 ,因黑白格的 数不相等 ,因此是不可能的 .2.将 号 奇数的房 染成黑色 , 号 偶数的房 染成白色 .从 1 号房 出 ,只能按黑 白 黑 白 的次序 ,当走遍九个房 在黑色房 中 , 个房 不与 1 号房 相 ,故不能不重复地走遍所有房 又回到 1 号房 .3.(a)行,走法如 所示 .(a)(b)不行 ,将小屋染成黑色 ,果 染成黑白相 的 色 ,(b)中有 41 个黑色的 ,40 个白色的 .从小屋出 ,按
7、黑 白 黑 白 的次序 ,当走遍80 棵 后 ,到达的 的 色 是黑色 ,与小屋不相 ,故不可能最后回到小屋 .4. 不能 .原因是每一个 2 1 的矩形骨牌一定恰好盖住一个黑格和一个白格,31 个 的骨牌恰好盖住 31 个黑格和 31 个白格 .但是国 象棋棋 上 角两格的 色是相同的 ,把它 去掉后剩下的是 30 个白格 ,32 个黑格 ,或 32 个白格 ,30 个黑格 ,因此不能盖住 .5.中国象棋棋 上有 90个交叉点 ,把棋 分成 10个小部分 ,每部分有 3 3=9 个交叉点 ,由抽 原 知 ,至少有一个小部分内含有 6 只 .将 一小部分的 9 个交叉点分 涂上黑色及白色 .
8、有两只 在不同 色交叉点上 ,故一定有两只 “互吃 ”.6. 六个点 A 、 B、 C、D、E、F.我 先 明存在一个同色的三角形 : 考 由 A 点引出的五条 段 AB 、AC 、 AD 、 AE、 AF,其中必有三条被染成了相同的 色 ,不妨 AB 、AC 、AD 三条同 色 .再考 三角形 BCD 的三 : 若其中有一条 色 , 存在一个 色三角形 ;若 三条都不是 色 , 三角形 BCD 色三角形 .BCAD下面再来 明有两个同色三角形 ,不妨 三角形 ABC 的三 同 色 .(1)若三角形 DEF 也是 色三角形 , 存在两个同色三角形 .(2)若三角形 DEF 中有一条 色 (不妨
9、 DE), 下面考 DA 、 DB 、DC三条 段，其中必有两条同色 .若其中有两条是 色的 ,如 DA 、DB 是 色的 , 三角形 DAB 第二个同色三角形 ( 1).D AE B C( 1)若其中有两条是 色的 , DA 、 DB 色 ( 2).此 在 EA、 EB 两条 段中 ,若有一条 色 , 存在一个 色三角形 ;若两条都是 色的 , 三角形 EAB 色三角形 . 上所述 ,一定有两个同色三角形 .D AE B C( 2)7.甲虫不能走遍所有的立方体 .我 将大正方体如 分割成 27 个小正方体 ,涂上黑白相 的两种 色 ,使得中心的小正方体染成白色 ,再使两个相 的小正方体染上不
10、同的 色 . 然在 27 个小正文体中 ,14 个是黑的 ,13 个是白的 .甲虫从中 的白色正方体出 ,每走一步 , 小正方体就改 一种 色 .故它走 27 步, 14 个白色的小正方体 ,13 个黑色的小正方体 .因此在 27 步中至少有一个白色的小正方体 ,甲虫 去 两次 .故若要求甲虫到每个小正方体只去一次 ,甲虫就不能走遍所有的小正方体 .8. 将棋 上的各点按黑白相 的方式染上黑白二色 .由“ 步 ”的行走 ,当 “ ”从黑点出 ,下一步只能跳到白点 ,以后依次是黑、白、黑、白 要回到原出 点 (黑点 ),它必 跳偶数步 .9.不能 .半 象棋 共有 45 个格点 , 从起点出 跳
11、遍半 棋 , 起点与最后一步同色 .故不可能从最后一步跳回起点 .10.与 B 点同色的点 (白点 )有 22 个,异色的点 (黑色 )有 23 个. 从 B 点出 ,跳了 42 步时 ,已经跳遍了所有的白色 ,还剩下两个黑点 ,但是马不能够连续跳过两个黑点 .11.不能 .因为 A、 B 两点异色 ,从 B 到 A 所跳的步数是一个奇数 .12.“车 ”每走一步 ,所在的格点就会改变一次颜色 .因 A、B 两点异色 ,故从 A到B“车 ”走的步数是一个奇数 .但半张棋盘共有 45 个格点 ,不重复地走遍半张棋盘要 44 步，但 44 是一个偶数 .13.如图对 8 8 的棋盘染色 ,则每一个
12、 4 1 的长方形能盖住 2 白 2 黑小方格 , 而每一个 2 2 的正方形能盖住 1 白 3 黑或 1 黑 3 白小方格 ,那么 7 个 2 2 的正方形盖住的黑色小方格数总是一个奇数 ,但图中黑格数为 32 是一个偶数 .故这种剪法是不存在的 .+1+1- 1- 1+1+1+1+1+1- 1- 1+1+1+1+1+1- 1- 1- 1- 1 - 1+1 +1- 1 - 1- 1 - 1 - 1+1+1- 1- 114.如下图所示 ,将表 (1)黑白相间地染色 .表(1)本题条件允许如图所示的 6 个操作 ,这 6 个操作无论实行在那个位置上 ,白格中的数字之和减去黑格中的数字之和总是一个
13、常数 ,所以表 1 中白格中数字之和与黑格中数字之和的差即 32,等于表 2 中白格中数字之和与黑格中数字之和的差即(31+A)-32,于是 (31+A)-32=32, 故 A=33.二十 染色问题 (2)年级 班 姓名 得分1.下图是一套房子的平面图 ,图中的方格代表房间 ,每个房间都有通向任何一个邻室的门 .有人想从某个房间开始 ,依次不重复地走遍每一个房间 ,他的想法能实现吗 ?2.展览会有 36 个展室 (如图 ),每两相邻展室之间均有门相通 .能不能从入口进去 ,不重复地参观完全部展室后 ,从出口出来呢 ?3.图中的 16 个点表示 16 个城市 ,两个点之间的连线表示这两个城市有公
14、路相通 .问能否找到一条不重复地走遍这 16 座城市的路线 ?4.下图是由 4 个小方格组成的 “L”形硬纸片 ,用若干个这种纸片无重叠地拼成一个 4 n 的长方形 ,试证明 :n 一定是偶数 .5.中国象棋盘上最多能放几只马互不相 “吃” (马“”走 “日 ”字,另不考虑 “别马腿 ” 的情况 ).6.能否用一个田字和 15 个 4 1 矩形覆盖 8 8 棋盘 ?7.能否用 1 个田字和 15 个 T 字纸片 ,拼成一个 8 8 的正方形棋盘 ?8.在 8 8 棋盘上 ,马能否从左下角的方格出发 ,不重地走遍棋盘 ,最后回到起点 ? 若能请找出一条路 ,若不能 ,请说明理由 .9.下面三个图
15、形都是从 4 4 的正方形分别剪去两个 1 1 的小方格得到的 ,问可否把它们分别剪成 1 2 的七个小矩形 ?(1)(2)(3)10.把三行七列的 21 个小格组成的矩形染色 ,每个小格染上红、蓝两种色中的一种 .求证 :总可以找到 4 个同色小方格 ,处于某个矩形的 4 个角上 (如图 )1 红 红 红 红2311.17个科学家互相通信 ,在他们的通信中共讨论 3 个问题 ,而任意两个科学家之间仅讨论 1 个问题 .证明 :至少有 3 个科学家 ,他们彼此通信讨论的是同一个问题 .12.用一批 1 2 4 的长方体木块 ,能不能把一个容积为 6 6 6 的正方体木箱充塞填满 ?说明理由 .
16、13.在平面上有一个 27 27 的方格棋盘 ,在棋盘的正中间摆好 81 枚棋子 ,它们被罢成一个 9 9 的正方形 .按下面的规则进行游戏 :每一枚棋子都可沿水平方向或竖直方向越过相邻的棋子 ,放进紧挨着这枚棋子的空格中 ,并把越过的这格棋子取出来 .问 :是否存在一种走法 ,使棋盘上最后恰好剩下一枚棋子 ?14.12 12 的超极棋盘上 ,一匹超级马每步跳至 3 4 矩形的另一角 (如图 ).问能否从任一点出发遍历每一格恰一次 ,再回到出发点 (这种情况又称马有 “回路 ”)?OO 答 案1.不能 .对房间染色 ,使最下面的两个房间染成黑色 ,与黑色相邻的房染成白色,则图中有 7 个黑色房
17、间和 5 个白色房间 .如果要想不重复地走过每一个房间 , 黑色与白色房间数应该相等 .故题中的想法是不能实现的 .2.不能 .对展室进行染色 ,使相邻两房间分别是黑色和白色的 .此时入口处展室的颜色与出口处展室的颜色是相同的 ,而不重复参观完 36 个展室 ,入口与出口展室的颜色应该不相同 .3.不能 .对这 16 个城市进行黑白相间的染色 ,一种颜色有 9 个,另一种颜色有 7 个 .而要不重复地走遍这 16 个城市 ,黑色与白色的个数应该相等 .4.如图 ,对 4 n 长方形的各列分别染上黑色和白色 .任一 L 形纸片所占的方格只有两类 :第一类占 3 黑 1 白 ,第二类占 3 白 1
18、 黑 .n个设第一类有 a 个 , 第二类有 b 个 ,因为涂有两种颜色的方格数相等 ,故有3b+a=3a+b,即 a=b,也就是说第一类与第二类相等 ,因此各种颜色的方格数都是 4的倍数 ,总数是 8 的倍数 ,从而 n 是偶然 .5.将棋盘黑白相间染色 ,由“马 ”的走法可知 ,放在黑点上的 “马”,只能吃放在某些白点上的马 .整个棋盘上黑、白点的个数均为 45,故可在 45 个黑点放上马 ,它们是不能互吃的 .6.如图的方式对棋盘染色 .那么一个田字形盖住 1 个或 3 个白格 ,而一个 4 1 的矩形盖住 2 个白格 .这样一来一个田字和 15 个 4 1 的矩形能盖住的白格数是一个奇
19、数 ,但上图中的白格数是一个偶数 ,因此一个田字形和 15 个 4 1 的矩形不能复盖8 8 的棋盘 .7.将棋盘里黑白相间涂色 .一个田字形盖住 2 个白格 ,一个 T 字形盖住 3 个或1 个白格 .故 1 个田字和 15 个 T 字盖住的白格数是一个奇数 ,但棋盘上的白格数是一个偶数 .因此一个田字形和 15 个 T 字形不能盖住 8 8 的棋盘 .8.将棋盘黑白相间地染色后 ,马的走法是从一种颜色的格子跳到另一种颜色 .棋盘上有 32 个白格与 32 个黑格 ,故马可能跳遍整个棋盘 .图中给出了一种走法 .5641583550396033474455405934513842574649
20、36533261454843543162375220530632211161329642141714251061922782312151287183269249.先 4 4 的棋 黑白相 的涂色 (如 ), 道 的 是 7 个 1 2 矩形能否分 复盖剪去 A、B；剪去 A、C；剪去 A、 D 的三个棋 .若 7 个 1 2 矩形可以复盖剪残的棋 ,因 每个 1 2 矩形均可盖住一个白格和一个黑格 ,所以棋 的白格与黑格数目 相等 .都是 7 个.而剪去 A 格和 C 格的棋 (2)有 5 个白格8 个黑格 ,剪去 A、D 的棋 (3)有 5 个白格 8 个黑格 ,因此 两个剪 的棋 均不能被
21、 7 个 1 2 矩形复盖 ,也就不能剪成 7 个 1 2 的矩形 .ABCD棋 (1)可以被 7 个 12 的矩形所复盖 .下面 出一种剪法 :A11277B26543654310.在第一行的 7 格中必有 4 格同色 ,不妨 4 格位于前 4 个位置 ,且均 色 .然后考 前 4 列构成的 3 4 矩形 .若第二行和第 3 行中出 2 个或 2 个以上的 色格子 . 行的两个 色格子与第一行的 色格子就 成一个4 角同 色格子的矩形 .若不然 , 第 2、3 行中都至少有 3 个 格在前 4 列中 ,不妨 第 2 行前 3 格 色 , 然第三行中的前 3 格中至少有 2 个 格，故在二、三
22、行的前4 列中必存在四角都是 色的矩形 .11.将 17 个科学家用 17 个点代表 ,两点之 的 段表示两个科学家之 的 .用三种 色 些 段染色 ,表示三个 ,于是 就 成 : 17个点之 的所有 段用三种 色染色 ,必有同色三角形 .从任意一点 ,不妨 从 A 向其他 16 点 A1,A2, A16 共可 成 16 条 段 ,用三种 色染色 ,由抽 原 可知 ,必有 6 条 段同色 . 6 条 段 AA1,AA2, AA6 且同 色 .考 A1,A2,A3,A4,A5,A6 六点之 的 ,若有一条 色 ,(如 A1A2 色 ) , 三角形 AA1A2 色的同色三角形 .A1A2A3AA4
23、A5A6若这六点之间的连线中 ,没有一条是红色的 ,则它们之间只能涂两种颜色.考虑从 A1 引出的五条线段 121314151 6 由抽屉原理知其中必有三A A A A A A A A A A ,的三条是同色的 .不妨设这三条为 A1 2131 4且同为蓝色 若三角形2 3 4AA AA A ,.A A A边中有一条为蓝色的 ,则有一个蓝色的三角形存在 ;若三角形 A2A3A4 三边都不是蓝色的 ,则它的三边是同为第三色的同色三角形 .A2A3A1A412.把正方体木箱分成 27 个小正方体 ,每个小正方体的体积为 2 2 2=8.将这些正方体如右图黑白相间染上色 .显然黑色 2 2 2 的正
24、方体有 14 个,白色 2 2 2小正方体有 13 个.每一个这样的正方体相当于 8 个 1 1 1 的小正方体 .将1 2 4 的长方体放入木箱 ,无论怎么放 ,每个长方体木块盖住 8 个边长为 1 的单位正方体 ,其中有 4 个黑色的 ,4 个白色的 .木箱共含 6 6 6=216 个单位正方体,26 个长方体木块共盖住 8 26=208 个单位正方体 ,其中黑白各占 104 个 ,余下216-208=8 个单位正方体是黑色的 .但是第 27 个 1 2 4 长方体木块不管怎样放 , 也无法盖住这 8 个黑色单位正方体 .13.如图 ,将整个棋盘的每一格都分别染上红、白、黑三种颜色 ,这种
25、染色方式将棋盘分成了三个部分 .按照游戏规则 ,每走一步 ,有两种颜色方格中的棋子数分别减少了 1 个,而第三种颜色的棋子数增加了一个 .这表明每走一步 ,每个部分的棋子的奇偶性要发生改变 .因为一开始时 ,81 枚棋子摆成一个 9 9 的正方形 ,显然三个部分的棋子数是相同的 ,从而每走一步 ,三部分中的棋子数的奇偶性是相同的 .如果走了若干步以后 , 棋盘上恰好剩下一枚棋子 ,则两部分上的棋子数为偶数 ,而另一部分上的棋子数为奇数 .这种结果是不可能出现的 .14.用两种方法对超级棋盘染色 .首先 ,将棋盘黑白相间染色 ,则马每跳一步 ,它所在的方格就要改变一次颜色 .不妨设第奇数步跳入白格 .其次 ,将棋盘的第 3,4,5 及 8,9,10 这六行染成黑色 ,其余六行染成白色 .在此种染色方式下 ,马从白格一定跳入黑格 .又因黑白格总数相同 ,马要遍历每一格恰一次又回到出发点 ,因此 ,马从黑格只能跳入白格而不能跳入黑格 .不妨设马第奇数步跳入白格 .但是对于一种满足要求跳法 ,在两种染色方式下第奇数步跳入的格子的全体是不同的 ,这显然是不可能的 ,故题目要求的跳法是不存在的 .
